专题1.4三角形精讲精练专题（知识梳理+典例剖析+变式训练）-2021-2022学年七年级数学下学期期末考试高分直通车【北师大版】

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【知识梳理】
1.认识三角形
（1）三角形的概念：由 上的三条线段 相接所组成的图形叫做三角形．
组成三角形的 叫做三角形的 ．
相邻两边的 叫做三角形的 ．
两边组成的角叫做三角形的 ，简称三角形的角．
（2）按边的相等关系分类： （底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．
（3）三角形的主要线段： ．
（4）三角形具有 ．
2.图形的全等
（1）全等形的概念： 能够 的两个 叫做全等形．
（2）全等三角形： 两个 叫做全等三角形．
（3）三角形全等的符号
“全等”用符号“ ”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．
（4）对应顶点、对应边、对应角：把两个全等三角形重合到一起， 的 叫做 ； 的边叫做 ； 叫做 ．
3．全等三角形的判定
（1）判定定理1： -- 分别对应 的两个三角形全等．
（2）判定定理2： -- 及其 分别对应 的两个三角形全等．
（3）判定定理3： -- 及其 分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4： -- 及其中 对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5： -- 的两个 全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
4.全等三角形的应用
（1）全等三角形的性质与判定综合应用
用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．
（2）作辅助线构造全等三角形
常见的辅助线做法：①把三角形一边的 ，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“ ”或“ ”，这些问题经常用到全等三角形来证明．
（3）全等三角形在实际问题中的应用
一般方法是把实际问题先转化为 ，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
【典例剖析】
考点1 三角形的三边关系
【例1】（2020秋•无棣县期末）若一个三角形的三边长分别为3，7，x，则x的值可能是（ ）
A．6B．3C．2D．11
【变式1.1】（2020秋•拱墅区期末）若一个三角形的两边长分别为3cm和5cm，则此三角形的第三边长可能为（ ）
A．1cmB．2cmC．5cmD．8cm
【变式1.2】（2020秋•包河区期末）下列四组线段中，不可以构成三角形的是（ ）
A．4，5，6B．1.5，2，2.5C．13，14，15D．1，2，3
【变式1.3】（2020秋•蜀山区期末）已知三角形两边的长分别是1和5，则此三角形周长可能是（ ）
A．9B．11C．12D．13
【变式1.4】（2020秋•伊通县期末）若a、b、c为△ABC的三边长，且满足|a﹣4|+（b﹣2）2＝0，则c的值可以为（ ）
A．5B．6C．7D．8
考点2 三角形的主要线段
【例2】（2020春•商水县期末）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（ ）
A．BF＝CFB．∠C+∠CAD＝90°
C．∠BAF＝∠CAFD．S△ABC＝2S△ABF
【变式2.1】（2020秋•朝阳县期末）下列语句正确的是（ ）
A．三角形的三条高都在三角形内部
B．三角形的三条中线交于一点
C．三角形不一定具有稳定性
D．三角形的角平分线可能在三角形的内部或外部
【变式2.2】（2019秋•永城市期末）如图，已知BD＝CD，则AD一定是△ABC的（ ）
A．角平分线B．高线C．中线D．无法确定
【变式2.3】（2020春•迁西县期末）下列说法错误的是（ ）
A．三角形的高、中线、角平分线都是线段
B．三角形的三条中线都在三角形内部
C．锐角三角形的三条高一定交于同一点
D．三角形的三条高、三条中线、三条角平分线都交于同一点
【变式2.4】（2019秋•南开区期末）如图所示，AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，图中可以作为三角形“高”的线段有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．5条
【变式2.5】（2020春•河南期末）钝角三角形三条高所在的直线交于（ ）
A．三角形内B．三角形外
C．三角形的边上D．不能确定
考点3三角形的内角和
【例3】（2020秋•扶风县期末）如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝105°，则∠DAC的度数为（ ）
A．80°B．82°C．84°D．86°
【变式3.1】（2020秋•青山区期末）如图，AD，AE分别为△ABC的高线和角平分线，DF⊥AE于点F，当∠ADF＝69°，∠C＝65°时，∠B的度数为（ ）
A．21°B．23°C．25°D．30°
【变式3.2】（2020春•肃州区期末）如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∠A＝50°，则∠BOC＝（ ）
A．50°B．65°C．105°D．115°
【变式3.3】（2020春•泰山区期末）已知△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C满足关系式∠B+∠C＝2∠A，则此三角形（ ）
A．一定有一个内角为45°B．一定有一个内角为60°
C．一定是直角三角形D．一定是钝角三角形
【变式3.4】（2020秋•蚌埠期末）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，若∠B＝40°，∠C＝60°，则∠ADE的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
考点4三角形的外角
【例4】（2020秋•汇川区期末）如图，在△ABC中，∠A＝45°，△ABC的外角∠CBD＝75°，则∠C的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【变式4.1】（2020秋•太原期末）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，CE交BA的延长线于点E，∠B＝35°，∠E＝25°，则∠ACD的度数为（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
【变式4.2】（2020秋•沂水县期末）如图，在△ABC中，∠B＝32°，∠C＝48°，AD平分∠BAC，则∠ADC的度数是（ ）
A．80°B．82°C．98°D．100°
【变式4.3】（2020秋•西林县期末）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1的度数是（ ）
A．90°B．100°C．105°D．135°
【变式4.4】（2020秋•大安市期末）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝（ ）
A．70°B．80°C．90°D．100°
考点5 全等三角形的性质
【例5】（2020秋•义马市期末）下列说法中正确的是（ ）
A．两个面积相等的图形，一定是全等图形
B．两个等边三角形是全等图形
C．两个全等图形的面积一定相等
D．若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形
【变式5.1】（2020秋•恩施市期末）下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的两个三角形全等
B．面积相等的两个三角形全等
C．完全重合的两个三角形全等
D．所有的等边三角形全等
【变式5.2】（2019秋•迁安市期末）小明学习了全等三角形后总结了以下结论：
①全等三角形的形状相同、大小相等；
②全等三角形的对应边相等、对应角相等；
③面积相等的两个三角形是全等图形；
④全等三角形的周长相等．
其中正确的结论个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式5.3】（2019秋•开州区期末）下列说法不正确的是（ ）
A．如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同
B．面积相等的两个图形是全等图形
C．图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关
D．全等三角形的对应边相等，对应角相等
【变式5.4】（2020春•商水县期末）如图，Rt△ABC沿直角边BC所在直线向右平移到Rt△DEF，则下列结论中，错误的是（ ）
A．BE＝ECB．BC＝EFC．AC＝DFD．△ABC≌△DEF
考点6 全等三角形的判定
【例6】（2020秋•卫辉市期末）如图所示，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（ ）
A．BD＝CDB．∠B＝∠CC．AB＝ACD．AD平分∠BAC
【变式6.1】（2020秋•泰兴市期末）如图，用纸板挡住了三角形的一部分，小明根据所学知识很快就画出了一个与原来完全一样的三角形，他的依据是（ ）
A．ASAB．SASC．AASD．SSS
【变式6.2】（2020秋•滦南县期末）如图，已知AC＝DB，下列四个条件：①∠A＝∠D；②∠ABD＝∠DCA；③∠ACB＝∠DBC；④∠ABC＝∠DCB．其中能使△ABC≌△DCB的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式6.3】（2020秋•顺城区期末）如图，已知，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA．下面结论：①△ABD≌△EBC；②AC＝2CD；③AD＝AE＝EC；④∠BCE+∠BCD＝180°．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【变式6.4】（2020秋•呼和浩特期末）如图，已知△ABC，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与△ABC全等的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
考点7全等三角形的判定
【例7】（2020秋•南京期末）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OA＝OB，OC＝OD．求证：
（1）AB∥CD；
（2）△ABC≌△BAD．
【变式7.1】（2020秋•义马市期末）如图，点A，E，F，B在直线l上，AE＝BF，AC∥BD，且AC＝BD，求证：△ACF≌△BDE．
【变式7.2】（2019秋•镇赉县期末）如图所示，AB＝AD，∠1＝∠2，添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE（不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母）．
【变式7.3】（2020秋•洮北区期末）如图，AB＝CB，BE＝BF，∠1＝∠2，证明：△ABE≌△CBF．
【变式7.4】（2020秋•太湖县期末）如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值．