专题1.3变量之间的关系专题（知识梳理+典例剖析+变式训练）-2021-2022学年七年级数学下学期期末考试高分直通车【北师大版】

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【目标导航】
【知识梳理】
1.用表格表示变量之间的关系
（1）变量和常量的定义：
在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．
（2）方法：
①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化；
②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化；
③不要认为字母就是变量，例如π是常量．
（3）函数的表示方法：列表法、解析式法、图象法．
其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．
2.用关系式表示变量之间的关系
用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．
注意：①函数解析式是等式．
②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．
③函数的解析式在书写时有顺序性
3.用图象表示变量之间的关系
（1）函数的图象定义
对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．
注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．．
（2）函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
【典例剖析】
【考点1】变量与常量
【例1】（2020春•赫章县期末）甲以每小时20km的速度行驶时，他所走的路程s（km）与时间t（h）之间可用公式s＝20t来表示，则下列说法正确的是（ ）
A．数20和s，t都是变量
B．s是常量，数20和t是变量
C．数20是常量，s和t是变量
D．t是常量，数20和s是变量
【分析】根据变量和常量的定义即可判断．
【解析】在s＝20t中，数20是常量，s和t是变量，
故选：C．
【变式1-1】（2019秋•东阿县期末）李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（ ）
A．金额B．数量C．单价D．金额和数量
【分析】根据常量与变量的定义即可判断．
【解析】常量是固定不变的量，变量是变化的量，
单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化，
故选：C．
【变式1-2】（2020春•紫云县期末）假设汽车匀速行驶在高速公路上，那么在下列各量中，变量的个数是（ ）
①行驶速度；②行驶时间；③行驶路程；④汽车油箱中的剩余油量．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据常量和变量的定义解答即可．
【解析】∵汽车匀速行驶在高速公路上，速度是常量，随着时间的变化，行驶时间，行驶路程，剩余油量随之变化，
∴②行驶时间；③行驶路程；④汽车油箱中的剩余油量是变量．
故选：C．
【变式1-3】（2020春•靖远县期末）半径是R的圆的周长C＝2πR，下列说法正确的是（ ）
A．C、π、R是变量B．C是变量，2、π、R是常量
C．R是变量，2、π、C是常量D．C、R是变量，2、π是常量
【分析】根据变量和常量的概念解答即可．
【解析】在半径是R的圆的周长C＝2πR中，C、R是变量，2、π是常量，
故选：D．
【变式1-4】（2020春•曲阳县期末）如果用总长为60m的篱笆围成一个长方形场地，设长方形的面积为S（m2），周长为p（m），一边长为a（m），那么S，p，a中是变量的是（ ）
A．S和pB．S和aC．p和aD．S，p，a
【分析】根据篱笆的总长确定，即可得到周长、一边长及面积中的变量．
【解析】∵篱笆的总长为60米，
∴周长P是定值，而面积S和一边长a是变量，
故选：B．
【变式1-5】（2020春•迁西县期末）圆周长公式C＝2πR中，下列说法正确的是（ ）
A．π、R是变量，2为常量B．C、R为变量，2、π为常量
C．R为变量，2、π、C为常量D．C为变量，2、π、R为常量
【分析】根据变量是指在程序的运行过程中随时可以发生变化的量，常量是指在程序的运行过程不发生变化的量，可得答案．
【解析】在圆周长公式C＝2πR中，2、π是常量，C，R是变量．
故选：B．
【考点2】函数的表示方法
【例2】（2020春•舞钢市期末）一个蓄水池有水50m3，打开放水闸门放水，水池里的水和放水时间的关系如表，下面说法不正确的是（ ）
A．水池里的水量是自变量，放水时间是因变量
B．每分钟放水2m3
C．放水10分钟后，水池里还有水30m3
D．放水25分钟，水池里的水全部放完
【分析】根据题意可得蓄水量y＝50﹣2t，从而进行各选项的判断即可．
【解析】设蓄水量为y，时间为t，
则可得y＝50﹣2t，
A、放水时间是自变量，水池里的水量是因变量，故本选项符合题意；
B、蓄水池每分钟放水2m3，故本选项不合题意；
C、放水10分钟后，水池中水量为：y＝50﹣2×10＝30m3，故本选项不合题意；
D、蓄水池一共可以放水25分钟，故本选项不合题意；
故选：A．
【变式2-1】（2019春•行唐县期末）八年级（6）班一同学感冒发烧住院治疗，护士为了较直观地了解这位同学这一天24h的体温和时间的关系，可选择的比较好的方法是（ ）
A．列表法B．图象法
C．解析式法D．以上三种方法均可
【分析】列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．
【解析】护士为了较直观地了解这位同学这一天24h的体温和时间的关系，可选择的比较好的方法是图象法，有利于判断体温的变化情况，
故选：B．
【变式2-2】（2019春•城固县期末）某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是下表的数据
设鸭的质量为x千克，烤制时间为t分钟，估计当x＝5.5时，t的值为（ ）
A．140B．200C．240D．260
【分析】观察表格可知，烤鸭的质量每增加0.5千克，烤制时间增加20分钟，由此可判断烤制时间是烤鸭质量的一次函数，设烤制时间为t分钟，烤鸭的质量为x千克，t与x的一次函数关系式为：t＝kx+b，取（1，60），（2，100）代入，运用待定系数法求出函数关系式，再将x＝5.5千克代入即可求出烤制时间t．
【解析】从表中可以看出，烤鸭的质量每增加0.5千克，烤制的时间增加20分钟，由此可知烤制时间是烤鸭质量的一次函数．
设烤制时间为t分钟，烤鸭的质量为x千克，t与x的一次函数关系式为：t＝kx+b，
k+b=602k+b=100，
解得k=40b=20，
所以t＝40x+20．
当x＝5.5千克时，t＝40×5.5+20＝240．
故选：C．
【变式2-3】（2019春•楚雄州期末）在关系式y＝2x﹣7中，下列说法错误的是（ ）
A．x的数值可以任意选择
B．y的值随x的变化而变化
C．用关系式表示的不能用图象表示
D．y与x的关系还可以用列表法表示
【分析】根据一次函数的定义可知，x为自变量，y为函数，也叫因变量；x取全体实数；y随x的变化而变化；可以用三种形式来表示函数：解析法、列表法和图象法．
【解析】A、x的数值可以任意选择；正确；
B、y随x的变化而变化；正确；
C、用关系式表示的不能用图象表示，错误；
D、y与x的关系还可以用列表法表示，正确；
故选：C．
【考点3】函数关系式
【例3】（2020春•文圣区期末）端午节期间，某商场搞优惠促销活动，其活动内容是：“凡在本商场一次性购买粽子超过100元者，超过100元的部分按8折优惠”．在此活动中，李明到该商场一次性购买单价为60元的礼盒x（x＞2）件，则应付款y（元）与商品件数x（件）之间的关系式是（ ）
A．y＝48xB．y＝48x+20C．y＝48x﹣80D．y＝48x+40
【分析】根据已知表示出买x件礼盒的总钱数以及优惠后价格，进而得出等式即可．
【解析】∵凡在该商店一次性购物超过 100元者，超过100元的部分按8折优惠，李明到该商场一次性购买单价为60元的礼盒x（x＞2）件，
∴李明应付货款y（元）与礼盒件数x（件）的函数关系式是：y＝（60x﹣100）×0.8+100＝48x+20（x＞2），
故选：B．
【变式3-1】（2019秋•奉节县期末）我们要节约用水，平时要关好水龙头．没有关好水龙头，每滴水约0.05毫升，每分钟滴60滴．如果小明忘记关水龙头，则x分钟后，小明浪费的水y（毫升）与时间x（分钟）之间的函数关系是（ ）
A．y＝60xB．y＝3xC．y＝0.05xD．y＝0.05x+60
【分析】根据题意可得等量关系：水龙头滴出的水量y毫升＝水龙头每分钟滴出60滴水×0.05毫升×滴水时间，根据等量关系列出函数关系式．
【解析】由题意得：y＝60×0.05x＝3x，
故选：B．
【变式3-2】（2020春•济阳区期末）某同学带100元钱去买书，已知每册定价8.2元，买书后余下的钱y元和买的册数x之间的函数关系式是（ ）
A．y＝8.2xB．y＝100﹣8.2xC．y＝8.2x﹣100D．y＝100+8.2x
【分析】余下的钱数＝原有的钱数﹣买书用的钱数，把相关数值代入即可求解．
【解析】∵x册书用8.2x元钱，
∴剩余钱数y＝100﹣8.2x，
故选：B．
【变式3-3】（2020春•会宁县期末）长方形的周长为10cm，其中一边为xcm（其中x＞0），另一边为ycm，则这个长方形中y与x的关系可以写为 y＝﹣x+5（0＜x＜5） ．
【分析】利用矩形的周长的定义得到x+x+y+y＝10，然后用x表示y即可．
【解析】根据题意得x+x+y+y＝10，
所以y＝﹣x+5（0＜x＜5）．
故答案为y＝﹣x+5（0＜x＜5）．
【变式3-4】（2020春•灯塔市期末）我国是一个严重缺水的国家，大家应加倍珍惜水资源，节约用水．据测试，拧不紧的水龙头每秒会滴下3滴水，每滴水约0.05毫升，小彤同学在洗手后没有把水龙头拧紧，设小彤离开x小时后，水龙头滴了y毫升水，则y与x的关系式是 y＝540x ．
【分析】根据y毫升＝时间×每秒钟的滴水量进行解答．
【解析】由题意得：y＝3600x×3×0.05x，
∴y＝540x；
故答案为：y＝540x．
【考点4】函数的图象
【例4】（2020春•太平区期末）小华同学喜欢锻炼，周六他先从家跑步到新华公园，在那里与同学打一会儿羽毛球后又步行回家，下面能反映小华离家距离y与所用时间x之间关系的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】本题需先根据已知条件，确定出每一步的函数图形，再把图象结合起来即可求出结果．
【解析】∵小华从家跑步到离家较远的新华公园，
∴随着时间的增加离家的距离越来越远，
∵他在那里与同学打一段时间的羽毛球，
∴他离家的距离不变，
又∵再步行回家，
∴他离家越来越近，
∴小华同学离家的距离y与所用时间x之间函数图象的大致图象是B．
故选：B．
【变式4-1】（2020春•原州区期末）一艘游船在沙湖上航行，往返于码头和景点之间，假设游船在静水中的速度不变，沙湖的水流速度不变，该游船从码头出发，逆水航行到景点，停留一段时间（游客下船、游客上船），又顺水返回码头．若该游船从码头出发后所用时间为x（h），游船距码头的距离为y（km），则下列各图中，能够反映y与x之间函数关系的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据题意，可以写出各段过程中，y与x的函数关系，从而可以解答本题，注意去的时候逆水，返回时顺水．
【解析】由题意可得，
游船从码头出发，逆水航行到景点的过程中，y随x的增大而增大，
游船在景点停留的这段时间的过程中，y随x的增大不变，
游船顺水返回码头的过程中，y随x的增大而减小且所用的时间比逆水航行到景点的时间短，
故选：C．
【变式4-2】（2020春•桂林期末）匀速地向一个容器注水，最后把容器注满．在注水的过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OEFG为一折线），那么这个容器的形状可能是下列图中的（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意先比较OE、EF、FG三段的变化快慢，再比较三个容器容积的大小，即可得出图形，再根据图形从而画出图象．
【解析】从图中可以看出，OE上升最快，EF上升较慢，FG上升较快，
所以容器的底部容积最小，中间容积最大，上面容积较大，
故选：B．
【变式4-3】（2020春•丹东期末）小明从家出发走了10分钟后到达了离家800米的书店买书，在书店停留了10分钟，然后用15分钟返回到家，下列图象能表示小明离家y（米）与时间x（分）之间关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据路程随出发时间的变化而变化的情况进行判断即可．
【解析】根据题意，在前10分钟，离家的距离随时间增加而增加，
当时间为10分钟，距离达到离家800米，
在书店停留了10分钟，离家的距离仍为800米不变，
然后用15分钟离家的距离由800米逐渐减少到0米，返回到家，
故选：D．
【变式4-4】（2020春•开封期末）甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的关系如图所示，则下列说法中：①甲队每天挖100米；②乙队开挖2天后，每天挖50米；③甲队比乙队提前3天完成任务；④当x＝2或6时，甲、乙两队所挖管道长度都相差100米．正确的有（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
【分析】①根据函数图象由工作效率＝工作总量÷工作时间就可以得出结论；
②根据函数图象由工作效率＝工作总量÷工作时间就可以得出结论；
③根据函数图象求出乙队完成的时间就可以求出结论；
④由甲的工作效率就可以求出2天时的工作量为200米，乙队是300米．6天时甲队是600米，乙队是500米得出300﹣200＝600﹣500＝100米故得出结论．
【解析】①根据函数图象得：
甲队的工作效率为：600÷6＝100（米/天），故正确；
②根据函数图象，
得乙队开挖两天后的工作效率为：（500﹣300）÷（6﹣2）＝50（米/天），故正确；
③乙队完成任务的时间为：2+（600﹣300）÷50＝8（天），
∴甲队提前的时间为：8﹣6＝2（天）．
∵2≠3，
∴③错误；
④当x＝2时，甲队完成的工作量为：2×100＝200（米），
乙队完成的工作量为：300米．
当x＝6时，甲队完成的工作量为600米，乙队完成的工作量为500米．
∵300﹣200＝600﹣500＝100（米），
∴当x＝2或6时，甲乙两队所挖管道长度都相差100米．故正确．
正确的有：①②④．
故选：B．
【考点5】有关用表格表示的变量之间关系的解答题
【例5】（2020春•太平区期末）一种豆子每千克售2元，豆子的总售价y（元）与所售豆子的质量x（千克）之间的关系如下表：
（1）在这个表格中反映的是哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）当豆子售出5千克时，总售价是多少？
（3）按表中给出的关系，用一个式子把x与y之间的关系表示出来．
（4）当豆子售出20千克时，总售价是多少？
【分析】（1）根据变量的概念即可得出答案；
（2）根据图片给出的数据即可得出答案；
（3）根据图表所给数据可设函数关系式y＝kx，代入数据即可求出答案；
（4）根据（3）中的关系式即可求出答案．
【解析】（1）表格中反映的是售出豆子质量x（千克）与总售价y（元）之间的关系，售出豆子的质量x（千克）是自变量，总售价y（元）是因变量；
（2）由图表可知，
售出5千克时，总售价为10元；
（3）设x与y之间的关系为：y＝kx，
把x＝1，y＝2代入上式，
得k＝2，
x与y之间的关系为y＝2x；
（4）当豆子售出20千克时，
y＝2×20＝40（元），
当豆子售出20千克时，总售价是40元．
【变式5-1】（2020春•莱州市期末）根据心理学家研究发现，学生对一个新概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（分钟）之间有如表所示的关系：
（1）上表中反映的两个变量之间的关系，哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）根据表格中的数据，提出概念所用时间是多少分钟时，学生的接受能力最强？
（3）学生对一个新概念的接受能力从什么时间开始逐渐减弱？
【分析】（1）根据表格中提供的数量的变化关系，得出答案；
（2）根据表格中两个变量变化数据得出答案；
（3）提供变化情况得出结论．
【解析】（1）表格中反映的是：提出概念所用时间与对概念的接受能力这两个变量，其中“提出概念所用时间”是自变量，“对概念的接受能力”为因变量；
（2）根据表格中的数据，提出概念所用时间是13分钟时，学生的接受能力最强达到59.9；
（3）学生对一个新概念的接受能力从第13分钟以后开始逐渐减弱．
【变式5-2】（2020春•郓城县期末）在建设社会主义新农村过程中，某村委决定投资开发项目，现有6个项目可供选择，各项目所需资金及预计年利润如下表：
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）如果预计要获得0.9千万元的利润，你可以怎样投资项目？
（3）如果该村可以拿出10亿元进行多个项目的投资，预计最大年利润是多少？说明理由．
【分析】（1）分别根据变量、因变量的定义分别得出即可；
（2）根据图表分析得出投资方案；
（3）分别求出不同方案的利润进而得出答案．
【解析】（1）所需资金和利润之间的关系．
所需资金为自变量．
年利润为因变量；
（2）可以投资一个7亿元的项目．
也可以投资一个2亿元，再投资一个4亿元的项目．
还可以投资一个1亿元，再投资一个6亿元的项目．
（3）共三种方案：①1亿元，2亿元，7亿元，利润是1.45亿元．
②2亿元，8亿元，利润是1.35亿元．
③4亿元，6亿元，利润是1.25亿元．
∴最大利润是1.45亿元．
【变式5-3】（2019春•太原期末）在某地，人们发现在一定温度下某种蟋蟀叫的次数与温度之间有如下的近似关系：
（1）在这个变化过程中，自变量是 当地温度 ，因变量是 蟋蟀1min叫的次数 ．
（2）当地温度x每增加1℃，这种蟋蟀1min叫的次数y是怎样变化的？
（3）这种蟋蟀1min叫的次数y（次）与当地温度x（℃）之间的关系为 y＝7x﹣21 ．
（4）当这种蟋蟀1min叫的次数y＝105时，求当时该地的温度．
【分析】（1）根据自变量和因变量的定义，可得答案；
（2）根据表格数据可得答案；
（3）根据表格数据可得答案；
（4）根据因变量的值，可得相应的自变量的值．
【解析】（1）自变量是当地温度，因变量是蟋蟀1min叫的次数；
故答案为：当地温度，蟋蟀1min叫的次数；
（2）由表格数据可知：当地温度x每增加1℃，这种蟋蟀1min叫的次数y增加7次；
（3）由表格数据可知：这种蟋蟀1min叫的次数y（次）与当地温度x（℃）之间的关系为y＝14+7（x﹣5）＝7x﹣21；
故答案为：y＝7x﹣21；
（4）当y＝105时，7x﹣21＝105，
解得：x＝18，
答：当这种蟋蟀1min叫的次数y＝105时，当时该地的温度为18℃．
【变式5-4】（2019春•福田区期末）小亮想了解一根弹簧的长度是如何随所挂物体质量的变化而变化的，他把这根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下面是小亮测得的弹簧的长度y与所挂物体质量x的几组对应值．
（1）上表所反映的变化过程中的两个变量， 所挂物体质量 是自变量， 弹簧长度 是因变量；
（2）直接写y与x的关系式；
（3）当弹簧长度为130cm（在弹簧承受范围内）时，求所挂重物的质量．
【分析】（1）因为表中的数据主要涉及到弹簧的长度和所挂物体的质量，所以反映了所挂物体的质量和弹簧的长度之间的关系，所挂物体的质量是自变量；弹簧的长度是因变量；
（2）利用表格中数据的变化进而得出答案；
（3）由（2）中关系式，可求当弹簧长度为130cm（在弹簧承受范围内）时，所挂重物的质量．
【解析】（1）上表反映了弹簧长度与所挂物体质量之间的关系；其中所挂物体质量是自变量，弹簧长度是因变量；
故答案为：所挂物体质量，弹簧长度；
（2）由表格可得：当所挂物体重量为1千克时，弹簧长32厘米；当不挂重物时，弹簧长30厘米，
则y与x的关系式为：y＝2x+30；
（3）当弹簧长度为130cm（在弹簧承受范围内）时，
130＝2x+30，
解得x＝50，
答：所挂重物的质量为50kg．
【变式5-5】（2019春•龙岗区期末）某公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数x（人）与每月利润（利润＝收入费用﹣支出费用）y（元）的变化关系如下表所示（每位乘客的公交票价是固定不变的）：
（1）在这个变化过程中， 每月的乘车人数x 是自变量， 每月利润y 是因变量；
（2）观察表中数据可知，每月乘客量达到 2000 人以上时，该公交车才不会亏损；
（3）请你估计当每月乘车人数为3500人时，每月利润为多少元？
（4）若5月份想获得利润5000元，则请你估计5月份的乘客量需达 4500 人．
【分析】（1）直接利用常量与变量的定义分析得出答案；
（2）直接利用表中数据分析得出答案；
（3）利用由表中数据可知，每月的乘车人数每增加500人，每月的利润可增加1000元，进而得出答案；
（4）由（3）得出当利润为5000元时乘客人数，即可得出答案．
【解析】（1）在这个变化过程中，每月的乘车人数x是自变量，每月的利润y是因变量；
故答案为每月的乘车人数x，每月的利润y；
（2）观察表中数据可知，每月乘客量达到观察表中数据可知，每月乘客量达到2000人以上时，该公交车才不会亏损；
故答案为2000；
（3）由表中数据可知，每月的乘车人数每增加500人，每月的利润可增加1000元，
当每月的乘车人数为2000人时，每月利润为0元，则当每月乘车人数为3500人时，每月利润为3000元；
（4）由表中数据可知，每月的乘车人数每增加500人，每月的利润可增加1000元，
当每月的乘车人数为2000人时，每月利润为0元，则当每月利润为5000元时，每月乘车人数为4500人，
故答案为4500．
【考点6】有关用关系式表示的变量之间关系的解答题
【例6】（2020春•焦作期末）文具店出售书包和文具盒，书包每个定价为30元，文具盒每个定价为5元．该店制定了两种优惠方案：①买一个书包赠送一个文具盒；②按总价的九折（总价的90%）付款．某班学生需购买8个书包、若干个文具盒（不少于8个），如果设文具盒个数为x（个），付款数为y（元）．
（1）分别求出两种优惠方案中y与x之间的关系式；
（2）购买文具盒多少个时，两种方案付款相同？
【分析】（1）根据题意结合买一个书包赠送一个文具盒，表示出购买费用；根据题意结合按总价的9折（总价的90%）付款，表示出购买费用；
（2）分别求出两种方案的总费用，进而得出答案．
【解析】（1）方案①：y1＝30×8+5（x﹣8）＝200+5x；
方案②：y2＝（30×8+5x）×90%＝216+4.5x；
（2）由题意可得：y1＝y2，即200+5x＝216+4.5x，
解得：x＝32，
答：购买文具盒32个时，两种方案付款相同．
【变式6-1】（2020春•槐荫区期末）某剧院的观众席的座位为扇形，且按下列方式设置：
（1）按照上表所示的规律，当排数为6时，此时座位数为多少？
（2）写出座位数y与排数x之间的关系式；
（3）按照上表所示的规律，某一排可能有90个座位吗？说说你的理由．
【分析】（1）第5排比第4排多3个，第6排比第5排多3个；
（2）从第一排开始，每一排比它前面一排多3个座位，则第x排比第1排多3（x﹣1）个座位，从而得到y与x的关系式；
（3）利用y与x的关系式，计算y＝90对应的x的值，若x为正整数，则可能；若x不为正整数，则不可能．
【解析】（1）当排数为6时，此时座位数为65个；
（2）y＝50+3（x﹣1），
即y＝3x+47；
（3）不可能．
理由如下：
当y＝90时，3x+47＝90，解得x=433，
因为433不是正整数，
所以某一排不可能有90个座位．
【变式6-2】（2020春•靖远县期末）已知一个长方形中，相邻的两边长分别是xcm和4cm，设长方形的周长为ycm．
（1）试写出y与x之间的关系式；
（2）求x＝10cm时，长方形的周长；
（3）求长方形周长为30cm时，x的值．
【分析】（1）根据长方形的周长公式列出表达式整理即可；
（2）把x＝10cm代入函数解析式即可求出y的值；
（3）把y＝30cm代入函数解析式即可求出x的值．
【解析】（1）根据长方形的周长公式得2（x+4）＝y，
∴y＝2x+8；
（2）当x＝10cm时，y＝2×10+8＝28cm，
∴长方形的周长为28cm；
③当y＝30cm时，2x+8＝30，
解得x＝11cm．
【变式6-3】（2020春•建平县期末）为了解某种品牌小汽车的耗油量，我们对这种车在高速公路上做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成如下表：
（1）根据上表的数据，请你写出Q与t的关系式；
（2）汽车行驶5h后，油箱中的剩余油量是多少？
（3）该品牌汽车的油箱加满48L，若以100km/h的速度匀速行驶，该车最多能行驶多远？
【分析】（1）由表格可知，开始油箱中的油为100L，每行驶1小时，油量减少6L，据此可得t与Q的关系式；
（2）求汽车行驶5h后，油箱中的剩余油量即是求当t＝5时，Q的值；
（3）贮满48L汽油的汽车，理论上最多能行驶几小时即是求当Q＝0时，t的值．
【解析】（1）Q＝100﹣6t；
（2）当t＝5时，Q＝100﹣6×5＝70，
答：汽车行驶5h后，油箱中的剩余油量是70L；
（3）48÷6×100＝800
答：该车最多能行驶800km；
【变式6-4】（2018秋•菏泽期末）为了解某品牌轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到如下数据：
（1）该轿车油箱的容量为 50 L，行驶100km时，油箱剩余油量为 42 L；
（2）根据上表的数据，写出油箱剩余油量w（L）与轿车行驶的路程s（km）之间的表达式 w＝50﹣0.08s ；
（3）某人将油箱加满后，驾驶该轿车从A地前往B地，到达B地时邮箱剩余油量为26L，求A，B两地之间的距离．
【分析】（1）由表格可知，开始油箱中的油为50L，每行驶10km，油量减少0.8L，由此填空；
（2）由表格可知，开始油箱中的油为50L，每行驶10km，油量减少0.8L，据此可得w与s的关系式；
（3）把w＝26代入函数关系式求得相应的s值即可．
【解析】（1）由表格中的数据可知，该轿车油箱的容量为50L，行驶100km时，油箱剩余油量为：50-10010×0.8＝42（L）．、
故答案是：50；42；
（2）由表格可知，开始油箱中的油为50L，每行驶10km，油量减少0.8L，据此可得w与s的关系式为w＝50﹣0.08s；
故答案是：w＝50﹣0.08s；
（3）令w＝26，得s＝300．
答：A，B两地之间的距离为300km．
【变式6-5】（2019春•雁塔区校级期末）某商场的一种书法笔每只售价25元，书法练习本每本售价5元．为促销，商场制定了两种优惠方案：买一支书法笔就赠送一本书法练习本；方案二：按购买金额的九折付款，我校书法社团购买10支书法笔，x（x＞10）本练习本．
（1）请你写出两种优惠方案的实际付款金额y（元）与x（本）之间的关系式．
（2）当购买多少本书法练习本时，两种优惠方案的实付金额一样？
【分析】（1）y1（元）＝书法笔总价钱+（x﹣10）本练习本总价钱；y2（元）＝（书法笔总价钱+练习本总价钱）×0.9，根据这两个相等关系列式即可；
（2）比较（1）中的关系式列出方程解答即可．
【解析】（1）y1＝25×10+（x﹣10）×5＝5x+200；
y2＝（25×10+5x）×0.9＝4.5x+225．
（2）当y1＝y2时，
即5x+200＝4.5x+225，
解得：x＝50；
答：当购买50本书法练习本时，两种优惠方案的实付金额一样
【考点7】有关用图象表示的变量之间关系的解答题
【例7】（2020春•济南期末）某天早晨，王老师从家出发步行前往学校，途中在路边一饭店吃早餐，如图所示是王老师从家到学校这一过程中的所走路程s（米）与时间t（分）之间的关系．
（1）学校离他家 1000 米，从出发到学校，王老师共用了 25 分钟；王老师吃早餐用了 10 分钟？
（2）观察图形直接回答王老师吃早餐以前的速度快还是吃完早餐以后的速度快？
【分析】利用函数图象中横、纵坐标的意义分别求解．
【解析】（1）由图象可知，学校离他家1000米，从出发到学校，王老师共用了25分钟；王老师吃早餐用了20﹣10＝10（分钟），
故答案为：1000，25，10；
（2）根据图象可得：王老师吃早餐以前的速度为：50010=50（米/分），吃完早餐以后的速度为：1000-50025-20=100（米/分），
50＜100，
答：吃完早餐以后的速度快．
【变式7-1】（2020春•永州期末）由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少．蓄水量y（万立方米）与干旱时间t（天）之间的关系如图所示，回答下列问题：
（1）干旱持续到第10天，水库的蓄水量为 1200 万立方米．
（2）若水库的蓄水量小于360万立方米时，将发生严重干旱警报，那么多少天后将发生严重干旱警报？
（3）在（2）的条件下，照这样干旱下去，预计再持续多少天时，水库将干涸．
【分析】根据图象可知，干旱时间为10天时，蓄水量由原来的1500万立方米降低到1200万立方米，由此可知每天下降30万立方米，据此解答即可．
【解析】（1）由图象可知，干旱持续到第10天，水库的蓄水量为1200万立方米．
故答案为：1200；
（2）（1500﹣1200）÷10＝30（万立方米），
（1500﹣360）÷30＝38（天），
答：38天后将发生严重干旱警报；
（3）1500÷30﹣38＝12（天），
答：照这样干旱下去，预计再持续12天时，水库将干涸．
【变式7-2】（2020春•陈仓区期末）新冠病毒防疫期间，草莓摊主小钱为避免交叉感染的风险，建议顾客选择微信支付，尽量不使用现金，早上开始营业前，他查看了自己的微信零钱；销售完20kg后，他又一次查看了微信零钱，由于草莓所剩不多，他想早点卖完回家，于是每千克降价10元销售，很快销售一空，小钱弟弟根据小钱的微信零钱（元）与销售草莓数量（kg）之间的关系绘制了下列图象，请你根据以上信息回答下列问题：
（1）图象中A点表示的意义是什么？
（2）降价前草莓每千克售价多少元？
（3）小钱卖完所有草莓微信零钱应有多少元？
【分析】（1）根据图象解答；
（2）根据销售草莓20kg后，小钱的微信零钱为650元解答；
（3）求出降价后草莓每千克售价，计算即可．
【解析】（1）由图象可知，小钱开始营业前微信零钱有50元；
（2）由图象可知，销售草莓20kg后，小钱的微信零钱为650元，
∴销售草莓20kg，销售收入为650﹣50＝600元，
∴降价前草莓每千克售价为：600÷20＝30（元）；
（3）降价后草莓每千克售价为：30﹣10＝20元，
∴小钱卖完所有草莓微信零钱为：650+5×20＝750（元），
答：小钱卖完所有草莓微信零钱应该有750元．
【变式7-3】（2020春•九江期末）小明从家里跑步去体育场，在那里锻炼了一会儿后，又走到文具店去买笔，然后走回家，如图是小明离家的距离与时间的关系图象．根据图象回答下列问题：
（1）体育场离小明家 2.5 千米．
（2）小明在文具店逗留了 20 分钟．
（3）求小明从文具店到家的速度（千米/时）是多少？
【分析】（1）根据函数图象可以得到体育场离小明家的距离；
（2）根据函数图象可以计算出小明在体育场锻炼了多长时间；
（3）根据函数图象中的数据可以计算出小明从文具店到家的平均速度．
【解析】（1）由图象可知，体育场离小明家2.5千米．
故答案为：2.5；
（2）由图象可知，小明在文具店逗留了：65﹣45＝20（分钟）．
故答案为：20；
（3）1.5÷3560=187（km/h），
答：小明从文具店到家的速度为187千米/时．
【变式7-4】（2020春•竞秀区期末）某地举行龙舟赛，甲、乙两队在比赛时，路程y（米）与时间x（分钟）的函数图象如图所示，根据函数图象填空和解答问题：
（1）最先到达终点的是 乙 队，比另一队领先 1 分钟到达；
（2）在比赛过程中，甲队的速度始终保持为 150 米/分；而乙队在第 2 分钟后第一次加速，速度变为 150 米/分，在第 4 分钟后第二次加速；
（3）假设乙队在第一次加速后，始终保持这个速度继续前进，那么甲、乙两队谁先到达终点？请说明理由．
【分析】（1）由函数图象时间与路程的关系就可以得出结论；
（2）由路程÷时间就可以求出甲的速度，由函数图象就可以得出变速的时间及速度；
（3）先求出乙第一次加速后的速度就可以求出乙行驶完全程的时间，与甲的时间比较就可以得出结论．
【解析】（1）由函数图象得：
最先到达终点的是乙队，比另一队领先6﹣5＝1分钟到达．
故答案为：乙，1；
（2）由函数图象得：
甲的速度为：900÷6＝150米/分，而乙队在第2分钟后第一次加速，其速度为（500﹣200）÷2＝150米/分，第4分钟后第二次加速．
故答案为：150，2，150，4；
（3）乙队在第一次加速后，始终保持这个速度继续前进走完余下路程需要的时间为
700÷150=143，
∴乙队走完全程的时间为2+143=203分钟．
∵甲队行驶完全程需要的时间是6分钟．203＞6，
∴甲先到达终点．
【变式7-5】（2020春•镇平县期末）如图1，动点P以2cm/s的速度沿B→C→D→E→F→A的路径匀速运动，相应的△ABP的面积S与时间t之间的函数关系如图2所示，若AB＝6cm，试回答下列问题．
（1）如图1，BC的长为 8cm ，多边形ABCDEF的面积为 60cm2 ；
（2）如图2，a的值为 24 ，b的值为 17 ．
【分析】（1）根据题意得：动点P在BC上运动的时间是4秒，又由动点的速度可得BC的长；多边形ABCDEF的面积等于AB×AF﹣CD×DE，根据图象求出CD和DE的长，代入数据计算可得答案；
（2）由AB＝6cm，可以计算出△ABP的面积，计算可得a的值；计算BC+CD+DE+EF+FA的长度，又由P的速度，计算可得b的值．
【解析】（1）动点P在BC上运动时，对应的时间为0到4秒，易得：BC＝2cm/秒×4秒＝8cm；
由图可得：CD＝2×2＝4cm，DE＝2×3＝6cm，
则AF＝BC+DE＝14cm，
又由AB＝6cm，
则多边形ABCDEF的面积为AB×AF﹣CD×DE＝60cm2，
故答案为：8cm；60cm2；
（2）根据题意，12×BC×AB=12×8×6=24cm2．
根据题意，动点P共运动了BC+CD+DE+EF+FA＝8+4+6+2+14＝34cm，
其速度是2cm/秒，则b=342=17秒；
故答案为：24；17；
放水时间（分）
1
2
3
4
…
水池中水量（m3）
48
46
44
42
…
鸭的质量/千克
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
烤制时间/分
40
60
80
100
120
140
160
180
售出豆子质量x（千克）
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
5
总售价y（元）
0
1
2
3
4
5
6
10
提出概念所用时间（x）
2
5
7
10
12
13
14
17
20
对概念的接受能力（y）
47.8
53.5
56.3
59
59.8
59.9
59.8
58.3
55
所需资金（亿元）
1
2
4
6
7
8
预计利润（千万元）
0.2
0.35
0.55
0.7
0.9
1
当地温度x（℃）
5
6
7
8
9
…
蟋蟀1min叫的次数y（次）
14
21
28
35
42
…
所挂质量x/kg
0
1
2
3
4
5
弹簧长度y/cm
30
32
34
36
38
40
x（人）
500
1000
1500
2000
2500
3000
…
y（元）
﹣3000
﹣2000
﹣1000
0
1000
2000
…
排数（x）
1
2
3
4
…
座位数（y）
50
53
56
59
…
汽车行驶时间t/h
0
1
2
3
…
油箱剩余油量Q/L
100
94
88
82
…
轿车行驶的路程s（km）
0
10
20
30
40
…
油箱剩余油量w（L）
50
49.2
48.4
47.6
46.8
…