专题12 全等三角形的模型及应用（知识点串讲）-2021-2022学年七年级数学下册期末考点大串讲（北师大版）

专题12 全等三角形的模型及应用

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重难突破

知识点一  全等三角形常见模型

（1）一线三等角

常见图形如下：（含特殊的一线三垂直）

（2）手拉手模型

常见图形如下：（等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形）

（2）半角模型

常见图形如下：（正方形、一般四边形）

（1）一线三等角

典例1

已知：如图，，，，则不正确的结论是　　

A．与互为余角 B． 

C． D．

典例2

（2020秋•永春县期中）如图，，且，，且，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积　   　．

典例3

（2020春•历下区期中）是经过定点的一条直线，，、分别是直线上两点，且．

（1）若直线经过内部，且、在射线上，

①若，，例如图1，则　　，　　．（填“”，“ ”，“ ” ；

②若，且，例如图2，①中的两个结论还成立吗？并说明理由；

（2）如图3，若直线经过外部，且，请直接写出线段、、的数量关系（不需要证明）．

（2）手拉手全等

典例1

（2020春•济阳区期末）如图，与都是等边三角形，，下列结论中，正确的个数是　　，

①；②；③；④若，且，则．

A．1 B．2 C．3 D．4

典例2

（2020春•顺德区期末）如图，在中，，是边上的一点，以为边在右侧作，使，连接，．

（1）试说明；

（2）若，求的度数．

典例3

（2020春•青川县期末）以点为顶点作两个等腰直角三角形，如图1所示放置，使得一直角边重合，连接，．

（1）说明；

（2）延长，交于点，求的度数；

（3）若如图2放置，上面的结论还成立吗？请简单说明理由．

（3）半角模型

典例1

（2019春•罗湖区期末）四边形ABCD是正方形（四条边相等，四个角都是直角）．

（1）如图1，将一个直角顶点与A点重合，角的两边分别交BC于E，交CD的延长线于F，试说明BE＝DF；

（2）如图2，若将（1）中的直角改为45°角，即∠EAF＝45°，E、F分别在边BC、CD上，试说明EF＝BE+DF；

（3）如图3，改变（2）中的∠EAF的位置（大小不变），使E、F分别在BC、CD的延长线上，若BE＝15，DF＝2，试求线段EF的长．

知识点二  全等三角形的应用

典例1

（2020春•高明区期末）如图，要测量水池宽，可从点出发在地面上画一条线段，使，再从点观测，在的延长线上测得一点，使，这时量得，则水池宽的长度是　    　．

典例2

（2021春•深圳期中）如图，把一个长为的梯子斜靠在墙上，测得，，梯子沿墙下滑到位置，测得，求梯子下滑的高度．

巩固训练

一、单选题（共6小题）

1．（2020春•高明区期末）小明不慎将一个三角形玻璃摔碎成如图所示的四块，现要到玻璃店配一个与原来一样大小的三角形玻璃，你认为应带去的一块是　　

A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块

2．如图，将两根钢条、的中点连在一起，使、可以绕点自由转动，就做成了一个测量工件，则的长等于内槽宽，则判定△的理由是　　

A．边边边 B．角边角 C．边角边 D．角角边

3．（2019秋•曹县期末）如图，点在上，，，，，，则的长为　　

A． B． C． D．

4．（2020春•历城区校级期中）如图，，且，，，分别交于、两点，若，，，则的长为　　

A． B． C． D．

5．（2020春•高明区期末）如图，是的角平分线，，垂足为，交的延长线于点，若恰好平分，．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论为　　

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④

6．（2019春•永新县期末）如图，，，平分，平分，以下结论，其中正确的是　　

①；

②点是的中点；

③；

④．

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④

二、填空题（共5小题）

7．（2020春•青岛期末）有一座小山，现要在小山，的两端开一条隧道，施工队要知道，两端的距离，于是先在平地上取一个可以直接到达点和点的点，连接并延长到，使，连接并延长到，使，连接．经测量，，的长度分别为，，，则，之间的距离为　     　．

8．（2020春•济南期末）如图，是一个测量工件内槽宽的工具，点既是的中点，也是的中点，若测得，则该内槽的宽为　  　．

9．如图，四边形是正方形，和都是直角且点，，三点共线，，则阴影部分的面积是　   　．

10．（2020春•槐荫区期末）如图，和均是等边三角形，、、三点共线，与相交于点，与分别与、交于点、，有如下结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论是　     　（填序号）．

11．（2020春•商河县期末）如图，，，平分，，交延长线于，且垂足为，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有　    　．（填写番号）

三、解答题（共2小题）

12．（2020春•顺德区校级期末）如图，在中，，，点从出发以每秒2个单位的速度在线段上从点向点运动，点同时从出发以每秒2个单位的速度在线段上向点运动，连接、，设、两点运动时间为秒

（1）运动　 　秒时，；

（2）运动多少秒时，能成立，并说明理由；

（3）若，，则　　（用含的式子表示）．

13．（2020•黄州区校级模拟）如图，，，，，垂足为．

（1）求证：；

（2）求的度数；

（3）求证：．