高中数学人教版新课标A选修2-13.1空间向量及其运算随堂练习题

这是一份高中数学人教版新课标A选修2-13.1空间向量及其运算随堂练习题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A学习达标
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．已知向量a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，则4a＋2b等于( )
A．(16,0,4) B．(8，－16,4)
C．(8,16,4) D．(8,0,4)
解析：4a＋2b＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0)＝(12，－8,4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4)．
答案：D
2．若a＝(2，－3,1)，b＝(2,0,3)，c＝(0,2,2)，则a·(b＋c)的值为( )
A．4 B．15
C．7 D．3
解析：∵b＋c＝(2,2,5)，
∴a·(b＋c)＝4－6＋5＝3.
答案：D
3．已知a＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，则|a－b＋2c|等于( )
A．3eq \r(10) B．2eq \r(10)
C.eq \r(10) D．5
答案：A
4．已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，eq \(OA,\s\up6(→))＋λeq \(OB,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))(O为坐标原点)的夹角为120°，则λ的值为( )
A.eq \f(\r(6),6) B．－eq \f(\r(6),6)
C．±eq \f(\r(6),6) D．±eq \r(6)
解析：用排除法，eq \(OA,\s\up6(→))＋λeq \(OB,\s\up6(→))＝(1，－λ，λ)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(0，－1,1)．
由已知cs120°＝eq \f(\(OA,\s\up6(→))＋λ\(OB,\s\up6(→))·\(OB,\s\up6(→)),|\(OA,\s\up6(→))＋λ\(OB,\s\up6(→))||\(OB,\s\up6(→))|)
＝eq \f(2λ,\r(2λ2＋1)·\r(2))＝－eq \f(1,2)，∴λ<0.故选B.
答案：B
5．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是( )
A.eq \f(\r(5),5) B.eq \f(\r(55),5)
C.eq \f(3\r(5),5) D.eq \f(11,5)
解析：由已知b－a＝(1＋t,2t－1,0)，
∴|b－a|＝eq \r(1＋t2＋2t－12＋0)
＝eq \r(5t－\f(1,5)2＋\f(9,5))≥eq \f(3\r(5),5).
答案：C
6．若在△ABC中，∠C＝90°，A(1,2，－3k)，B(－2,1,0)，C(4,0，－2k)，则k的值为( )
A.eq \r(10) B．－eq \r(10)
C．2eq \r(5) D．±eq \r(10)
解析：eq \(CB,\s\up6(→))＝(－6,1,2k)，
eq \(CA,\s\up6(→))＝(－3,2，－k)，
则eq \(CB,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))＝(－6)×(－3)＋2＋2k×(－k)
＝－2k2＋20＝0，
∴k＝±eq \r(10).
答案：D
二、填空题(每小题8分，共24分)
7．如果三点A(1,5，－2)、B(2,4,1)、C(a,3，b＋2)共线，那么a－b＝________.
解析：∵A，B，C三点共线，
∴eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(AC,\s\up6(→))，即(1，－1,3)＝λ(a－1，－2，b＋4)
＝(λ(a－1)，－2λ，λ(b＋4))．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＝λa－1，,－1＝－2λ，,3＝λb＋4，))
解得λ＝eq \f(1,2)，a＝3，b＝2.∴a－b＝1.
答案：1
8．若A(3csα，3sinα，1)，B(2csθ，2sinθ，1)，则|eq \(AB,\s\up6(→))|的取值范围是__________．
解析：∵A(3csα，3sinα，1)，B(2csθ，2sinθ，1)，
∴eq \(AB,\s\up6(→))＝(2csθ－3csα，2sinθ－3sinα，0)．
∴|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(2csθ－3csα2＋2sinθ－3sinα2＋0)
＝eq \r(4＋9－12csθcsα＋sinθsinα)
＝eq \r(13－12csθ－α)，
∴1≤|eq \(AB,\s\up6(→))|≤5.
答案：[1,5]
9．已知点A(λ＋1，μ－1,3)，B(2λ，μ，λ－2μ)，C(λ＋3，μ－3,9)三点共线，则实数λ＋μ＝________.
解析：eq \(AB,\s\up6(→))＝(λ－1,1，λ－2μ－3)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(2，－2,6)，由eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(AC,\s\up6(→))，得eq \f(λ－1,2)＝－eq \f(1,2)＝eq \f(λ－2μ－3,6).
解得λ＝0，μ＝0，∴λ＋μ＝0.
答案：0
三、解答题(共40分)
10．(10分)已知a＝(1,2,3)，b＝(1,0,1)，c＝a－2b，d＝ma－b，求实数m的值，使得(1)c⊥d；(2)c∥d.
解：c＝a－2b＝(－1,2,1)，d＝ma－b＝(m－1,2m,3m－1)．
(1)∵c⊥d，∴c·d＝1－m＋4m＋3m－1＝0.
∴m＝0.
(2)∵c∥d，∴eq \f(－1,m－1)＝eq \f(2,2m)＝eq \f(1,3m－1)，得m＝eq \f(1,2).
11．(15分)已知关于x的方程x2－(t－2)x＋t2＋3t＋5＝0有两个实数根，a＝(－1,1,3)，b＝(1,0，－2)，c＝a＋tb，当|c|取最小值时，求t的值．
解：∵a＝(－1,1,3)，b＝(1,0，－2)，c＝a＋tb，
∴c＝(－1＋t,1,3－2t)．
∴|c|＝eq \r(t－12＋1＋3－2t2).
∴|c|＝eq \r(5t2－14t＋11).
∴当t＝eq \f(7,5)时，|c|取最小值．
B创新探索
图1
12．(15分)如图1，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°.
(1)求四棱锥P－ABCD的体积；
(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值．
解：(1)∵四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠DAB＝60°，
∴OA＝OC＝eq \r(3)，BO＝OD＝1，S菱形ABCD＝eq \f(1,2)×2×2eq \r(3)＝2eq \r(3).
在Rt△POB中，∠PBO＝60°，
∴PO＝OB·tan60°＝tan60°·1＝eq \r(3).
∴VP－ABCD＝eq \f(1,3)S菱形ABCD·PO＝eq \f(1,3)×2eq \r(3)×eq \r(3)＝2.
图2
(2)如图2，以O为原点，OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，C(0，eq \r(3)，0)，
D(－1,0,0)，A(0，－eq \r(3)，0)，P(0,0，eq \r(3))．
于是E(eq \f(1,2)，0，eq \f(\r(3),2))，
∴eq \(DE,\s\up6(→))＝(eq \f(3,2)，0，eq \f(\r(3),2))，
eq \(PA,\s\up6(→))＝(0，－eq \r(3)，－eq \r(3))．
∴eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))＝－eq \f(\r(3),2)×eq \r(3)＝－eq \f(3,2)，|eq \(DE,\s\up6(→))|＝eq \r(3)，|eq \(PA,\s\up6(→))|＝eq \r(6).
∴cs〈eq \(DE,\s\up6(→))，eq \(PA,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(DE,\s\up6(→))·\(PA,\s\up6(→)),|\(DE,\s\up6(→))||\(PA,\s\up6(→))|)＝eq \f(－\f(3,2),\r(3)×\r(6))＝－eq \f(\r(2),4).
∴异面直线DE与PA所成角的余弦值为eq \f(\r(2),4).