高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.2 指数函数同步达标检测题

第四章  指数函数与对数函数

【4.2.2   指数函数的图像和性质】

基础闯关                                                  务实基础  达标检测

题型一   指数函的图像特征

1、如图所示，二次函数与指数函数的图象只可为　　

A．B．C．D．

解析：根据指数函数可知，同号且不相等，则二次函数的对称轴可排除与，又因为二次函数过坐标原点，正确．故选：．

2、函数的图象恒过的点为　　

A．  B．  C．  D．

解析：令．则，，

所以函数的图象恒过的点为，故选：．

3、若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　　)

A．a＜b＜c        B．c＜a＜b

C．b＜c＜a        D．b＜a＜c

解析∵y＝x (x>0)是增函数，

∴a＝>b＝.

∵y＝x是减函数，∴a＝＜c＝，∴b＜a＜c. 故选D

4、设f(x)＝|3x－1|，c<b<a且f(c)>f(a)>f(b)，则下列关系式中一定成立的是(　　)

A．3c≤3b                B．3c>3b

C．3c＋3a>2        D．3c＋3a<2

解析：作出函数f(x)＝|3x－1|的图象如图所示．

由c<b<a且f(c)>f(a)>f(b)可知

c，b，a不在同一个单调区间上．∴c<0，a>0.

∴f(c)＝1－3c，f(a)＝3a－1.∵f(c)>f(a)，

∴1－3c>3a－1，∴3c＋3a<2。故选D

题型二   指数函数的单调性及其应用

5、当时，函数的值域为　　

A．，      B．，

C．，        D．，

解析：，

设，，，

则函数等价为，，，即函数的值域为，．故选：．

6、若指数函数在上为单调递增函数，则实数的取值范围为　　

A．   B．   C．   D．

解析：指数函数在上为单调递增函数，，，故选：．

7、函数的定义域是（ ）

A．       B．

C．       D．

解析：要是函数有意义须满足，即，解得，

因此，函数的定义域为.

8、若函数且满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围是（    ）

A．   B．   C．   D．

【解析】函数满足对任意的实数都有，

所以函数是上的增函数，则由指数函数与一次函数单调性可知应满足，解得，故选D

9、定义运算：则函数的值域为　　       ．

【解答】解：如图为的图象（实线部分），

由图可知的值域为，．

故答案为：，．

10、求函数的单调区间为           

解析：令，则为单调递减函数，

因为在上递减，在上递增，

所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

11、已知函数且的图象经过点．

（1）求函数的解析式；

（2）求使成立的的取值范围．

解析：（1）函数且的图象经过点，

，解得，

函数的解析式为；

（2）由，得，即，

，得，

的解集为，．

题型三   指数函数性质的综合应用

12、函数的单调递增区间是：　         　．

【解答】解：令，

，，，

故的减区间为，，

函数的增区间为，．

13、求下列函数的定义域、值域.

（1）y＝；（2）y＝4x－2x＋1.

【解析】（1）∵对一切x∈R，3x≠－1；

∴函数的定义域为R；

∵y＝＝1－；

又∵3x>0，1＋3x>1；

∴0<<1，∴－1<－<0；

∴0<1－<1，∴值域为(0，1).

（2）函数的定义域为R；

y＝(2x)2－2x＋1＝2＋；

∵2x>0，∴2x＝，即x＝－1时，y取最小值；

同时y可以取一切大于的实数；

∴值域为.

14、设函数，a是不为零的常数．

（1）若f (3)＝，则使成立的x的取值范围为________；

（2）当x∈[－1,2]时，的最大值是16，则a的值为________．

解析：(1)由f(3)＝得a＝3，

∴不等式f(x)≥4可化为23x－10≥22，

由此可得3x－10≥2，∴x≥4，

故x的取值范围是[4，＋∞)．

(2)当a>0时，f(x)＝10－ax＝2ax－10是增函数，

则当x∈[－1,2]时，

f(x)max＝f(2)＝22a－10＝16，∴a＝7；

当a<0时，f(x)＝10－ax＝2ax－10是减函数，

则当x∈[－1,2]时，

f(x)max＝f(－1)＝2－a－10＝16，

∴a＝－14.

综上，a＝－14或a＝7.

答案：（1）[4，＋∞)　（2）－14或7

15、已知函数.

（1）求函数的定义域；

（2）若为奇函数，求的值,并求的值域.

解析：（1）由，可得，

∴函数的定义域为.

（2）∵为奇函数,∴

又∵

，

，

∴，解得

因此.

∴当时，，；

当时，，.

∴值域为.

能力提升                                                  思维拓展  探究重点

1、如果在R上单调递减，则实数a的取值范围为__________.

【解析】由题可得，即，解得.

故答案为：

2、函数的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（    ）

A．a＞1，b＜0

B．a＞1，b＞0

C．0＜a＜1，b＞0

D．0＜a＜1，b＜0

【解析】由的图象可以观察出，函数在定义域上单调递减，

所以0＜a＜1.

函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，

所以b＜0.故选：D.

3、函数的增区间是_________ .

【解析】函数的定义域为，令，则，

因为在上单调递减，

而在

上单调递减，

所以函数的增区间为.

4、已知定义域为R的函数＝是奇函数．

（1）求a，b的值；

（2）用定义证明f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．

（3）若对于任意t∈R，不等式f (t2－2t)＋f (2t2－k)＜0恒成立，求k的范围．

解析：　(1)∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0，b＝1.又f(－1)＝－f(1)，得a＝1.

(2)任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝＝

＝

∵x1＜x2，∴＞0，又(＋1)(＋1)＞0，f(x1)－f(x2)＞0

∴f(x)为R上的减函数．

(3)∵t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，∴f(t2－2t)＜－f(2t2－k)

∵f(x)是奇函数，∴f(t2－2t)＜f(k－2t2)，∵f(x)为减函数，∴t2－2t＞k－2t2.

即k＜3t2－2t恒成立，而3t2－2t＝3(t－)2－≥－.

∴k＜－.

5、求不等式(a>0，且a≠1)中x的取值范围．

【解析】解：对于a4x＋5>a2x－1(a>0，且a≠1)，

当a>1时，有4x＋5>2x－1，解得x>－3；

当0<a<1时，有4x＋5<2x－1，解得x<－3.

故当a>1时，x的取值范围为{x|x>－3}；当0<a<1时，x的取值范围为{x|x<－3}．

6、已知函数.

（1）若，求x的值；  

（2）判断时，的单调性；

（3）若对于t∈恒成立，求m的取值范围．

解析：(1)当x≤0时，f(x)＝3x－3x＝0，∴f(x)＝2无解．

当x>0时，f(x)＝3x－，令3x－＝2.

∴(3x)2－2·3x－1＝0，解得3x＝1±.

∵3x>0，∴3x＝1＋.∴x＝log3(1＋)．

(2)∵y＝3x在(0，＋∞)上单调递增，

y＝在(0，＋∞)上单调递减，

∴f(x)＝3x－在(0，＋∞)上单调递增．

(3)∵t∈，∴f(t)＝3t－>0.  ∴3tf(2t)＋mf(t)≥0化为

3t＋m≥0，即3t＋m≥0，即m≥－32t－1.

令g(t)＝－32t－1，则g(t)在上递减，∴g(x)max＝－4.

∴所求实数m的取值范围是[－4，＋∞)．

7、已知定义域为R的函数＝a－(a∈R)是奇函数．

（1）求a的值；

（2）判断函数在R上的单调性，并证明你的结论；

（3）求函数在R上的值域．

解析：（1）若存在实数a使函数为R上的奇函数，则f(0)＝0，得a＝1.

当a＝1时，＝1－.

∵f(－x)＝1－＝1－＝1－＝－1＋＝－f(x)，

∴为R上的奇函数．

∴存在实数a＝1，使函数为R上的奇函数．

（3）f(x)＝1－中，3x＋1∈(1，＋∞)，

∴∈(0,2)．

∴f(x)的值域为(－1，1)．

8、已知函数

（1）试求函数，，的最大值；

（2）若存在，使成立，试求的取值范围；

（3）当，且，时，不等式恒成立，求的取值范围．

解：（1），，，令，，

即有，

当时，有最大值为1；

当时，对称轴为，讨论对称轴和区间的关系，

若，即，（1）；

若，即，；

若，即，（1）．

综上可得，．

（2）令，则存在使得

所以存在使得，或．

即存在使得，，或；

（3）由得恒成立

因为，且，，所以问题即为恒成立，．

设令，．

所以，当时，，．