专题09 对数与对数函数（课时训练）-【教育机构专用】2022年秋季高一上精品讲义（新教材人教A版）

专题09 对数与对数函数课时训练

【基础巩固】

1．已知函数的大致图象如下图，则幂函数在第一象限的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

由的图象可知，，所以，得，，

所以，所以幂函数在第一象限的图象可能为.

故选：B.

2.设a，b都是不等于1的正数，则“”是“”的（　　）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

由“”，得，得或或，即或或，

由，得，故“”是“”的必要不充分条件，故选：C．

3.若函数的最小值为，则实数的取值范围为（     ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

当时，f（x）＝，单调递减，∴f（x）的最小值为f(2)=1，

当x＞2时，f（x）＝单调递增，若满足题意，只需恒成立，

即恒成立，∴，∴a≥0，故选：D．

4．已知函数（为常数，其中）的图象如图，则下列结论成立的是（     ）

A．          B．

C．         D．

【答案】D

【解析】由图象可知，当时，，得．

5．设函数，则（     ）

A．3        B．6         C．9       D．12

【答案】C

【解析】由于，，所以，故选C．

6．设函数的图像与的图像关于直线对称，且，

则（     ）

A．       B．       C．        D．

【答案】C

【解析】设是函数的图像上任意一点，它关于直线对称为（），由已知知（）在函数的图像上，∴，解得，即，∴，解得，故选C．

7.若，则_______．

【答案】

【解析】∵，∴，∴．

8．函数的单调增区间是__________．

【答案】

【解析】由题意知，函数的定义域为，所以该函数的单调增区间是．

9.计算下列各式的值：

(1)lg －lg ＋lg ；

(2)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2；

(3).

【解析】　(1)原式＝(5lg 2－2lg 7)－·lg 2＋(2lg 7＋lg 5)

＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)＝lg 10＝.

(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2

＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.

(3)原式＝＝＝＝.

10.比较下列各组值的大小：

(1)log5与log5；(2)log2与log2；(3)log23与log54.

【解析】　(1)法一(单调性法)：对数函数y＝log5x在(0，＋∞)上是增函数，而<，所以log5<log5.

法二(中间值法)：因为log5<0，log5>0，所以log5<log5.

(2)法一(单调性法)：由于log2＝，log2＝，

又因对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且>，所以0>log2>log2，

所以<，所以log2<log2.

法二(图象法)：如图，在同一坐标系中分别画出y＝logx及y＝logx的图象，由图易知：log2<log2.

(3)取中间值1，因为log23>log22＝1＝log55>log54，

所以log23>log54.

【能力提升】

11．2018天津)已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ）

A．     B．     C．    D．

【答案】D

【解析】因为，，．

所以，故选D．

12．已知奇函数在R上是增函数，．若，，，

则a，b，c的大小关系为（   ）

A．       B．        C．       D．

【答案】C

【解析】由题意为偶函数，且在上单调递增，所以，又，，所以，故，选C．

13．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为，而可观测宇宙中普通物质的

原子总数约为．则下列各数中与最接近的是（   ）

（参考数据：≈0．48）

A．     B．       C．     D．

【答案】D

【解析】设，两边取对数得，，所以，即最接近，选D．

14．已知函数的图象过点．

Ⅰ判断函数的奇偶性并求其值域；

Ⅱ若关于x的方程在上有解，求实数t的取值范围．

【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）.

【解析】函数的图象过点

即：   

（Ⅰ）

则的定义域为，关于原点对称

且

故为偶函数

又由   

故，即和值域为

（Ⅱ）若关于的方程在上有解

即，即在上有解

即在上有解

由对勾函数的图象和性质可得：

当时，取最小值；当或时，取最大值

故实数的取值范围是

15.（江西省景德镇一中2018-2019学年高一上期中）已知函数.

（1）当时，求f(x)的值域和单调减区间；

（2）若f(x)存在单调递增区间，求a的取值范围．

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）当时，，

设，

由，得，得，即函数的定义域为，

此时，

则，即函数的值域为，

要求的单调减区间，等价为求的单调递减区间，

的单调递减区间为，

的单调递减区间为．

（2）若存在单调递增区间，

则当，则函数存在单调递增区间即可，则判别式得或舍，

当，则函数存在单调递减区间即可，则判别式得或，此时不成立，

综上实数的取值范围是．

【高考真题】

16．（2017新课标Ⅰ）设为正数，且，则（   ）

A．      B．     C．     D．

【答案】D

【解析】设，因为为正数，所以，则，，，所以，则，排除A、B；只需比较与，，则，选D．

17．（2014浙江）在同意直角坐标系中，函数的图像可能

是（   ）

【答案】D

【解析】当时，函数单调递增，函数单调递增，且过点(1，0)，由幂函数的图象性质可知C错；当时，函数单调递增，函数单调递减，且过点(1，0)，排除A，又由幂函数的图象性质可知C错，因此选D．

18．（2012天津）已知，，，则的大小关系为（   ）

A．       B．     C．    D．

【答案】A

【解析】因为，所以，，所以，选A．

19．（2020全国Ⅰ文8）设，则（   ）

A．                B．                C．                D．

【答案】B

【解析】由可得，∴，∴有，故选B．

20．（2020全国Ⅰ理12）若，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【思路导引】设，利用作差法结合的单调性即可得到答案．

【解析】设，则为增函数，∵，

∴，

∴，∴．

∴，

当时，，此时，有；当时，，此时，有，∴C、D错误，故选B．

21．（2020全国Ⅱ理9）设函数，则（   ）

A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减

C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减

【答案】D【解析】由得定义域为，关于坐标原点对称，

又，

为定义域上的奇函数，可排除AC；

当时，，

在上单调递增，在上单调递减，

在上单调递增，排除B；

当时，，

在上单调递减，在定义域内单调递增，

根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确．故选D．

22．（2020全国Ⅲ理12）已知．设，则（   ）

A．               B．           C．        D．

【答案】A

【思路导引】由题意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小关系，由，得，结合可得出，由，得，结合，可得出，综合可得出、、的大小关系．

【解析】解法一：由题意可知、、，，；

由，得，由，得，，可得；

由，得，由，得，，可得．

综上所述，．故选A．

解法二：易知，由，知．∵，，∴，，即，又∵，，∴，即．综上所述：，故选A．

23．（2020天津6）设，则的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【思路导引】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系．

【解析】因为，，，所以，故选D．

24．（2019全国Ⅰ理3）已知，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】 由题意，可知，

，，所以最大，，都小于1，因为，，而，所以，即，所以，故选A．