2020-2021学年3.1空间向量及其运算随堂练习题

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(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．设a，b，c是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：①(a·b)c－(c·a)b＝0；②|a|＝；③a2b＝b2a；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正确的有(　　)

A．①②　　　　　　 B．②③

C．③④ D．②④

【解析】　由于数量积不满足结合律，故①不正确，由数量积的性质知②正确，③中，|a|2·b＝|b|2·a不一定成立，④运算正确．

【答案】　D

2．已知a＋b＋c＝，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，则a与b的夹角〈a，b〉＝(　　)

A．30° B．45°

C．60° D．以上都不对

【解析】　∵a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝|c|2，∴a·b＝，∴cos〈a，b〉＝＝.

【答案】　D

3．已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是(　　)

A.与 B.与

C.与  D.与

【解析】　用排除法，因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，故·＝0，排除D；因为AD⊥AB，PA⊥AD，又PA∩AB＝A，所以AD⊥平面PAB，所以AD⊥PB，故·＝0，排除B，同理·＝0，排除C.

【答案】　A

4.如图3­1­25，已知空间四边形每条边和对角线都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是(　　)

图3­1­25

A．2· B．2·

C．2· D．2·

【解析】　2·＝－a2，故A错；2·＝－a2，故B错；2·＝－a2，故D错；2·＝2＝a2，故只有C正确．

【答案】　C

5．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，有下列命题：

①(＋＋)2＝32；

②·(－)＝0；

③与的夹角为60°.

其中正确命题的个数是(　　) 【导学号：18490091】

A．1个　 B．2个 

C．3个　　 D．0个

【解析】　由题意知①②都正确，③不正确，与的夹角为120°.

【答案】　B

二、填空题

6．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|＝________．

【解析】　|2a－3b|2＝(2a－3b)2＝4a2－12a·b＋9b2

＝4×|a|2＋9×|b|2－12×|a|·|b|·cos 60°＝61，

∴|2a－3b|＝.

【答案】　

7．已知|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则使向量a＋λb与λa－2b的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．

【解析】　由题意知

即

得λ2＋2λ－2<0.

∴－1－<λ<－1＋.

【答案】　(－1－，－1＋)

8.如图3­1­26，已知正三棱柱ABC­A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．

图3­1­26

【解析】　不妨设棱长为2，则1＝－，＝＋，

cos〈，〉＝

＝＝0，故填90°.

【答案】　90°

三、解答题

9．如图3­1­27，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点．求证：A1O⊥平面BDG.

图3­1­27

【证明】　设＝a，＝b，＝c.

则a·b＝0，a·c＝0，b·c＝0.

而＝＋

＝＋(＋)

＝c＋(a＋b)，

＝－＝b－a，

＝＋

＝(＋)＋

＝(a＋b)＋c.

∴·＝·(b－a)

＝c·(b－a)＋(a＋b)·(b－a)

＝c·b－c·a＋(b2－a2)

＝(|b|2－|a|2)＝0.

∴⊥.

∴A1O⊥BD.

同理可证⊥.

∴A1O⊥OG.

又OG∩BD＝O且A1O⊄平面BDG，

∴A1O⊥平面BDG.

10．已知长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点，试计算：(1)·；(2)·；(3)·.

【解】　如图所示，设＝a，＝b，＝c，

则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.

(1)·＝·(＋)

＝·

＝b·

＝|b|2＝42＝16.

(2)·＝(＋)·(＋)

＝·(＋)

＝·(a＋c)

＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.

(3)·＝(＋)·(＋)

＝·

＝·

＝(－a＋b＋c)·

＝－|a|2＋|b|2＝2.

[能力提升]

1．已知边长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则·的值为(　　)

A．－1 B．0

C．1 D．2

【解析】　＝＋＝＋(＋)＝＋(＋)，而＝＋，则·＝(2＋2)＝1，故选C.

【答案】　C

2．已知a，b是两异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，则直线a，b所成的角为(　　)

A．30° B．60°

C．90° D．45°

【解析】　由于＝＋＋，则·＝(＋＋)·＝2＝1.

cos〈，〉＝＝，得〈，〉＝60°.

【答案】　B

3．已知正三棱柱ABC­DEF的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点，若直线CF上有一点N，使MN⊥AE，则＝________. 【导学号：18490092】

【解析】　设＝m，由于＝＋，＝＋m，

又·＝0，

得×1×1×＋4m＝0，

解得m＝.

【答案】　

4.如图3­1­28，平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长．

图3­1­28

【解】　∵＝＋＋，

∴||＝＝

.

∵AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，

∴〈，〉＝90°，〈，〉＝〈，〉＝60°，

∴||

＝

＝.