- 第二章 圆锥曲线与方程达标检测 试卷 3 次下载
- 3.1.1 空间向量及其加减运算练习题 试卷 1 次下载
- 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示练习题 试卷 2 次下载
- 3.21 第1课时 空间的平行与垂直练习题 试卷 1 次下载
- 3.21 第2课时 空间的角与距离练习题 试卷 1 次下载
选修2-13.1空间向量及其运算同步达标检测题
展开3.1.3 空间向量的数量积运算
基础过关练
题组一 空间向量数量积的概念及运算
1.设a,b,c是任意的非零空间向量,且它们互不共线,下列命题:①(a·b)c-(c·a)b=0;②|a|=;③a2b=b2a;④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.其中正确的有( )
A.①② B.②③
C.③④ D.②④
2.设平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知(+-2)·(-)=0,则△ABC一定是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
3.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=4,E为侧面AB1的中心,F为A1D1的中点,计算:
(1)·;(2)·;(3)·.
题组二 空间向量的夹角
4.在正四面体ABCD中,与的夹角为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
5.已知a,b是两异面直线,A,B∈a,C,D∈b,AC⊥b,BD⊥b且AB=2,CD=1,则直线a,b所成的角为( )
A.30° B.60° C.90° D.45°
6.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等,M是侧棱CC1的中点,则异面直线AB1与BM所成的角的大小是 .
7.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,BC=2,AA1=3,E为CC1上的点,且CE=1,求异面直线AB1,BE所成角的余弦值.
题组三 求长度或距离
8.已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=AD=1,且这三条棱彼此之间的夹角都是60°,则AC1的长为( )
A.6 B. C.3 D.
9.如图,已知平行四边形ABCD中,AD=4,CD=3,∠D=60°,PA⊥平面ABCD,且PA=6,则PC=( )
A.3 B.7 C.4 D.6
10.如图所示,在一个直二面角α-AB-β的棱上有两点A,B,AC,BD分别是这个二面角的两个面内垂直于AB的线段,且AB=4,AC=6,BD=8,则CD的长为 .
题组四 空间向量的垂直
11.若向量m垂直于向量a和b,向量n=λa+μb(λ,μ∈R,且λ,μ≠0),则( )
A.m∥n
B.m⊥n
C.m不平行于n,m也不垂直于n
D.以上三种情况都有可能
12.已知a,b是异面直线,且a⊥b,e1,e2分别为取自直线a,b上的单位向量,且m=2e1+3e2,n=ke1-4e2,m⊥n,则实数k的值为( )
A.-6 B.6 C.3 D.-3
能力提升练
一、选择题
1.(2020广东潮州高二期末,★★☆)设A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足·=0,·=0,·=0,则△BCD是( )
A.钝角三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D.等边三角形
2.(2019北京东城高二上学期期末,★★☆)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有下列命题:
①(++)2=3;
②·(-)=0;
③与的夹角为60°.
其中正确命题的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.0
3.(★★☆)如图,在大小为45°的二面角A-EF-D中,四边形ABFE,CDEF都是边长为1的正方形,则B,D两点间的距离是( )
A. B.
C.1 D.
4.(★★☆)已知在正四面体DABC中,所有棱长都为1,△ABC的重心为G,则DG的长为( )
A. B.
C. D.
二、填空题
5.(2020福建福州协作校高二期末联考,★★☆)在棱长为2的正四面体ABCD中,E是BC的中点,则·= .
6.(2018辽宁重点高中协作校期末,★★☆)已知四面体PABC中,∠PAB=∠BAC=∠PAC=60°,||=1,||=2,||=3,则|++|= .
7.(2019广西玉林高二期末,★★★)如图,在△ABC和△AEF中,B是EF的中点,AB=2,EF=4,CA=CB=3,若·+·=7,则与的夹角的余弦值等于 .
三、解答题
8.(2019河北正定中学高二月考,★★☆)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是C1D1,D1D的中点,正方体的棱长为1.
(1)求<,>的余弦值;
(2)求证:⊥.
9.(2019宁夏银川一中高二期中,★★☆)如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长度都为1,点E,F,G分别是AB,AD,CD的中点,设=a,=b,=c.计算:
(1)·;(2)||.
答案全解全析
基础过关练
1.D 由于数量积不满足结合律,故①不正确;由数量积的性质知②正确;③中,可化为|a|2b=|b|2a,因为a,b不共线,所以该式一定不成立;④中运算正确.
2.B 因为+-2=(-)+(-)=+,
所以(+-2)·(-)=(+)·(-)=-=0,
所以||=||,因此△ABC是等腰三角形.
无法判断是不是等边三角形或等腰直角三角形.
3.解析 如图所示,设=a,=b,=c,
则|a|=|c|=2,|b|=4,a·b=b·c=c·a=0.
(1)·=·(+)
=·
=b·
=|b|2=42=16.
(2)·=(+)·(+)
=·(+)
=·(a+c)
=|c|2-|a|2=22-22=0.
(3)·=(+)·(+)
=·
=·
=(-a+b+c)·
=-|a|2+|b|2=2.
4.C <,>=180°-<,>=180°-60°=120°.
5.B 由于=++,则·=(++)·==1.
cos<,>==,
得<,>=60°.结合异面直线所成角的范围,得a,b所成的角为60°.
6.答案 90°
解析 不妨设棱长为2,则=-,=+,
cos<,>===0.故<,>=90°.结合异面直线所成角的范围,得AB1与BM所成的角为90°.
7.解析 ·=(+)·(+)=·+·+·+·=0+0+0+3=3.
易知||=,||=,
∴cos<,>===.
即异面直线AB1,BE所成角的余弦值为.
8.B 设=a,=b,=c,
则|a|=|b|=|c|=1,
且<a,b>=<b,c>=<c,a>=60°,
因此a·b=b·c=c·a=.
由=a+b+c,得
||2==a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=6.
∴||=.故选B.
9.B 因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AD,PA⊥DC,所以||2=·=(++)2
=||2+||2+||2+2·+2·+2·
=62+42+32+0+2×4×3×cos 120°+0=49,
所以||=7.
10.答案 2
解析 ∵=++=-+,
∴=(-+)2
=++-2·+2·-2·=16+36+64=116,
∴||=2.
11.B 由题意知,m·a=0,m·b=0,则m·n=m·(λa+μb)=λm·a+μm·b=0.因此m⊥n.
12.B 由m⊥n,得m·n=0,∴(2e1+3e2)·(ke1-4e2)=0,∴2k-12=0,∴k=6.
能力提升练
一、选择题
1.B ∵·=0,·=0,·=0,
∴·=(-)·(-)
=·-·-·+
==||2>0,
∴cos B=>0,故B是锐角,
同理,·>0,·>0,可得D,C都是锐角,
故△BCD是锐角三角形.故选B.
2.B 根据向量数量积的定义,知①②正确;与的夹角为120°,③不正确.故选B.
3.D ∵=++,
∴||2=(++)2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=1+1+1-,
故||=,故选D.
- D 如图,连接AG并延长,交BC于点M,连接DM,∵G是△ABC的重心,∴AG=AM,∴=,=+=+=+(-)=+×=(++),而(++)2=+++2·+2·+2·=1+1+1+2(cos 60°+
cos 60°+cos 60°)=6,∴||=.
二、填空题
5.答案 1
解析 如图,∵E是BC的中点,∴=+=+(+).
∴·=·
=·+·+·
=||||cos 120°+||||cos 60°+2
=-2+1+2=1.
6.答案 5
解析 ∵在四面体PABC中,∠PAB=∠BAC=∠PAC=60°,||=1,||=2,||=3,∴·=1×2×
cos 60°=1,·=2×3×cos 60°=3,·=1×3×cos 60°=,
则|++|===5.
7.答案
解析 由题意可得=(-)2=+-2· =9+4-2·=9,
∴·=2.
由·+·=7,可得
·(+)+·(+)
=+·+·+·
=4+·(-)+2+·
=6+·(-)
=6+·=7.
∴·=2,即4×3×cos<,>=2,
∴cos<,>=.
三、解答题
8.解析 (1)=+=+,
=+=+=-.
∵·=0,·=0,·=0,
∴·=·=.
又||=||=,∴cos<,>=.
(2)证明:=+=-+,
=+=-(+),
∴·=0,∴⊥.
9.解析 (1)因为空间四边形ABCD的每条边和对角线的长度都为1,
所以|a|=|b|=|c|=1,<a,b>=<b,c>=<c,a>= ,
因为点E,F分别是AB,AD的中点,
所以==(-)=(c-a),
∴·=(c-a)·(-a)
=×=.
(2)连接FG,因为=+=(c-a)+b,所以||==
=.
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