高中数学人教版新课标A选修2-13.1空间向量及其运算教学设计

空间向量运算的坐标表示

●三维目标

 1.知识与技能

掌握空间向量的坐标运算规律、平行向量坐标表示．

2．过程与方法

通过空间坐标系的建立和空间向量坐标运算规律的探索，发展学生的空间想象能力、探究能力，进一步熟悉类比、由一般到特殊、由直觉猜想到推理论证等思维方法，提高学生的科学思维素养．

3．情感、态度与价值观

通过教师的引导、学生探究，激发学生求知欲望和学习兴趣，使学生经历数学思维全过程，品尝到成功的喜悦．

●重点难点

重点：体会空间直角坐标系，空间点的坐标，学会空间向量的坐标表示与运算．

难点：空间向量坐标的确定，掌握空间向量模、夹角等的计算．

(教师用书独具)

●教学建议

本节课学习之前，学生已掌握了平面向量坐标运算及规律，并学会了空间向量的几何形式及其运算，数学基础较为扎实，学习上具备了一定观察、分析、解决问题的能力，但在探究问题的内部联系和内在发展上还有所欠缺，所以要通过教师的引导，学生的自主探索，不断地完善自我的认知结构．

本节课可通过降维、由特殊到一般、多媒体动态演示、现实模型辅助理解等手段多角度确定向量坐标；通过例题的探究和变式训练突破知识应用的难点；强化合作探究，适当运用多媒体教学设备．

●教学流程

⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒

【问题导思】　

1．已知向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，如何表示a＋b，a－b，λa?

【提示】　a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2)，a－b＝(a1－b1，a2－b2)，λa＝(λa1，λa2)．

2．如果a∥b(b≠0)，则a、b坐标满足什么关系？

【提示】　a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2.

空间向量线性运算的坐标表示

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则

(1)a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；

(2)a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；

(3)λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)；

(4)b≠0，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3.

【问题导思】　

1．已知向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，如何用坐标表示a·b?

【提示】　a·b＝a1b1＋a2b2.

2．用向量的数量积运算还能解决向量中的哪些方面的问题？

【提示】　求向量的模、夹角等．

　若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则

(1)a·b＝_a1b1＋a2b2＋a3b3；

(2)|a|＝＝；

(3)a≠0，b≠0，

cosa，b＝＝；

(4)a≠0，b≠0，a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.

在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则

(1)＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)；

(2)dAB＝||＝.

　已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是(－1,2,1)，(1,3,4)，(0，－1,4)，(2，－1，－2)．若p＝，q＝，求下列各式的值：

(1)p＋2q；(2)3p－q；(3)(p－q)·(p＋q)；(4)cos〈p，q〉．

【思路探究】　(1)已知两点的坐标，怎样表示由这两点构成的向量的坐标？(2)向量的加、减、数乘、数量积的坐标运算的法则是怎样的？

【自主解答】　由于A(－1,2,1)，B(1,3,4)，C(0，－1,4)，D(2，－1，－2)，所以p＝＝(2,1,3)，q＝＝(2,0，－6)．

(1)p＋2q＝(2,1,3)＋2(2,0，－6)

＝(2,1,3)＋(4,0，－12)＝(6,1，－9)．

(2)3p－q＝3(2,1,3)－(2,0，－6)

＝(6,3,9)－(2,0，－6)＝(4,3,15)．

(3)(p－q)·(p＋q)＝p2－q2＝|p|2－|q|2

＝(22＋12＋32)－(22＋02＋62)＝－26.

(4)cos〈p，q〉＝

＝

＝＝－.

1．一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．

2．在确定了向量的坐标后，使用空间向量的加减、数乘、数量积的坐标运算公式进行计算就可以了，但要熟练应用下列有关乘法公式：(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.

　已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)．求：

(1)a＋b；(2)a－b；(3)a·b；

(4)2a·(－b)；(5)(a＋b)·(a－b)．

【解】　(1)a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)

＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2,2)；

(2)a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)

＝(2－0，－1－(－1)，－2－4)＝(2,0，－6)；

(3)a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4)

＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7；

(4)∵2a＝(4，－2，－4)，

∴(2a)·(－b)＝(4，－2，－4)·(0,1，－4)

＝4×0＋(－2)×1＋(－4)×(－4)＝14；

(5)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝4＋1＋4－(0＋1＋16)＝－8.

　已知空间中三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝，b＝.

(1)若|c|＝3，且c∥，求向量c；

(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求实数k的值；

(3)若λ(a＋b)＋μ(a－b)与z轴垂直，求λ，μ所满足的关系式．

【思路探究】　―→―→

【自主解答】　(1)∵c∥，∴c＝m＝m(－2，－1,2)＝(－2m，－m,2m)，

∴|c|＝＝3|m|＝3，

∴m＝±1，

∴c＝(－2，－1,2)或(2,1，－2)．

(2)由题意知ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)，

∴(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0，

∴k＝2或k＝－，即ka＋b与ka－2b互相垂直时，实数k的值为2或－.

(3)由题意知a＋b＝(0,1,2)，a－b＝(2,1，－2)，

∴λ(a＋b)＋μ(a－b)＝(2μ，λ＋μ，2λ－2μ)．

由题意知(2μ，λ＋μ，2λ－2μ)·(0,0,1)＝2λ－2μ＝0，

即当λ，μ满足λ－μ＝0时，可使λ(a＋b)＋μ(a－b)与z轴垂直．

向量平行与垂直问题主要有两种题型，(1)平行与垂直的判断；(2)利用平行与垂直求参数或其他问题，即平行与垂直的应用．解题时要注意：①适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程；②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的．

　(2013·厦门高二检测)已知a＝(λ＋1,1,2λ)，b＝(6,2m－1,2)．

(1)若a∥b，分别求λ与m的值；

(2)若|a|＝，且与c＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a.

【解】　(1)由a∥b，得

(λ＋1,1,2λ)＝k(6,2m－1,2)，

∴解之得

∴实数λ＝，m＝3.

(2)∵|a|＝，且a⊥c，

∴

化简，得解之得λ＝－1.

因此，a＝(0,1，－2).

　在长方体OABC－O1A1B1C1中，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，E是BC的中点，建立空间直角坐标系，用向量方法解下列问题．

(1)求直线AO1与B1E所成角的余弦值；

(2)作O1D⊥AC于D，求点O1到点D的距离．

【思路探究】　→→

→→

【自主解答】　建立如图所示空间直角坐标系Oxyz.

(1)由题意得A(2,0,0)，O1(0,0,2)，B1(2,3,2)，

E(1,3,0)．

∴＝(－2,0,2)，＝(－1,0，－2)．

∴cos〈，〉＝＝－.

∴AO1与B1E所成角的余弦值为.

(2)由题意得⊥，∥.

∵C(0,3,0)，设D(x，y,0)，

∴＝(x，y，－2)，＝(x－2，y,0)，＝(－2,3,0)．

∴解得

∴D(，，0)．

∴|O1D|＝||＝＝.

1．解答本题时不要误认为直线AO1与B1E所成角的余弦值是－.

2．空间向量的数量积应用很广泛，其主要用途有：

(1)求向量的模|a|＝；

(2)求角，利用公式cos〈a·b〉＝；

(3)证明垂直a·b＝0⇔a⊥b.

棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G分别是DD1、BD、BB1的中点．

(1)求证：EF⊥CF；

(2)求EF与GC所成角的余弦值；

(3)求CE的长．

【解】　以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

则D(0,0,0)，E(0,0，)，C(0,1,0)，F(，，0)，G(1,1，)，

∴＝(，，－)，＝(，－，0)，

＝(1,0，)，＝(0，－1，)，

(1)·＝×＋×(－)＋(－×0)＝0，

∴⊥，即EF⊥CF.

(2)·＝×1＋×0＋(－)×()＝，

||＝＝，

||＝＝，

∴cos〈，〉＝＝＝.

(3)||＝＝.

忽略向量的方向致误

　在△ABC中，已知＝(2,4,0)，＝(－1，3,0)，则∠ABC＝________.

【错解】　∵＝(2,4,0)，＝(－1,3,0)

∴cos〈，〉＝＝＝.

∴∠ABC＝45°.

【答案】　45°

【错因分析】　以上解答的错误是忽视向量的方向，事实上，∠ABC的大小不是向量、的夹角，而是向量、的夹角．

【防范措施】　在利用向量求角时一定要注意向量的方向，若与的夹角为θ，则与的夹角为π－θ.

【正解】　∵＝(－2，－4,0)，＝(－1,3,0)，

∴cos〈，〉＝＝＝－.

∴∠ABC＝135°.

【答案】　135°

1．空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算类似，只是多了对竖坐标的运算．

2．利用空间向量的坐标运算可以判断两个向量的平行、垂直；可以求向量的模以及两个向量的夹角．

3．几何中的平行和垂直可以利用向量进行判断，利用直线的方向向量的关系可以证明直线的平行和垂直；距离、夹角问题可以借助于空间直角坐标系利用数量积解决．

1．已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，则下列结论正确的是(　　)

A．a＋b＝(10，－5，－6)　　 B．a－b＝(2，－1，－6)

C．a·b＝10   D．|a|＝6

【解析】　易验证A、B、C均不正确．

|a|＝＝6，可知D正确．

【答案】　D

2．与向量a＝(1,2,3)，b＝(3,1,2)都垂直的向量为(　　)

A．(1,7,5)   B．(1，－7,5)

C．(－1，－7,5)   D．(1，－7，－5)

【解析】　只有C答案中向量与a，b的数量积为0.

【答案】　C

3．已知a＝(－2，－1,3)，b＝(－1,3，－2)，a，b的夹角为θ，则θ＝________.

【解析】　cos θ＝＝＝－，∴θ＝120°.

【答案】　120°

4．已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，c＝(1,0,1)，且p＝a－b，q＝a＋2b－c，求p，q，p·q.

【解】　p＝(1,1,0)－(0,1,1)＝(1,0，－1)，

q＝(1,1,0)＋2(0,1,1)－(1,0,1)＝(0,3,1)，

p·q＝(1,0，－1)·(0,3,1)＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1.

一、选择题

1．(2013·济宁高二检测)已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，则b＝(　　)

A．(2，－4,2)　　　　　　 B．(－2,4，－2)

C．(－2,0，－2)   D．(2,1，－3)

【解析】　b＝a－(－1,2，－1)＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)．

【答案】　A

2．(2013·荆州高二检测)设A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|的值为(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

【解析】　AB的中点M(2，，3)，∴＝(2，，3)，故|CM|＝||＝ ＝.

【答案】　C

3．已知向量a＝(－2，x,2)，b＝(2,1,2)，c＝(4，－2,1)，若a⊥(b－c)，则x的值为(　　)

A．－2   B．2

C．3   D．－3

【解析】　∵b－c＝(－2,3,1)，a·(b－c)＝4＋3x＋2＝0，∴x＝－2.

【答案】　A

4．点A(n，n－1,2n)，B(1，－n，n)，则||的最小值是(　　)

A.   B.

C．2   D．不存在

【解析】　∵＝(1－n,1－2n，－n)，

∴||2＝(1－n)2＋(1－2n)2＋n2＝6(n－)2＋，

当n＝时，||的最小值为.

【答案】　B

5．(2013·临沂高二检测)已知a＝(cos α，1，sin α)，b＝(sin α，1，cos α)，则向量a＋b与a－b的夹角是(　　)

A．90°　　    B．60°　　    C．45°　　    D．30°

【解析】　a＋b＝(cos α＋sin α，2，sin α＋cos α)，a－b＝(cos α－sin α，0，sin α－cos α)，∴(a＋b)·(a－b)＝0，

∴(a＋b)⊥(a－b)．

【答案】　A

二、填空题

6．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量与的夹角为________．

【解析】　∵＝(0,3,3)，＝(－1,1,0)，

∴||＝3，||＝，

·＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3，

∴cos，＝＝，

∴，＝60°.

【答案】　60°

7．已知a＝(λ＋1,0,2λ)，b＝(b,2μ－1,2)，且a∥b，则λ＋μ＝________.

【解析】　∵a∥b，a＝tb.

于是解之可得

故λ＋μ＝＋＝.

【答案】　

8．(2013·济南高二检测)若＝(－4,6，－1)，＝(4,3，－2)，|a|＝1，且a⊥，a⊥，则a＝________.

【解析】　设a＝(x，y，z)，由题意有，代入坐标可解得：或

【答案】　(，，)或(－，－，－)

三、解答题

9．已知3a－2b＝(－2,0,4)，c＝(－2,1,2)，a·c＝2，|b|＝4，求cos〈b，c〉．

【解】　(3a－2b)·c＝3a·c－2b·c＝(－2,0,4)·(－2,1,2)＝12，

又a·c＝2，∴b·c＝－3，由c＝(－2,1,2)知|c|＝3.

∴cos〈b，c〉＝＝＝－.

10．已知向量a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，点A(－3，－1，4)，B(－2，－2,2)．

(1)求|2a＋b|；

(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥b？(O为原点)

【解】　(1)2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，

故|2a＋b|＝＝5.

(2)＝＋＝＋t＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t,4－2t)，

若⊥b，则·b＝0，

所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，

解得t＝，

因此存在点E，使得⊥b，E点坐标为(－，－，)．

图3－1－32

11．已知正方体ABCD－A1B1C1D1用向量法解：

(1)求A1B和B1C的夹角；

(2)证明：A1B⊥AC1；

(3)求AC1的长度．

【解】　(1)以D为原点，，，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Dxyz.

设棱长为1，则A(1,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，

∴＝(0,1，－1)，＝(－1,0，－1)，

∴·＝(0,1，－1)·(－1,0，－1)

＝0＋0＋1＝1.

||＝＝，

||＝＝.

∴cos〈，〉＝＝.

∵〈，〉∈[0°，180°]，

∴A1B与B1C夹角为60°.

(2)由(1)知＝(0,1，－1)，＝(－1,1,1)，

∴·＝0＋1－1＝0，

∴A1B⊥AC1.

(3)∵＝(－1,1,1)，

∴||＝＝.

即AC1的长度为.

(1)已知向量x与向量a＝(2，－1,2)共线，且a·x＝－18，求向量x；

(2)已知空间A、B、C三点的坐标分别为(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，求一点P，使＝(－)．

【自主解答】　(1)∵向量x与a共线，∴x＝ka.

∵a·x＝－18，

∴a·ka＝－18，即k|a|2＝－18.

∴9k＝－18，k＝－2.

故x＝(－4,2，－4)．

(2)设点P(x，y，z)，则＝(x－2，y＋1，z－2)．

又(－)＝＝(3，，－2)．

∴x－2＝3，y＋1＝，z－2＝－2.

∴x＝5，y＝，z＝0.

故点P的坐标为(5，，0)．

　设a＝(1，－2,4)，求同时满足下列条件的向量x：①x⊥a；②|x|＝10；③x在yOz平面上．

【解】　由条件③，可设x＝(0，y，z)，再由条件①②得

解得或

∴x＝(0,4，2)或x＝(0，－4，－2).