空间向量的数乘运算

时间：45分钟　　分值：100分

A学习达标

一、选择题(每小题6分，共36分)

1．对于空间的任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是(　　)

A．共面向量

B．共线向量

C．不共面向量

D．既不共线也不共面的向量

解析：∵2a－b＝2·a＋(－1)·b，

∴2a－b与a，b共面．

答案：A

2．已知空间四边形ABCD，E、F分别是AB与AD边上的点，M、N分别是BC与CD边上的点，若＝λ，＝λ，＝μ，＝μ，则向量与满足的关系为(　　)

A.＝　　　    B.∥

C．||＝||       D．||≠||

解析：－＝λ－λ＝λ，即＝λ.同理＝μ.因为μ∥λ，所以∥，即∥.又λ与μ不一定相等，故||不一定等于||.

答案：B

3．设M是△ABC的重心，记＝a，＝b，＝c，且a＋b＋c＝0，则＝(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：设D是BC边中点，∵M是△ABC的重心，

∴＝.而＝(＋)＝(c－b)，

∴＝(c－b)．

答案：D

4．已知两非零向量e1，e2，且e1与e2不共线，设a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R，且λ2＋μ2≠0)，则(　　)

A．a∥e1                  B．a∥e2

C．a与e1、e2共面         D．以上三种情况均有可能

解析：a与e1共线，则设a＝ke1，所以a＝λe1＋μe2可变为(k－λ)e1＝μe2，所以e1与e2共线，这与e1与e2不共线相矛盾，故假设不成立，即A不正确，同理B不正确，则D也错误，故选C.

答案：C

5．对于空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，且有＝x＋y＋z(x、y、z∈R)，则x＋y＋z＝1是四点P、A、B、C共面的(　　)

A．必要不充分条件         B．充分不必要条件

C．充要条件               D．既不充分也不必要条件

解析：若x＋y＋z＝1，则原式可变形为

＝(1－y－z)＋y＋z，

－＝y(－)＋z(－)，

∴＝y＋z，∴P、A、B、C四点共面．

反之，若P、A、B、C四点共面，由共面向量定理的推论知对空间任一点O，有＝＋s＋t(其中s、t是唯一的一对有序实数)．∵＝－，＝－，则＝(1－s－t)＋s＋t.令x＝1－s－t，y＝s，z＝t，则有x＋y＋z＝1.

答案：C

6．下列条件中使M与A、B、C一定共面的是(　　)

A.＝2－－

B.＝＋＋

C.＋＋＝0

D.＋＋＋＝0

解析：C选项中＝－－，

∴点M、A、B、C共面，故选C.

答案：C

二、填空题(每小题8分，共24分)

图1

7．如图1，在空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA边上，且＝2，N为BC的中点，则＝________(用a，b，c表示)．

解析：＝＋＝＋(＋)＝－＋＋＝－a＋b＋c.

答案：－a＋b＋c

8．已知两个非零向量e1，e2不共线，如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3e1－3e2，则点A、B、C、D四点________(共面、不共面)．

解析：显然、不共线，否则，存在λ∈R，使＝λ(λ≠0)，则e1＋e2＝λ(3e1－3e2)＝3λe1－3λe2.

∵e1，e2是不共线的非零向量，∴3λ＝1与－3λ＝1矛盾，故、不共线．

设＝x＋y⇔2e1＋8e2＝x(e1＋e2)＋y(3e1－3e2)⇔2e1＋8e2＝(x＋3y)e1＋(x－3y)e2，

∴解得

∴＝5＋(－1)·，∴A、B、C、D四点共面．

答案：共面

9．已知O是空间任一点，A、B、C、D四点满足任三点均不共线，但四点共面，且＝2x·＋3y·＋4z·，则2x＋3y＋4z＝________.

解析：＝－2x·＋(－3y)·＋(－4z)·，由A、B、C、D四点共面，则有－2x－3y－4z＝1，即2x＋3y＋4z＝－1.

答案：－1

三、解答题(共40分)

图2

10．(10分)如图2，在四边形ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，试证：＝(＋)．

证明：＝＋＋，①

＝＋＋，②

①＋②，得

2＝(＋＋)＋(＋＋)＝＋.

∴＝(＋)．

11．(15分)如图3，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中点．

求证：B1C∥平面ODC1.

图3

证明：设＝a，＝b，＝c，

∵四边形B1BCC1为平行四边形，

∴＝c－a.

又O是B1D1的中点，

∴＝(a＋b)，

＝－＝b－(a＋b)＝(b－a)，

∴＝＋＝(b－a)＋c.

若存在实数x、y，使＝x＋y(x、y∈R)成立，则c－a＝x[(b－a)＋c]＋y[－(a＋b)]

＝－(x＋y)a＋(x－y)b＋xc.

∵a、b、c不共线，

∴∴∴＝＋，

∴、、是共面向量．

又B1C⊄平面ODC1，∴B1C∥平面ODC1.

B创新探索

图4

12．(15分)如图4，已知O、A、B、C、D、E、F、G、H为空间的9个点，且＝k，＝k，＝k，＝＋m，＝＋m.

求证：(1)A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面；

(2)∥；(3)＝k.

证明：(1)∵＝＋m，∴A、B、C、D四点共面．

∵＝＋m，∴E、F、G、H四点共面．

(2)＝＋m＝－＋m(－)

＝k(－)＋km(－)

＝k＋km＝k(＋m)＝k，∴∥.

(3)＝＋＝k＋k＝k(＋)＝k.