2020-2021学年3.4 函数的应用（一）同步练习题

第三章  函数的概念与性质

【3.3   函数的应用（一）】

基础闯关                                                  务实基础  达标检测

题型一   一次函数模型及其应用

1、某厂日生产文具盒的总成本y（元）与日产量x（套）之间的关系为y＝6x＋30 000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（    ）

A．2 000套      B．3 000套

C．4 000套      D．5 000套

解析：因利润z＝12x－(6x＋30 000),所以z＝6x－30 000,由z≥0解得x≥5 000,故至少日生产文具盒5 000套.故选：D

2、某自行车存车处在某一天总共存放车辆4000辆次，存车费为：电动自行车0.3元/辆次,普通自行车0.2元/辆次.若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x的函数关系式为              (　　)

A．y=0.2x(0≤x≤4000)

B．y=0.5x(0≤x≤4000)

C．y=-0.1x+1200(0≤x≤4000)

D．y=0.1x+1200(0≤x≤4000)

解析：由题意得y=0.3(4000-x)+0.2x=-0.1x+1200(0≤x≤4000).

故选C

3、为了保护学生的视力，课桌和椅子的高度都是按一定的关系配套设计的，研究表明：假设课桌的高度为，椅子的高度为，则y应是x的一次函数，下表列出两套符合条件的课桌和椅子的高度：

（1）请你确定y与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）；

（2）现有一把高42.0 cm的椅子和一张高78.2cm的课桌，它们是否配套？为什么？

【答案】（1）；（2）给出的这套桌椅是配套的．详见解析

【解析】（1）因为课桌高度（cm）是椅子高度（cm）的一次函数，所以可设为，将符合条件的两套课桌椅的高度代如上述函数解析式，

得，解得，与的函数关系式是．

（2）把代入上述函数解析式中，得，

给出的这套桌椅是配套的．

题型二   二次函数模型及其应用

4、某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个，若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个_____元.

解析：设涨价x元，销售的利润为y元，

则，

当，即销售单价为60元时，y取得最大值.故答案为：60

5、生产某机器的总成本(万元)与产量(台)之间的函数关系式是，若每台机器售价均为25万元，则该厂为使所获利润最大应生产机器　　　　台. 

解析：设安排生产x台机器,则获得的利润为25x-y=-x2+100x= -(x-50)2+2 500.

故当x=50时，获利最大.

6、某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,当截取的矩形面积最大时，矩形中相邻两边的长x，y(8≤y<24)应为(　　)

A．x=15,y=12      B．x=12,y=15

C．x=14,y=10      D．x=10,y=14

解析：如图所示,过点D作DE⊥BC于点E,则=,即=,整理得y=24-x.

∴截取的矩形面积S=x=-(x-15)2+180(0<x≤20).

由此可知,当x=15时,S取得最大值,此时y=12,故选A.

7、某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，且投资1万元时的收益为万元，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，且投资1万元时的收益为0.5万元，

（1）分别写出两种产品收益与投资额的函数关系；

（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？

解析：（1）依题意设，

，

；

（2）设投资股票等风险型产品为万元，

则投资债券等稳健型产品为万元，

，

当万元时，收益最大万元，

20万元资金，投资债券等稳健型产品为万元，

投资股票等风险型产品为万元，投资收益最大为3万元.

题型三   分段函数模型及其应用

8、已知甲、乙两地相距，某人开汽车以的速度从甲地到达乙地，在乙地停留一小时后再以的速度返回甲地，把汽车距甲地的距离表示为时间的函数，则此函数的表达式为__________．

【解析】根据题意此人运动的过程分为三个时段，

当时，；

当时，；

当时，.

综上所述，

9、汽车从A地出发直达B地，途中经过C地，假设汽车匀速行驶，5 h后到达B地.汽车与C地的距离s(单位:km)关于时间t(单位:h)的函数关系如图所示,则汽车从A地到B地行驶的路程为　　　　km.

解析：设汽车的速度为v(km/h),

则从A地到C地，s=200-vt(0≤t≤2),

又t=2时，s=0，∴2v=200，解得v=100.

从C地到B地,s=v(t-2)=100(t-2)(2<t≤5)，

∴t=5时，s=100×(5-2)=300.

200+300=500(km)，故汽车从A地到B地行驶的路程为500 km.

10、2018年10月24日，世界上最长的跨海大桥—港珠澳大桥正式通车。在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数当桥上的车流密度达到220辆/千米，将造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米，车流速度为100千米/时研究表明：当时，车流速度v是车流密度x的一次函数.

（1）当时，求函数的表达式；

（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时）可以达到最大？并求出最大值.

【解析】（1）由题意，当时，v(x)=100，

当时，设，则解得：，

∴

（2）由题意，

当时，的最大值为

当时，

的最大值为

∴当车流密度为110辆/千米时，车流量最大，最大值为6050辆/时.

11、暑假期间，某旅行社为吸引中学生去某基地参加夏令营，推出如下收费标准：若夏令营人数不超过30，则每位同学需交费用600元；若夏令营人数超过30，则营员每多1人，每人交费额减少10元（即：营员31人时，每人交费590元，营员32人时，每人交费580元，以此类推），直到达到满额70人为止.

（1）写出夏令营每位同学需交费用（单位：元）与夏令营人数之间的函数关系式；

（2）当夏令营人数为多少时，旅行社可以获得最大收入？最大收入是多少？

解析：（1）由题意可知每人需交费关于人数的函数：

（2）旅行社收入为，则，

即，

当时，为增函数，

所以，

当时，为开口向下的二次函数，

对称轴，所以在对称轴处取得最大值，.

综上所述：当人数为45人时，最大收入为20250元.

能力提升                                                  思维拓展  探究重点

1、某商家准备在2020年春节来临前连续2次对某一商品销售价格进行提价且每次提价10%，然后在春节活动期间连续2次对该商品进行降价且每次降价10%，则该商品的最终售价与原来价格相比（　　）

A．略有降低       B．略有提高

C．相等           D．无法确定

【解答】解：设原来的价格为a，

该商品的最终售价y＝a（1+10%）（1+10%）（1﹣10%）（1﹣10%）＝0.9801a．

该商品的最终售价与原来价格相比略有降低．

故选：A．

2、某小区有居民1000户，去年12月份总用水量为8000吨．今年开展节约用水活动，有800户安装了节水龙头，这些用户每户每月节约用水x吨，使得今年1月份该小区居民用水总量低于6000吨．则x满足的关系式为　      　．

【解答】解：1000户居民去年12月份总用水量为8000吨，

则1户居民去年12月份的用水量为吨．

1户居民安装了节水龙头后一个月的用水量为

（8﹣x）吨，

则今年1月份该小区居民用水总量为

（8﹣x）×800+8×200．

∴（8﹣x）×800+8×200＜6000，解得

∴x满足的关系式为．

故答案为：．

3、某企业开发生产了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为2500万元，每生产x百件，需另投入成本c（x）（单位：万元），当年产量不足30百件时，c（x）＝10x2+100x；当年产量不小于30百件时，c（x）＝501x+4500；若每件电子产品的售价为5万元，通过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完．

（1）求年利润y（万元）关于年产量x（百件）的函数关系式；

（2）年产量为多少百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？

【解答】解：（1）当0＜x＜30时，y＝500x﹣10x2﹣100x﹣2500＝﹣10x2+400x﹣2500；

当x≥30时，

∴；

（2）当0＜x＜30时，y＝﹣10（x﹣20）2+1500，∴当x＝20时，ymax＝1500；

当x≥30时，

当且仅当，即x＝100时，

ymax＝1800＞1500，

∴年产量为100百件时，该企业获得利润最大，最大利润为1800万元．

4、某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．

（1）设一次订购x件，服装的实际出厂单价为p元，写出函数p＝f（x）的表达式；

（2）当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？

解析：（1）当0＜x≤100时，p＝60；

当100＜x≤600时，

p＝60﹣（x﹣100）×0.02＝62﹣0.02x．

∴

（2）设利润为y元，则

当0＜x≤100时，y＝60x﹣40x＝20x；

当100＜x≤600时，y＝（62﹣0.02x）x﹣40x＝22x﹣0.02x2．

∴

当0＜x≤100时，y＝20x是单调增函数，当x＝100时，y最大，此时y＝20×100＝2 000；

当100＜x≤600时，y＝22x﹣0.02x2＝

﹣0.02（x﹣550）2+6 050，

∴当x＝550时，y最大，此时y＝6 050．

显然6050＞2000．

所以当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6050元