专题06 函数基本性质的灵活应用（单调性与奇偶性）（课时训练）-【教育机构专用】2022年秋季高一上精品讲义（新教材人教A版）

专题06 函数基本性质的灵活应用（单调性与奇偶性）课时训练

【基础巩固】

1．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（  ）

A． B． 

C． D．

【答案】D

【解析】

对于A，为非奇非偶函数，不符合题意；对于B，为幂函数，其定义域为，是奇函数且在上为减函数，不符合题意；对于C，为反比例函数，为奇函数且在其定义域上不具备单调性，不符合题意；对于D，，其定义域为，有，为奇函数，且，在上为增函数，符合题意；故选D.

2．已知函数是定义域为的偶函数，则的值是（   ）

A．0；B．；C．1；D．

【答案】A；

【解析】由函数是定义域为的偶函数得，并且，即，所以的值是0

3．已知函数，则该函数是（    ）

A．偶函数，且单调递增 B．偶函数，且单调递减

C．奇函数，且单调递增 D．奇函数，且单调递减

【答案】D

【解析】当时，；当时，，所以；

当时，，所以；所以，

所以函数是奇函数.当时，，由复合函数的单调性原理得函数单调递减，

由奇函数的性质得函数在R上单调递减.故选：D

4．（2020·全国高一课时练习）高为、满缸水量为的鱼缸的轴截面如图所示，现底部有一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为时水的体积为，则函数的大致图像是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

根据题意知，函数的自变量为水深，函数值为鱼缸中水的体积，所以当时，体积，所以函数图像过原点，故排除A、C；

再根据鱼缸的形状，下边较细，中间较粗，上边较细，所以随着水深的增加，体积的变化速度是先慢后快再慢的，故选B.

5．已知函数是R上的减函数，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题得，解之得.故选：C

6．（多选题）如图所示是函数的图象,图中正半轴曲线与虚线无限接近但是永不相交,则以下描述正确的是(    )

A．函数的定义域为

B．函数的值域为

C．此函数在定义域内是增函数

D．对于任意的,都有唯一的自变量与之对应

【答案】BD

【解析】

对于A,由函数的图象可知,函数的定义域为,故A不正确;

对于B,由函数的图象可知,函数的值域为:,故B正确;

对于C,函数在是增函数,结合图象可知,此函数在定义域内不是增函数,故C错误;

对于D,由函数的图象可知,对于任意的,都有唯一的自变量与之对应,故D正确.

故选:BD.

7．定义两种运算：，，则是______________函数，（填奇、偶、非奇非偶，既奇又偶四个中的一个）

【答案】奇；

【解析】依和得

，其定义域为，所以

，可见，是奇函数

8．（多选题）若函数y＝xα的定义域为R且为奇函数，则α可能的值为(　　)

A. B．1

C．2 D．3

【答案】BD

【解析】当α＝时，幂函数y＝的定义域为[0，＋∞)，A不符合题意；当α＝1时，幂函数y＝x的定义域为R且为奇函数，B符合题意；当α＝2时，幂函数y＝x2的定义域为R且为偶函数，C不符合题意；当α＝3时，幂函数y＝x3的定义域为R且为奇函数，D符合题意．故选B、D.

9．已知二次函数．

（1）当时，求的最值；

（2）若不等式对定义域的任意实数恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）

【解析】（1）当，时，，对称轴，

∴在上单调递减，在上单调递增．∴当时有最小值，；

当时有最大值，．

（2）依题意得：，

当时，，∴，∴

当时，，∴，∴

综上所述，符合条件的的取值范围是

10．已知，求在区间上的最小值和最大值．

【答案】,

【解析】求函数的对称轴为，讨论对称轴在区间的范围得到答案.

【详解】因抛物线的对称轴是,所以分类讨论:

(1)①当,即 时, ;

②当,即时;

③当时,．

(2)①当,即时,;

②当,即时,．

综上所述:,

【能力提升】

11.已知定义域为R的函数是奇函数．

（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－2k)<0恒成立，求k的取值范围．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）定义域为的函数是奇函数

则，，

根据，解得 ，经检验，满足函数为奇函数

（Ⅱ）

易知为增函数，故为减函数

即

即

所以 恒成立，即

当时，有最小值 故的取值范围是

12．（2019·云南弥勒市一中高一期末）已知函数是奇函数，且当时，，

（1）求函数的表达式

（2）求不等式的解集

【答案】（1）（2）或

【解析】

（1）根据题意，函数是奇函数，则，

当时，，则，

又由函数为奇函数，则，

则，

（2）根据题意，，

当时，，此时即，解可得，此时不等式的解集为，

当时，，成立；此时不等式的解集为，

当时，，此时即，解可得，此时不等式的解集为，

综合可得：不等式的解集或．

13．（2020·浙江高一课时练习）已知定义在上的函数满足：

①对任意，，；②当时，，且 ．

（1）试判断函数的奇偶性．

（2）判断函数在上的单调性．

（3）求函数在区间上的最大值．

（4）求不等式的解集．

【答案】（1）偶函数；（2）增函数；（3）2；（4）或.

【解析】

（1）令，则，得；再令，

则，得．

对于条件，令，则，

∴．又函数的定义域关于原点对称，

∴函数为偶函数．

（2）任取，，且，则有．

又∵当时，，∴．

而， 即，

∴函数在上是增函数．

（3）∵，且，∴．

又由（1）（2）知函数在区间上是偶函数且在上是增函数，

∴函数在区间上的最大值为．

（4）∵，，

∴原不等式等价于，

又函数为偶函数，且函数在上是增函数，

∴原不等式又等价于，即或，

得或，

得或，

∴不等式的解集为或．

14.已知函数,

(1)当时，试判断它的单调性；并证明

(2)若时，是减函数时，是增函数，试求的值及上的最小值．

【答案】（1）在区间上单调递增；证明见解析（2），的最小值为4

【解析】(1) 先判断函数单调递增，再利用定义法设，计算证明.

(2)通过定义法由时，是减函数得到，同理得到，得到答案.

【详解】

解:(1)函数，在区间上单调递增

设时，

，

所以在区间上单调递增；

(2)由时，是减函数可知：

恒成立

恒成立，

同理可得：时，是增函数，，故

当时，函数有最小值4

【点睛】

本题考查了函数的单调性，最小值，函数单调性定义法的证明是一个常考知识点，需要熟练掌握.

15．经市场调查，某超市的一种商品在过去的一个月内（以30天计算），销售价格与时间（天）的函数关系近似满足，销售量与时间（天）的函数关系近似满足．

（1）试写出该商品日销售金额关于时间的函数表达式；

（2）求该商品的日销售金额的最大值与最小值．

【答案】（1）；（2）当时，最大值为；当时，最小值为

【解析】（1）对分类讨论求出该商品日销售金额关于时间的函数表达式；（2）分别求出分段函数的每一段的最值，再比较即得该商品的日销售金额的最大值与最小值．

【详解】

（1）当时，；

当时，

∴．

（2）①当时，由双勾函数的性质知在上单减，

在区间上单增，．

∴当时，最小值为，当时，最大值为；

②当时，，在单减，则在区间单减，

∴；

综上，当时，最大值为；当时，最小值为

【点睛】

本题主要考查分段函数的解析式的求法，考查分段函数的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

【高考真题】

16．（2011新课标）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（  ）

A．    B．     C．    D．

【答案】B

【解析】为奇函数，在上为减函数，在上为减函数，故选B．

17．(2013湖北)为实数，表示不超过的最大整数，则函数在上为（   ）

A．奇函数      B．偶函数      C．增函数        D． 周期函数

【答案】D

【解析】由题意f(1．1)＝1．1－[1．1]＝0．1，f(－1．1)＝－1．－[－1．1]＝－1．1－(－2)＝0．9，故该函数不是奇函数，也不是偶函数，更不是增函数．又对任意整数a，有f(a＋x)＝a＋x－[a＋x]＝x－[x]＝f(x)，故f(x)在R上为周期函数．故选D．

18．(2012陕西)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（   ）

A           B           C          D

【答案】D

【解析】A是增函数，不是奇函数；B和C都不是定义域内的增函数，排除，只有D正确，故选D．

19．（2020全国Ⅱ文10）设函数，则 （   ）

A．是奇函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减

C．是偶函数，且在单调递增 D．是偶函数，且在单调递减

【答案】A

【解析】∵函数定义域为，其关于原点对称，而，

∴函数为奇函数．

又∵函数在上单调递增，在上单调递增，而在上单调递减，在上单调递减，∴函数在上单调递增，在上单调递增．故选A．

20．（2020山东8）若定义在上的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（   ） （   ）

A．     B．       C．     D．

【答案】D

【思路导引】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果．

【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，

所以在上也是单调递减，且，，

所以当时，，当时，，

所以由可得：或或

解得或，所以满足的的取值范围是，故选D．

21．（2017新课标Ⅱ）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则

=        ．

【答案】12【解析】∵是奇函数，所以．

22．(2014湖南)已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且

=，＝

A．－3       B．－1       C．1        D．3

【答案】C【解析】用换，得，化简得，令，得，故选C．

23．(2013湖南)已知是奇函数，是偶函数，且，，则等于（   ）

A．4       B．3       C．2       D．1

【答案】B

【解析】由已知两式相加得，．

24．(2016山东)已知函数f(x)的定义域为R．当x<0时， ；当 时，；

当 时，，则f(6)= （   ）

A．−2        B．−1         C．0         D．2

【答案】D

【解析】当时，为奇函数，且当时，，所以．而，所以，故选D．

25．（2014卷2，理15）已知偶函数在单调递减，．若，则的取值范围是__________．

【答案】（-1，3）

．【解析】∵是偶函数，∴，又∵在单调递减，∴，解之：