空间向量及其加减运算

时间：45分钟　　分值：100分

A学习达标

一、选择题(每小题6分，共36分)

1．已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，则＋＋为(　　)

A.　 B.

C.   D．0

解析：＋＋＝＋＝.

答案：A

图1

2．点D是空间四边形OABC的边BC的中点，＝a，＝b，＝c，则为(　　)

A.(a＋b)－c

B.(c＋a)－b

C.(b＋c)－a

D．a＋(b＋c)

解析：＝＋＝－a＋(＋)＝－a＋(b＋c)．

答案：C

图2

3．已知P是正六边形ABCDEF外一点，O为ABCDEF的中心，则＋＋＋＋＋等于(　　)

A.          B．3

C．6        D．0

解析：＋＋＋＋＋＝6＋(＋＋＋＋＋)＝6.

答案：C

4．设a表示向东3 m，b表示向北4 m，c表示向上5 m，则(　　)

A．a－b＋c表示向东3 m，向南4 m，向上5 m

B．a＋b－c表示向东3 m，向北4 m，向上5 m

C．2a－b＋c表示向东3 m，向南4 m，向上5 m

D．2(a＋b＋c)表示向东6 m，向北8 m，向上5 m

答案：A

5．在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的是(　　)

A．－a＋b＋c       B.a＋b＋c

C.a－b＋c           D．－a－b＋c

答案：A

6．空间四边形ABCD中，若E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边上的中点，则下列各式中成立的是(　　)

A.＋＋＋＝0  B.＋＋＋＝0

C.＋＋＋＝0  D.－＋＋＝0

图3

解析：如图3，∵＋＝，

＋＝＋＝，

＋＝0，

∴＋＋＋＝0.

答案：B

二、填空题(每小题8分，共24分)

图4

7．如图4，a、b是两个空间向量，则与是________向量，与是________向量．

答案：相等　相反

8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，给出以下向量表达式：①(－)－；②(＋)－；③(－)－2；④(＋)＋.其中能够化简为向量的是________．

解析：①中(－)－＝－＝；②中(＋)－＝－＝；③中(－)－2＝－2≠；④中(＋)＋＝＋＝≠，所以①②正确．

答案：①②

图5

9．已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，则下列四式中：

①－＝；

②＝＋＋；

③＝；

④＋＋＋＝.

正确式子的序号是________．

解析：－＝＋＝，①正确；＋＋＝＋＋＝，②正确；③正确；(＋)＋＋＝＋＋＝＋＝，故④错误．

图6

答案：①②③

三、解答题(共40分)

10．(10分)如图6所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，化简式子：－＋－＋－，并在图中标出化简结果的向量．

图7

解：－＋－＋－＝＋＋＝＋＝，如图7.

图8

11．(15分)已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，以图中一对顶点构造向量，使它们分别等于：(1)＋；

(2)－；

(3)＋＋.

解：(1)＋＝＋＝.

(2)－＝－＝.

(3)＋＋＝－＋＝－＋＝＋＝＋＝.

B 创新探究

12．(15分)已知长方体ABCD－A′B′C′D′，点E、F分别是上底面A′B′C′D′和面CC′D′D的中心，求下列各题中x、y、z的值：

(1)＝x＋y＋z；

(2)＝x＋y＋z；

(3)＝x＋y＋z.

解：(1)∵＝＋＋，

又由题知＝x＋y＋z，

∴x＝1，y＝1，z＝1.

(2)∵＝＋＝＋(＋)＝＋ ＋，

又由题知＝x＋y＋z，

∴x＝，y＝，z＝1.

(3)∵＝＋＝＋(＋)＝－＋＋，

又由题知＝x＋y＋z，

∴x＝－，y＝1，z＝.