专题1.2相交线与平行线专题（知识梳理+典例剖析+变式训练）-2021-2022学年七年级数学下学期期末考试高分直通车【北师大版】

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【目标导航】
【知识梳理】
1. 对顶角与邻补角
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．对顶角的性质：对顶角相等．
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°
2.垂线及其性质：
(1)在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（3）垂线段的性质：垂线段最短．
3.同位角、内错角、同旁内角
三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
4.平行线的判定：
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
5.平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
6.平行线的性质与判定综合题解题方法：
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
【典例剖析】
【考点1】余角和补角
【例1】（2020秋•拜泉县期末）如图，已知△ACD和△BCE是两个直角三角形，∠ACD＝90°，∠BCE＝90°．∠ACB＝150°，求∠DCE的度数．
【分析】根据图形，利用角的加减解答即可．
【解析】∵∠ACD＝90°，∠ACB＝150°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝150°﹣90°＝60°，
∴∠DCE＝∠BCE﹣∠BCD＝90°﹣60°＝30°．
∴∠DCE的度数为30°．
【变式1-1】（2020秋•仓山区校级期末）若∠A＝53°20′，则∠A的补角的度数为（ ）
A．36°40′B．126°40′C．127°40′D．146°40′
【分析】根据补角的定义，∠A的补角等于180°减去∠A的度数即可．
【解析】∵∠A＝53°20′，
∴∠A的补角为180°﹣53°20′＝126°40′．
故选：B．
【变式1-2】（2020秋•兴庆区期末）如图，已知∠AOB＝90°，∠COD＝90°，OE为∠BOD的平分线，∠BOE＝18°，求∠AOC的度数．
【分析】直接利用角平分线的定义以及角的和差关系分析得出答案．
【解析】因为OE为∠BOD的平分线，所以∠BOD＝2∠BOE，
因为∠BOE＝18°，所以∠BOD＝36°，
又因为∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOB+∠COD+∠AOC+∠BOD＝360°，
所以∠AOC＝360°﹣∠AOB﹣∠COD﹣∠BOD（4分）＝360°﹣90°﹣90°﹣36°＝144°．
【变式1-3】（2020秋•东莞市期末）如图O为直线AB上一点，∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°．
（1）求∠BOD的度数；
（2）试判断OE是否平分∠BOC，并说明理由；
（3）∠BOE的余角是 ∠DOC和∠DOA ．
【分析】（1）直接利用角平分线的性质得出答案；
（2）直接平角的定义结合角平分线的定义得出答案；
（3）根据余角的定义解答即可．
【解析】（1）∵∠AOC＝50°，OD平分AOC，
∴∠DOA＝∠DOC=12∠AOC＝25°，
∴∠BOD＝180°﹣∠DOA＝180°﹣25°＝155°；
（2）OE是∠BOC的平分线．理由如下：
∵∠DOE＝90°，∠DOC＝25°，
∴∠COE＝∠DOE﹣∠DOC＝90°﹣25°＝65°，
∵∠BOE＝∠BOD﹣∠DOE＝155°﹣90°＝65°，
∴∠COE＝∠BOE，
∴OE是∠BOC的平分线；
（2）∵∠BOE＝65°，∠DOA＝∠DOC＝25°，
∴∠BOE的余角是∠DOC和∠DOA．
故答案为：∠DOC和∠DOA．
【变式1-4】（2020秋•怀柔区期末）一个角的余角的3倍与它的补角相等，求这个角的度数．
【分析】根据余角和补角的概念以及题意可设这个角为x，得到关于x的方程，于是得到结论．
【解析】设这个角的度数是x°，根据题意，列方程得：
3（90﹣x）＝180﹣x，
解方程，得x＝45．
答：这个角的度数45°．
【考点2】对顶角与邻补角
【例2】（2020秋•铁西区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝120°，OE平分∠BOC．
（1）求∠BOE的度数；
（2）若OF把∠AOE分成两个角，且∠AOF：∠EOF＝2：3，判断OA是否平分∠DOF？并说明理由．
【分析】（1）根据邻补角的概念求出∠BOC，根据角平分线的定义计算，得到答案；
（2）求出∠AOE，根据题意分别求出∠AOF、∠EOF，该解角平分线的定义证明即可．
【解析】（1）∵∠AOC＝120°，
∴∠BOC＝180°﹣120°＝60°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=12∠BOC=12×60°＝30°；
（2）OA平分∠DOF，
理由如下：∵∠BOE＝30°，
∴∠AOE＝180°﹣30°＝150°，
∵∠AOF：∠EOF＝2：3，
∴∠AOF＝60°，∠EOF＝90°，
∵∠AOD＝∠BOC＝60°，
∴∠AOD＝∠AOF，
∴OA平分∠DOF．
【变式2-1】（2020秋•铁西区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠BOD，若∠BOD＝42°，则∠AOM等于（ ）
A．138°B．148°C．159°D．169°
【分析】根据角平分线的定义求出∠BOM，根据邻补角的概念计算，得到答案．
【解析】∵OM平分∠BOD，∠BOD＝42°，
∴∠BOM=12∠BOD=12×42°＝21°，
∴∠AOM＝180°﹣∠BOM＝159°，
故选：C．
【变式2-2】（2020秋•南岗区期末）在下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据对顶角的概念判断即可．
【解析】A、∠1与∠2不是对顶角；
B、∠1与∠2是对顶角；
C、∠1与∠2不是对顶角；
D、∠1与∠2不是对顶角；
故选：B．
【变式2-3】（2020秋•长春期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC．若∠BOD：∠BOE＝1：2，则∠AOE的大小为（ ）
A．72°B．98°C．100°D．108°
【分析】根据角平分线的定义得到∠COE＝∠BOE，根据邻补角的定义列出方程，解方程求出∠BOD，根据对顶角相等求出∠OAC，结合图形计算，得到答案．
【解析】设∠BOD＝x，
∵∠BOD：∠BOE＝1：2，
∴∠BOE＝2x，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE＝∠BOE＝2x，
∴x+2x+2x＝180°，
解得，x＝36°，即∠BOD＝36°，∠COE＝72°，
∴∠OAC＝∠BOD＝36°，
∴∠AOE＝∠COE+∠AOC＝108°，
故选：D．
【变式2-4】（2020秋•柳州期末）如图，直线AB、CD、EF交于点O，已知∠2＝2∠1，∠3＝3∠2，求∠DOE的度数．
【分析】直接利用已知结合邻补角的定义分析得出答案．
【解析】∵∠2＝2∠1，∠3＝3∠2，
∴∠3＝3∠2＝6∠1，
又∵∠1+∠2+∠3＝180°，
∴∠1+2∠1+6∠1＝180°，
∴9∠1＝180°，
∴∠1＝20°，∠2＝40°，
∴∠DOE＝∠3＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣20°﹣40°＝120°．
【考点3】同位角、内错角、同旁内角
【例3】（2020春•江夏区月考）如图，下列结论中错误的是（ ）
A．∠1与∠2是同旁内角B．∠1与∠4是内错角
C．∠5与∠6是内错角D．∠3与∠5是同位角
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的意义结合图形进行判断即可．
【解析】如图，∠1与∠2是直线a与直线b被直线c所截的同旁内角，因此选项A不符合题意；
∠1与∠6是直线a与直线b被直线c所截的内错角，而∠6与∠4是邻补角，所以∠1与∠4不是内错角，因此选项B符合题意；
∠5与∠6是直线c与直线d被直线b所截的内错角，因此选项C不符合题意；
∠3与∠5是直线c与直线d被直线b所截的同位角，因此选项D不符合题意；
故选：B．
【变式3-1】（2019秋•唐河县期末）下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（ ）
A．②③B．①②③C．①②④D．①④
【分析】此题在于考查同位角的概念，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角，所以①②④符合要求．
【解析】图①、②、④中，∠1与∠2在截线的同侧，并且在被截线的同一方，是同位角；
图③中，∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角．
故选：C．
【变式3-1】（2020秋•长春期末）如图，∠B的内错角是（ ）
A．∠1B．∠2C．∠3D．∠4
【分析】利用内错角定义可得答案．
【解析】A、∠B的内错角是∠1，故此选项符合题意；
B、∠B与∠2是同旁内角，故此选项不合题意；
C、∠B与∠3是同位角，故此选项不合题意；
D、∠B与∠4是不是内错角，故此选项不合题意；
故选：A．
【变式3-2】（2020春•舞钢市期末）如图，给出以下说法：①∠B和∠1是同旁内角；②∠3和∠4是内错角；③∠B和∠AEC是同位角；④∠A和∠3是内错角；⑤∠2和∠3是对顶角，其中正确的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角、对顶角的定义逐个判断即可．
【解析】∠B和∠1是直线AB和CE被直线BC所截的一对同旁内角，故①正确；
∠3和∠4不是内错角，故②错误；
∠B和∠AEC是直线CE和BC被直线AB所截的一对同位角，故③正确；
∠A和∠3是直线AB和CD被直线AC所截的一对内错角，故④正确；
∠2和∠3不是对顶角，故⑤错误；
即正确的有3个，
故选：B．
【变式3-3】（2020春•南丹县期末）如图，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2的位置关系是（ ）
A．同位角B．内错角C．同旁内角D．相等
【分析】利用内错角定义解答即可．
【解析】∠1与∠2的位置关系是内错角，
故选：B．
【考点4】平行线
【例4】（2020秋•苏州期末）下列说法正确的是（ ）
A．具有公共顶点的两个角是对顶角
B．A、B两点之间的距离就是线段AB
C．两点之间，线段最短
D．不相交的两条直线叫做平行线
【分析】依据对顶角、两点的距离，线段的性质，平行线，即可得出结论．
【解析】A．具有公共顶点的两个角不一定是对顶角，故本选项错误；
B．A、B两点之间的距离就是线段AB的长，故本选项错误；
C．两点之间，线段最短，故本选项正确；
D．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故本选项错误；
故选：C．
【变式4-1】（2019秋•雨花区校级期末）下列说法正确的是（ ）
A．两点之间，直线最短
B．永不相交的两条直线叫做平行线
C．若AC＝BC，则点C为线段AB的中点
D．两点确定一条直线
【分析】根据线段的性质，平行线的定义以及直线的性质作出判断．
【解析】A、两点之间，线段最短，故本选项说法错误；
B、同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线，故本选项说法错误；
C、若AC＝BC且点A、B、C共线时，则点C为线段AB的中点，故本选项说法错误；
D、两点确定一条直线，故本选项说法正确．
故选：D．
【变式4-2】（2019春•铁西区校级月考）下列语句正确的有（ ）个
①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行
②过一点有且只有一条直线和已知直线平行
③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b
④若直线a∥b，b∥c，则c∥a．
A．4B．3C．2D．1
【分析】根据同一平面内，任意两条直线的位置关系是相交、平行；过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行进行分析即可．
【解析】①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行，说法错误，应为根据同一平面内，任意两条直线的位置关系不是相交就是平行；
②过一点有且只有一条直线和已知直线平行，说法错误，应为过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；
③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b，说法错误；
④若直线a∥b，b∥c，则c∥a，说法正确；
故选：D．
【变式4-3】（2017秋•连云区期末）下列说法：①用两根钉子固定一根木条，体现数学事实是两点之间线段最短；②射线AB与射线BA表示同一条射线；③若AB＝BC，则B为线段AC的中点；④不相交的两条直线叫做平行线；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，其中正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】根据平行线、相交线等相关知识解答．
【解析】①用两根钉子固定一根木条，体现数学事实是两点确定一条直线，此结论错误；
②射线AB与射线BA的起点不同、方向不同，不是同一射线，此结论错误；
③若AB＝BC，则B不一定是线段AC的中点，此结论错误；
④同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，此结论错误；
⑤同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，此结论错误；
故选：A．
【变式4-4】（2020春•浦东新区期末）如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，与面BCGF垂直，又与面EFGH平行的棱是 棱AB，棱CD ．
【分析】根据长方体的特点，结合直线与平面垂直，直线与平面平行解答．
【解析】如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，与面BCGF垂直，又与面EFGH平行的棱是棱AB，棱CD．
故答案为：棱AB，棱CD．
【考点5】平行线的判定条件
【例5】（2020秋•鼓楼区校级期末）如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥EF的是（ ）
A．∠B＝∠3B．∠1＝∠4C．∠1＝∠BD．∠B+∠2＝180°
【分析】根据平行线的判定逐项进行判断即可．
【解析】A、∵∠B＝∠3，∴AB∥EF（同位角相等，两直线平行），不符合题意；
B、∵∠1＝∠4，∴AC∥EF（内错角相等，两直线平行），不符合题意；
C、∵∠1＝∠B，∴BC∥DF（同位角相等，两直线平行），不能证出AB∥EF，符合题意；
D、∵∠B+∠2＝180，∴AB∥EF（同旁内角互补，两直线平行），不符合题意；
故选：C．
声【变式5-1】（2020秋•海陵区期末）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件能判断a∥b的是（ ）
A．∠3＝∠5B．∠4＝∠7C．∠2+∠3＝180°D．∠1＝∠3
【分析】根据同位角相等，内错角相等，同旁内角互补来判断两直线平行．
【解析】A、∠3和∠5是内错角，内错角相等两直线平行，能判断a∥b，符合题意；
B、∵∠4＝∠7，∴∠3＝∠6，∠3和∠7是同旁内角，同旁内角互补两直线平行，不能判断a∥b，不符合题意；
C、∠2+∠3＝180°，∠2和∠3是邻补角，和为180°，不能判断a∥b，不符合题意；
D、∠1＝∠3，由图可知∠1与∠3是对顶角，不能判断a∥b，不符合题意．
故选：A．
【变式5-2】（2020春•新泰市期末）如图，下列条件中：
（1）∠B+∠BCD＝180°；
（2）∠1＝∠2；
（3）∠3＝∠4；
（4）∠D＝∠5．
能判定AD∥CB的条件个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据平行线的判定定理进行判断．
【解析】（1）若∠B+∠BCD＝180°，则AB∥CD，不能判定AD∥CB．
（2）若∠1＝∠2，则AD∥CB（内错角相等，两直线平行）．
（3）若∠3＝∠4，则AB∥CD，不能判定AD∥CB．
（4）若∠D＝∠5，则AD∥CB（内错角相等，两直线平行）．
综上所述，符合条件的有2个．
故选：B．
【变式5-3】（2021春•宝应县月考）下列条件能判定直线l1∥l2的是（ ）
A．∠2＝∠3B．∠1＝∠3C．∠4+∠5＝180°D．∠2＝∠4
【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
【解析】A、∠2＝∠3，无法判定平行线，故本选项错误；
B、∵∠1＝∠3，∵l1∥l2（内错角相等两直线平行），故本选项正确；
C、∠4＝∠5，无法判定平行线，故本选项错误；
D、∠2＝∠4，无法判定平行线，故本选项错误．
故选：B．
【变式5-4】（2020秋•金川区校级期末）如图，在下列条件中，不能判定直线a与b平行的是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠2＝∠3C．∠1＝∠5D．∠3+∠4＝180°
【分析】直接用平行线的判定直接判断．
【解析】A、∵∠1＝∠2，∴a∥b，不符合题意；
B、∵∠2＝∠3，∴a∥b，不符合题意；
C、∵∠1与∠5既不是直线a，b被任何一条直线所截的一组同位角，内错角，
∴∠1＝∠5，不能得到a∥b，
∴符合题意；
D、∵∠3+∠4＝180°，∴a∥b，不符合题意；
故选：C．
【考点6】平行线的性质
【例6】（2020秋•长沙期末）如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若∠2＝70°，则∠1的大小是（ ）
A．45°B．50°C．55°D．40°
【分析】根据平角的定义和平行线的性质即可得到结论．
【解析】由题意得，∠4＝60°，
∵∠2＝70°，AB∥CD，
∴∠3＝∠2＝70°，
∴∠1＝180°﹣60°﹣70°＝50°，
故选：B．
【变式6-1】．（2020秋•砚山县期末）如图，把长方形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1＝50°，则∠AEF＝（ ）
A．110°B．115°C．120°D．130°
【分析】根据翻折的性质可得∠2＝∠1，再求出∠3，然后根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．
【解析】∵长方形ABCD沿EF对折后两部分重合，∠1＝50°，
∴∠3＝∠2=180°-50°2=65°，
∵长方形对边AD∥BC，
∴∠AEF＝180°﹣∠3＝180°﹣65°＝115°．
故选：B．
【变式6-2】（2020秋•清涧县期末）如图AB∥CD，∠C＝40°，∠A＝60°，则∠F的度数为（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
【分析】根据平行线的性质得出∠FED，利用三角形外角性质解答即可．
【解析】∵AB∥CD，
∴∠A＝∠FED＝60°，
∵∠FED＝∠C+∠F，
∴∠F＝∠FED﹣∠C＝60°﹣40°＝20°，
故选：B．
【变式6-3】（2020春•武昌区期末）如图，将一张长方形纸条折叠，如果∠2比∠1大6°，则∠2的度数为（ ）
A．108°B．114°C．118°D．122°
【分析】根据平行线的性质即可求解．
【解析】如下图所示，
∵AB∥CD，
∴∠4＝∠5（两直线平行，内错角相等），
∵长方形纸条折叠如图所示，
∴∠3＝∠4，
∴∠3＝∠5，
∴∠1＝∠3+∠5＝2∠5，
∵∠2+∠5＝180°，
∴∠1＝2（180°﹣∠2）＝360°﹣2∠2，
∵∠2比∠1大6°，
∴∠1＝∠2﹣6°，
∴∠2﹣6°＝360°﹣2∠2，
∴∠2＝122°，
故选：D．
【变式6-4】（2020春•丹东期末）如图，AB∥CD，则下列等式正确的是（ ）
A．∠1＝∠2+∠3B．∠1﹣∠2＝180°﹣∠3
C．∠1﹣∠3＝180°﹣∠2D．∠1+∠2+∠3＝180°
【分析】根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到∠1、∠2和∠3的关系，本题得以解决．
【解析】如右图所示，
∵CD∥AB，
∴∠4＝∠3，
∵∠4＝∠2+（180°﹣∠1），
∴∠3＝∠2+（180°﹣∠1），
∴∠1﹣∠2＝180°﹣∠3，
故选：B．
【考点7】有关平行线判定的解答题
【例7】（2020春•郁南县期末）如图，已知AD交BE于F，C在AB的延长线上，∠A＝∠ADE．
（1）若∠EDC＝3∠C，求∠C的度数；
（2）若∠C＝∠E．求证：BE∥CD．
【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，即可得出∠C的度数；
（2）根据AC∥DE，∠C＝∠E，即可得出∠C＝∠ABE，进而判定BE∥CD．
【解析】（1）∵∠A＝∠ADE，
∴AC∥DE，
∴∠EDC+∠C＝180°，
又∵∠EDC＝3∠C，
∴4∠C＝180°，
即∠C＝45°；
（2）∵AC∥DE，
∴∠E＝∠ABE，
又∵∠C＝∠E，
∴∠C＝∠ABE，
∴BE∥CD．
【变式7-1】（2020春•鄄城县期末）如图，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，且∠1+∠2＝90°．试说明CD∥AB．
【分析】先根据角平分线的性质得出∠2=12∠BAC，∠1=12∠ACD，再由∠1+∠2＝90°即可得出结论．
【解答】证明：∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，
∴∠2=12∠BAC，∠1=12∠ACD．
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴CD∥AB．
【变式7-2】（2020春•荷塘区校级期末）（1）如图①，若∠B+∠D＝∠BED，试猜想AB与CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图②，要想得到AB∥CD，则∠1、∠2、∠3之间应满足怎样的数量关系，试说明理由．
【分析】（1）延长BE交CD于F，通过三角形外角的性质可证明∠B＝∠EFD，则能证明AB∥CD；
（2）延长BA交CE于F，根据两直线平行，同位角相等可得∠3＝∠EFA，再根据三角形外角性质证明即可．
【解析】（1）AB∥CD，
理由：如图（1），延长BE交CD于F．
∵∠BED＝∠B+∠D，
∠BED＝∠EFD+∠D，
∴∠B＝∠EFD，
∴AB∥CD；
（2）∠1＝∠2+∠3．
理由如下：如图（2），延长BA交CE于F，
∵AB∥CD（已知），
∴∠3＝∠EFA（两直线平行，同位角相等），
∵∠1＝∠2+∠EFA，
∴∠1＝∠2+∠3．
【变式7-3】．（2020秋•贵港校级期末）某校七年级数学学习小组在探究学习过程中，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起按如图（1）所示位置放置．
（1）判断∠ACE与∠BCD的大小关系，并说明理由；
（2）保持直角△BCE不动，将直角△ACD绕C点旋转一个角度，使得AC∥BE，如图（2）则直线CD与BE的位置关系是： CD⊥BE ．
【分析】（1）直接根据两角互补的性质即可得出结论；
（2）根据平行线的性质即可得出结论．
【解析】（1）∠ACE＝∠BCD．
理由：∵∠ACD＝∠BCE＝90°，
∴∠ACD﹣∠DCE＝∠BCE﹣∠DCE，即∠ACE＝∠BCD；
（2）CD⊥BE．
理由：∵AC∥BE，∠ACD＝90°，
∴∠CFE＝∠ACD＝90°，
∴CD⊥BE．
故答案为：CD⊥BE．
【变式7-4】（2019秋•达川区期末）小明在学习三角形知识时，发现如下三个有趣的结论：在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，M为直线AC上一点，ME⊥BC，垂足为E，∠AME的平分线交直线AB于点F．
（1）如图①，M为边AC上一点，则BD、MF的位置关系是 平行 ；
如图②，M为边AC反向延长线上一点，则BD、MF的位置关系是 垂直 ；
如图③，M为边AC延长线上一点，则BD、MF的位置关系是 垂直 ；
（2）请就图①、图②、或图③中的一种情况，给出证明．我选图 ① 来证明．
【分析】（1）①根据∠A＝90°，ME⊥BC，得∠CME＝∠ABC，则∠ABC+∠AME＝180°，再由BD平分∠ABC，MF平分∠AME，可得∠AMF+∠ABD＝90°，∠AFM＝∠ABD，则BD∥FM；
②根据三角形全等可证明；
③根据三角形的内角和定理可得出垂直；
（2）根据①，利用同位角相等证明即可．
【解析】（1）①BD∥FM；
②BD⊥FM；
③BD⊥FM；
（2）选择①证明：
∵∠A＝90°，ME⊥BC，
∴∠A＝∠CEM，
∴∠CME＝∠ABC，
∴∠ABC+∠AME＝180°（三角形的内角和等于180°），
∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，
∴∠AMF+∠ABD＝90°，
∴∠AFM＝∠ABD，
∴BD∥FM（同位角相等，两直线平行）．
【考点8】平行线的性质与判定综合问题
【例8】（2020秋•邛崃市期末）如图，AC∥FE，∠1+∠3＝180°．
（1）判定∠FAB与∠4的大小关系，并说明理由；
（2）若AC平分∠FAB，EF⊥BE于点E，∠4＝78°，求∠BCD的度数．
【分析】（1）由已知可证得∠2＝∠3，根据平行线的判定得到FA∥CD，根据平行线的性质即可得到∠FAB＝∠4；
（2）根据角平分线的定义和平行线的判定和性质定理即可得到结论．
【解析】（1）∠FAB＝∠4，
理由如下：
∵AC∥EF，
∴∠1+∠2＝180°，
又∵∠1+∠3＝180°，
∴∠2＝∠3，
∴FA∥CD，
∴∠FAB＝∠4；
（2）∵AC平分∠FAB，
∴∠2＝∠CAD，
∵∠2＝∠3，
∴∠CAD＝∠3，
∵∠4＝∠3+∠CAD，
∴∠3=12∠4=12×78°=39°，
∵EF⊥BE，AC∥EF，
∴AC⊥BE，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠3＝51°．
发布【变式8-1】（2020秋•鼓楼区校级期末）已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．
（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系；
（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD＝∠C；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度数．
【分析】（1）通过平行线性质和直角三角形内角关系求解．
（2）画辅助平行线找角的联系．
（3）利用（2）的结论，结合角平分线性质求解．
【解析】
（1）如图1，
∵AM∥CN，
∴∠C＝∠AOB，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠A+∠AOB＝90°，
∠A+∠C＝90°，
故答案为：∠A+∠C＝90°；
（2）如图2，过点B作BG∥DM，
∵BD⊥AM，
∴DB⊥BG，
∴∠DBG＝90°，
∴∠ABD+∠ABG＝90°，
∵AB⊥BC，
∴∠CBG+∠ABG＝90°，
∴∠ABD＝∠CBG，
∵AM∥CN，
∴∠C＝∠CBG，
∠ABD＝∠C；
（3）如图3，过点B作BG∥DM，
∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，
∴∠DBF＝∠CBF，∠DBE＝∠ABE，
由（2）知∠ABD＝∠CBG，
∴∠ABF＝∠GBF，
设∠DBE＝α，∠ABF＝β，
则∠ABE＝α，∠ABD＝2α＝∠CBG，
∠GBF＝∠AFB＝β，
∠BFC＝3∠DBE＝3α，
∴∠AFC＝3α+β，
∵∠AFC+∠NCF＝180°，∠FCB+∠NCF＝180°，
∴∠FCB＝∠AFC＝3α+β，
△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°得：
2α+β+3α+3α+β＝180°，
∵AB⊥BC，
∴β+β+2α＝90°，
∴α＝15°，
∴∠ABE＝15°，
∴∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝15°+90°＝105°．
发布【变式8-2】（2020秋•香坊区期末）如图1是长方形纸带，将长方形ABCD沿EF折叠成图2，使点C、D分别落在点C1、D1处，再沿BF折叠成图3，使点C1、D1分别落在点C2、D2处．
（1）若∠DEF＝20°，求图1中∠CFE的度数；
（2）在（1）的条件下，求图2中∠C1FC的度数；
（3）在图3中写出∠C2FE、∠EGF与∠DEF的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠DEF+∠CFE＝180°，再求出答案即可；
（2）根据平行线的性质得出∠DEF+∠CFE＝180°，∠CFC1＝∠CGD1，再求出答案即可；
（3）根据平行线的性质得出∠EFB＝∠DEF，∠DEF+∠CFE＝180°，∠DEG+∠EGF＝180°，设∠DEF＝x°，求出∠EFB＝x°，∠CFE＝180°﹣∠DEF＝180°﹣x°，∠EGF＝180°﹣∠DEG＝180°﹣2x°，根据FC1∥ED1求出∠C1FG＝∠EGF＝180°﹣2x°，求出∠C2FG＝∠C1FG＝180°﹣2x°即可．
【解析】（1）∵长方形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠DEF+∠CFE＝180°
∵∠DEF＝20°，
∴∠CFE＝180°﹣∠DEF＝180°﹣20°＝160°；
（2）∵四边形EDCF折叠得到四边形ED1C1F，
∴∠D1EF＝∠DEF＝20°，
∴∠DEG＝∠DEF+∠D1EF＝20°+20°＝40°，
∵长方形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠CGD1＝∠DEG＝40°
∵FC1∥ED1，
∴∠C1FC＝∠CGD1＝40°；
（3）∠C2FE+∠DEF＝∠EGF，
理由如下：∵长方形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠EFB＝∠DEF，∠DEF+∠CFE＝180°，∠DEG+∠EGF＝180°，
设∠DEF＝x°，
∴∠EFB＝x°，∠CFE＝180°﹣∠DEF＝180°﹣x°，
∵四边形EDCF折叠得到四边形ED1C1F，
∴∠D1EF＝∠DEF＝x°，
∴∠DEG＝∠DEF+∠D1EF＝2x°，
∴∠EGF＝180°﹣∠DEG＝180°﹣2x°，
∵FC1∥ED1，
∴∠C1FG＝∠EGF＝180°﹣2x°，
∵四边形GD1C1F折叠得到四边形GD2C2F，
∴∠C2FG＝∠C1FG＝180°﹣2x°，∠C2FE＝∠C2FG﹣∠EFB＝180°﹣2x°﹣x°＝180°﹣3x°，
∴∠C2FE+∠DEF＝180°﹣3x°+x°＝180°﹣2x°＝∠EGF．
发布【变式8-3】（2020秋•道里区期末）已知，AB∥CD，点E在CD上，点G，F在AB上，点H在AB，CD之间，连接FE，EH，HG，∠AGH＝∠FED，FE⊥HE，垂足为E．
（1）如图1，求证：HG⊥HE；
（2）如图2，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于点M，求证：∠GHE＝2∠GME；
（3）如图3，在（2）的条件下，FK平分∠AFE交CD于点K，若∠KFE：∠MGH＝13：5，求∠HED的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质和判定解答即可；
（2）过点H作HP∥AB，根据平行线的性质解答即可；
（3）过点H作HP∥AB，根据平行线的性质解答即可．
【解答】证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠AFE＝∠FED，
∵∠AGH＝∠FED，
∴∠AFE＝∠AGH，
∴EF∥GH，
∴∠FEH+∠H＝180°，
∵FE⊥HE，
∴∠FEH＝90°，
∴∠H＝180°﹣∠FEH＝90°，
∴HG⊥HE；
（2）过点M作MQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴MQ∥CD，
过点H作HP∥AB，
∵AB∥CD，
∴HP∥CD，
∵GM平分∠HGB，
∴∠BGM＝∠HGM=12∠BGH，
∵EM平分∠HED，
∴∠HEM＝∠DEM=12∠HED，
∵MQ∥AB，
∴∠BGM＝∠GMQ，
∵MQ∥CD，
∴∠QME＝∠MED，
∴∠GME＝∠GMQ+∠QME＝∠BGM+∠MED，
∵HP∥AB，
∴∠BGH＝∠GHP＝2∠BGM，
∵HP∥CD，
∴∠PHE＝∠HED＝2∠MED，
∴∠GHE＝∠GHP+∠PHE＝2∠BGM+2∠MED＝2（∠BGM+∠MED），
∴∠GHE＝∠2GME；
（3）过点M作MQ∥AB，过点H作HP∥AB，
由∠KFE：∠MGH＝13：5，设∠KFE＝13x，∠MGH＝5x，
由（2）可知：∠BGH＝2∠MGH＝10x，
∵∠AFE+∠BFE＝180°，
∴∠AFE＝180°﹣10x，
∵FK平分∠AFE，
∴∠AFK＝∠KFE=12∠AFE，
即12(180°-10x)=13x，
解得：x＝5°，
∴∠BGH＝10x＝50°，
∵HP∥AB，HP∥CD，
∴∠BGH＝∠GHP＝50°，∠PHE＝∠HED，
∵∠GHE＝90°，
∴∠PHE＝∠GHE﹣∠GHP＝90°﹣50°＝40°，
∴∠HED＝40°．
发布【变式8-4】（2020春•东西湖区期末）已知，E、F分别是直线AB和CD上的点，AB∥CD，G、H在两条直线之间，且∠G＝∠H．
（1）如图1，试说明：∠AEG＝∠HFD；
（2）如图2，将一45°角∠ROS如图放置，OR交AB于E，OS交CD于F，设K为SO上一点，若∠BEO=12∠KEO，EG∥OS，判断∠AEG，∠GEK的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，将∠ROS=180°n（n为大于1的整数）如图放置，OR交AB于E，OS交CD于F，设K为SO上一点，连接EK，若∠AEK＝n∠CFS，则∠BEO∠OEK= 1n-1 ．
【分析】（1）作直线GH交AB于M，交CD于Q，根据平行线的性质和三角形外角的性质进行说明即可；
（2）延长KO交AB于M，根据平行线的性质和三角形外角的性质进行判断即可；
（3）作OH∥AB，利用平行线的性质和三角形外角的性质以及角的和差进行求解即可．
【解析】（1）如图1，作直线GH交AB于M，交CD于Q，
∵AB∥CD，
∴∠BMG＝∠FQH，
∵∠EGH＝∠GHF，
∴∠AEG＝∠EGH﹣∠BMG＝∠FHG﹣∠FQH＝∠HFD；
（2）∠GEK﹣2∠AEG＝45°，
如图2，延长KO交AB于M，
∵EG∥MS，
∴∠AEG＝∠EMF，∠GEK＝∠OKE，
设∠OEM＝α，则∠OEK＝2α，∠OME＝45°﹣α，
∴∠OKE＝180°﹣∠MEK﹣∠OME＝135°﹣2α，
∵EG∥OS，
∴∠GEK＝∠OKE＝135°﹣2α，
∴∠AEG＝180°﹣∠GEK﹣∠MEK＝180°﹣135°+2α﹣3α＝45°﹣α，
即∠GEK﹣2∠AEG＝45°．
（3）作OH∥AB，
∵AB∥CD，
∴OH∥CD，
如图3，
∵AB∥OH，
∴∠OEB＝∠EOH，
又∵OH∥CD，
∴∠FOH＝∠OFD，
又∵∠OFD＝∠CFS=1n∠AEK，
而∠EOH+∠HOF=180°n，
∴∠EOH=180°n-1n∠AEK，即180°﹣n∠EOH＝∠AEK，
又∵∠OEK+∠AEK+∠EOH＝180°，
∴∠OEK+180°﹣n∠EOH+∠EOH＝180°，
∴∠OEK＝（n﹣1）∠EOH，
∴∠EOH∠OEK=1n-1，
又∵∠EOH＝∠BEO，
∴∠BEO∠OEK=1n-1．
故答案为：1n-1．
发布【变式8-5】（2020春•中山区期末）阅读下⾯材料，完成（1）～（3）题．
数学课上，⽼师出示了这样⼀道题：
如图1，已知AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，EP⊥FP，∠1＝60°．求∠2的度数．
同学们经过思考后，⼩明、⼩伟、⼩华三位同学⽤不同的⽅法添加辅助线，交流了⾃⼰的想法：
⼩明：“如图2，通过作平⾏线，发现∠1＝∠3，∠2＝∠4，由已知EP⊥FP，可以求出∠2的度数．”
⼩伟：“如图3这样作平⾏线，经过推理，得∠2＝∠3＝∠4，也能求出∠2的度数．”
⼩华：“如图4，也能求出∠2的度数．”
（1）请你根据⼩明同学所画的图形（图2），描述⼩明同学辅助线的做法，辅助线： 过点P作PQ∥AB ；
（2）请你根据以上同学所画的图形，直接写出∠2的度数为 30 °；
⽼师：“这三位同学解法的共同点，都是过⼀点作平⾏线来解决问题，这个⽅法可以推⼴．”
请⼤家参考这三位同学的⽅法，使⽤与他们类似的⽅法，解决下⾯的问题：
（3）如图5，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，FP平分∠EFD，∠PEF＝∠PDF，若∠EPD＝α，请探究∠CFE与∠PEF的数量关系（⽤含α的式⼦表示），并验证你的结论．
【分析】（1）根据平行线的性质画出辅助线解答即可；
（2）根据平行线的性质解答即可；
（3）根据平行线的性质解答即可．
【解析】（1）⼩明同学辅助线的做法为：过点P作PQ∥AB；
（2）如图2，
∵AB∥PQ∥CD，
∴∠1＝∠3，∠4＝∠2，
∵∠3+∠4＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠1＝60°，
∴∠2＝90°﹣60°＝30°，
如图3，
∵AB∥CD，PF∥EQ，
∴∠2＝∠3，∠4＝∠3，
∵∠1+∠4＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠1＝60°，
∴∠2＝90°﹣60°＝30°，
如图4，
∵AB∥CD，PE∥FQ，
∴∠1＝∠3，∠4＝∠3，
∵∠2+∠4＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠1＝60°，
∴∠2＝90°﹣60°＝30°；
（3）设∠CFE＝x，∠PEF＝∠PDF＝y，
过点P作PQ∥AB，
∴∠BEP+∠EPQ＝180°，∠CFE＝∠FEB＝x，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠PDF＝∠DPQ，
∴∠DPQ＝∠PEF＝∠PDF＝y，
由∠CFE＝∠FEB＝x＝∠FEP+∠BEP，
∴x＝y+（180°﹣α+y），
∴x﹣2y＝180°﹣α，
即∠CFE﹣2∠PEF＝180°﹣α．
故答案为：（1）过点P作PQ∥AC；（2）30．
声明：试题