专题13 轴对称的性质（知识点串讲）-2021-2022学年七年级数学下册期末考点大串讲（北师大版）

专题13 轴对称的性质

知识网络

重难突破

知识点一  轴对称图形及轴对称性质

1、轴对称图形

如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．

注意：轴对称图形的对称轴可能只有一条，也可能有多条甚至无数条．

2、两个图形成轴对称

如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴．

3、轴对称的性质

在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等．

注意：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，沿对称轴折叠后，重合的点是对应点，叫做对称点．

类似地，重合的线段是对应线段，重合的角是对应角．

典例1

（2021•宝安区模拟）下列图形中，不是轴对称图形的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：．是轴对称图形，故此选项不合题意；

．不是轴对称图形，故此选项符合题意；

．是轴对称图形，故此选项不合题意；

．是轴对称图形，故此选项不合题意；

故选：．

典例2

（2020春•郫都区期末）如图，与△关于直线对称，若，，则度数为　　

A． B． C． D．

【解答】解：与△关于直线对称，

，

，

，

故选：．

典例3

下列说法：

（1）线段的对称轴有两条；

（2）角是轴对称图形，对称轴是它的角平分线；

（3）两个全等的等边三角形一定成轴对称；

（4）两个图形关于某条直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线两侧；

（5）到直线距离相等的点关于对称．

其中说法不正确的有　　

A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．4 个

【解答】解：（1）线段的对称轴有两条，说法正确；

（2）角是轴对称图形，它的角平分线所在的直线就是它的对称轴，说法错误；

（3）两个全等的图形不一定组成轴对称图形，说法错误；

（4）两个图形关于某直线对称，则这两个图形不一定分别位于这条直线的两侧，说法错误；

（5）到直线距离相等的两点不一定关于对称，说法错误；

其中不正确的有4个；

故选：．

知识点二  利用轴对称作图

1、已知轴对称图形求作对称轴

方法：先确定图形的两个对应点，再作以这两个对应点为端点的线段的垂直平分线，这条直线就是它的对称轴．

2、已知对称轴，求作与已知图形成轴对称的图形的步骤

方法：（1）先观察已知图形，并确定能代表已知图形的关键点；

（2）分别作出这些关键点关于对称轴的对应点；

（3）根据已知图形连接这些对应点，即可得到与已知图形成轴对称的图形．

典例1

（2020春•济南期末）如图所示，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点分别在格点上，请在网格中按要求作出下列图形，并标注相应的字母．

（1）作△，使得△与关于直线对称；

（2）求△的面积（直接写出结果）．

【解答】解：（1）如图所示：

（2）△得面积：．

典例2

（2021春•深圳期中）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点、、在小正方形的顶点上．

（1）在图中画出与关于直线成轴对称的△；

（2）利用网格线在直线上求作一点，使得最小，请在直线上标出点位置．

【解答】解：（1）如图，△即为所求作．

（2）如图，点即为所求作．

知识点三  轴对称的应用（最短路径）

基本问题：在直线上找一点，使得其到直线异侧两点、的距离之和最小．

变式1：在直线上找一点，使得其到直线同侧两点、的距离之和最小．

变式2：直线、交于，是两直线间的一点，在直线、上分别找一点、，使得的周长最短．

典例1

（2019春•灵石县期末）如图，直线是一条河，，是两个村庄，欲在上的某处修建一个水泵站，向，两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于．

根据两点之间，线段最短，可知选项铺设的管道，则所需管道最短．

故选：．

典例2

（2019春•南海区期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，在直线上存在一点，使、、三点构成的的周长最小，则的周长最小值为　　．

【解答】解：如图，连接．

的周长，，

的值最小时，的周长最小，

垂直平分线段，

，

，

的最小值为，

的周长的最小值为．

故答案为

巩固训练

一、单选题（共8小题）

1．（2020•南山区校级一模）下列倡导节约的图案中是轴对称图形的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：、不是轴对称图形，故此选项错误；

、是轴对称图形，故此选项正确；

、不是轴对称图形，故此选项错误；

、不是轴对称图形，故此选项错误；

故选：．

2．（2020•罗湖区一模）下列智能手机的功能图标中，不是轴对称图形的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：、不是轴对称图形，故此选项符合题意；

、是轴对称图形，故此选项不符合题意；

、是轴对称图形，故此选项不符合题意；

、是轴对称图形，故此选项不符合题意；

故选：．

3．（2020春•禅城区期末）室内墙壁上挂一平面镜，小明在平面镜内看到他背后墙上时钟的示数如图所示，则这时的实际时间应是　　

A． B． C． D．

【解答】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的时刻与成轴对称，所以此时实际时刻为．

故选：．

4．（2020春•天桥区期末）如图，与关于直线对称，交于点，则下列说法不一定正确的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：与关于直线对称，

，直线垂直平分线段，直线垂直平分线段，

，，，

故选项，，正确，

故选：．

5．（2019秋•无为县期末）在的正方形网格中，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，在图中画出与关于某条直线对称的格点三角形，最多能画　　个．

A．5 B．6 C．7 D．8

【解答】解：如图，最多能画出7个格点三角形与成轴对称．

故选：．

6．（2020春•成华区期末）如图，在中，，，△与关于直线对称，，连接，则的度数是　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

，

，

△与关于直线对称，

，，

，

，

，

故选：．

7．（2019•平度市一模）如图，在中，，，，平分交于点，，分别是，上的动点，则的最小值为　　

A． B． C．3 D．

【解答】解：在上取一点，使

，

则最小值时垂直时，的长度

故选：．

8．（2019春•高新区期末）如图，为等边的高，、分别为线段、上的动点，且，当取得最小值时，　　

A． B． C． D．

【解答】解：如图，作，且，连接交于，连接，

是等边三角形，，

，，

，

，，

，

，

，

，

，，

当为与的交点时，如图2，的值最小，

此时，，

，

故选：．

二、填空题（共3小题）

9．（2020秋•李沧区期末）如图，与关于边所在的直线成轴对称，的延长线交于点．若，，则　  　．

【解答】解：与关于边所在的直线成轴对称，

，

，，

，

，

，

，

故答案为：70．

10．（2020秋•海勃湾区期末）如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，、两点落在、点处，若得，则的度数为　　．

【解答】解：根据轴对称的性质得：

又，可得

．

11．（2020春•双流区校级期末）如图，中，，，，，动点在边上运动（不与端点重合），点关于直线，对称的点分别为，．则在点的运动过程中，线段的长的最小值是　    　．

【解答】解：如图，连接，

点关于直线，对称的点分别为，，

，

线段的长等于，

如图所示，当时，的长最小，此时线段的长最小，

，，，，

，

线段的长的最小值是9.6，

故答案为：9.6．

三、解答题（共2小题）

12．（2020秋•海淀区校级月考）在等边中，点、是边上的两个动点（不与点，重合），点在点的左侧，且，点关于直线的的对称点为，连接，，求证：．

【解答】证明：，

，

是等边三角形，

，

，，

，

点关于直线的对称点为，

，，

，

，

，

，

，

，

是等边三角形

．

13．（2021春•南山区校级期中）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图）

（1）画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的△；

（2）在上画出点，使最小；

（3）在上画出点，使最大．

【解答】解：（1）如图，△即为所求作．

（2）如图，点即为所求作．

（3）如图点即为所求作．