专题12 三角函数的图像与性质（正弦函数、余弦函数和正切函数）（课时训练）-【教育机构专用】2022年秋季高一上精品讲义（新教材人教A版）

专题12 三角函数的图像与性质（正弦函数、余弦函数和正切函数）

一、知识结构思维导图

二、学法指导与考点梳理

考点一 正弦、余弦、正切函数的图象与性质

考点二  函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象

1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

(1)“五点法”作图原理：

在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．

在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1).

(2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)．

2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念

3.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图

用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：

4.由函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法

三、重难点题型突破

重难点题型突破1 三角函数的定义域与周期

求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．

例1、（1）（2020·山东高一期末）函数的定义域为_____．

（2）函数的定义域为（   ）

A． B．

C． D．

【变式训练1-1】（2020·全国高一课时练习）求下列函数的定义域.

（1）；

（2）.

例2、（2020·上海市七宝中学期中）函数，的最小正周期是（    ）

A．12 B．6 C． D．

【变式训练2-1】、（2020·山西运城·月考）函数，的最小正周期为（    ）

A． B． C． D．4

重难点题型突破2 三角函数的单调性及最值

1、三角函数单调性的求法

(1)形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数的单调性问题，一般是将ωx＋φ看成一个整体，再结合图象利用y＝sin x的单调性求解；

(2)如果函数中自变量的系数为负值，要根据诱导公式把自变量系数化为正值，再确定其单调性．

2、求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型

(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．

(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．

(3)形如y＝asin3x＋bsin2x＋csin x＋d，类似于(2)进行换元，然后用导数法求最值．　

例3、（1）（2020·河南林州一中高一月考）函数的值域________．

（2）．（2020·上海高一课时练习）函数，当_________时有最小值，最小值是___________.

【变式训练3-1】、函数y＝cos的单调递减区间为___．

【变式训练3-2】、已知函数最小正周期为，图象过点.

（1）求函数解析式

（2）求函数的单调递增区间.

重难点题型突破3 三角函数的对称性（奇函数、偶函数与对称轴、对称中心）

1.奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．　

2.函数具有奇偶性的充要条件

函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；

函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)；

函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)；

函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．

例4、（1）(2020·南开区模拟)函数f(x)＝的最小正周期为(　　)

A.  B.

C．π  D．2π

（2）已知函数f(x)＝3sin(2x－＋φ)，φ∈(0，π)．

(1)若f(x)为偶函数，则φ＝________；

(2)若f(x)为奇函数，则φ＝________.

【变式训练4-1】（2020·镇原中学高一期末）若点是函数的图象的一个对称中心，且点到该图象的对称轴的距离的最小值为，则（ ）

A．的最小正周期是 B．的值域为

C．的初相 D．在上单调递增

【变式训练4-2】函数的图像的一条对称轴方程为（）

A． B． C． D．

【变式训练4-3】设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是(　　)

A．f(x)的一个周期为－2π           B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称

C．f(x＋π)的一个零点为x＝        D．f(x)在上单调递减

重难点题型突破4 三角函数的图像及其应用

例5．（多选题）函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C．是函数的一条对称轴 D．是函数的对称轴心

【变式训练5-1】（2020·海南枫叶国际学校高一期中）函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（ ）

A． B．

C． D．

【变式训练5-2】如图是函数在一个周期内的图象，则其解析式是（　　）

A． B．

C． D．

【变式训练5-3】（2019·江门市第二中学期中）已知函数．

（1）求函数的最小值和最大值及相应自变量x的集合；

（2）求函数的单调递增区间；

（3）画出函数区间内的图象．

例6．将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是(　　)

A．y＝sin B．y＝sin

C．y＝sin D．y＝sin

【变式训练6-1】、（多选题）若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（    ）

A．的最小正周期为 B．在区间上单调递减

C．不是函数图象的对称轴 D．在上的最小值为

【变式训练6-2】(本小题满分12分)已知函数f（x）＝sin（π﹣ωx）cosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．[来源:学科网]

（1）求ω的值；

（2）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，]上的最小值．

四、课堂定时训练（45分钟）

1．函数图像的一条对称轴方程为（）

A． B． C． D．

2．如图是函数在一个周期内的图象，则其解析式是（　　）

A． B．

C． D．

3．已知函数，则下列结论不正确的是（    ）

A.是的一个周期 B.

C.的值域为R D.的图象关于点对称

4．函数的定义域是（　　）

A. B.

C. D.

5．（2019·湖南武冈市第一中学高一期中）下列函数中，最小正周期为的是（  ）

A． B． C． D．

5．（多选题）将函数y＝4sin x的图象向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的，得到函数y＝f(x)的图象，下列关于y＝f(x)的说法正确的是(　　)[来源:Z#xx#k.Com]

A．y＝f(x)的最小正周期为4π

B．由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍[来源:学#科#网Z#X#X#K][来源:学&科&网]

C．y＝f(x)的表达式可改写成f(x)＝4cos

D．y＝f(x)的图象关于中心对称

6．（2019·浙江高一期末）已知函数，则的最小正周期是______；的对称中心是______．

7．（2019·浙江高一期末）函数的最小正周期为_____；单调递增区间为_______．

8．（2019·宁夏高一期末）函数的最大值为，最小值为，则的最小正周期为______.

9．（2018·内蒙古一机一中高一月考（理））已知函数

（1）用五点法作出函数的简图；

（2）写出函数的值域与单调区间.

10．已知函数.

(1)求函数的最大值以及相应的x的取值集合；

(2)若直线是函数的图像的对称轴，求实数m的值.