高中数学人教版新课标A选修2-13.1空间向量及其运算随堂练习题

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(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．对于空间中任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是(　　)

A．共面向量　　　　 B．共线向量

C．不共面向量 D．既不共线也不共面向量

【解析】　由共面向量定理易得答案A.

【答案】　A

2．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)

A．A，B，D B．A，B，C

C．B，C，D D．A，C，D

【解析】　＝＋＝－5a＋6b＋7a－2b＝2a＋4b，＝－＝－a－2b，∴＝－2，

∴与共线，

又它们经过同一点B，

∴A，B，D三点共线．

【答案】　A

3．A，B，C不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点(　　)

A．不共面 B．共面

C．不一定共面 D．无法判断

【解析】　∵＋＋＝1，

∴点P，A，B，C四点共面．

【答案】　B

4．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，用向量，，表示向量的结果为(　　)

图3­1­11

A.＝－＋

B.＝＋－

C.＝＋－

D.＝＋＋

【解析】　＝＋＋＝－＋＋.故选B.

【答案】　B

5．如图3­1­12，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H，P，Q分别是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中点，则(　　)

图3­1­12

A.＋＋＝0

B.－－＝0

C.＋－＝0

D.－＋＝0

【解析】　由题图观察，、、平移后可以首尾相接，故有＋＋＝0.

【答案】　A

二、填空题

6．已知两非零向量e1，e2，且e1与e2不共线，若a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R，且λ2＋μ2≠0)，则下列三个结论有可能正确的是________．(填序号)

①a与e1共线；②a与e2共线；③a与e1，e2共面．

【解析】　当λ＝0时，a＝μe2，故a与e2共线，同理当μ＝0时，a与e1共线，由a＝λe1＋μe2知，a与e1，e2共面．

【答案】　①②③

7．已知O为空间任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点不共线，但四点共面，且＝2x＋3y＋4z，则2x＋3y＋4z的值为________．

【解析】　由题意知A，B，C，D共面的充要条件是对空间任意一点O，存在实数x1，y1，z1，使得＝x1＋y1＋z1，且x1＋y1＋z1＝1，因此2x＋3y＋4z＝－1.

【答案】　－1

8．设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则k＝________.

【导学号：18490085】

【解析】　由已知可得：＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，∵A，B，D三点共线，

∴与共线，即存在λ∈R使得＝λ.

∴2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2，

∵e1，e2不共线，

∴解得k＝－8.

【答案】　－8

三、解答题

9．已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中点．求下列各式中x，y的值．

(1)＝＋x＋y；

(2)＝x＋y＋.

【解】　如图所示，

(1)∵＝－

＝－(＋)

＝－－，

∴x＝y＝－.

(2)∵＋＝2，

∴＝2－.

又∵＋＝2，

∴＝2－.

从而有＝2－(2－)

＝2－2＋.

∴x＝2，y＝－2.

10.如图3­1­13，四边形ABCD、四边形ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线．

图3­1­13

【解】　∵M，N分别是AC，BF的中点，

又四边形ABCD、四边形ABEF都是平行四边形，

∴＝＋＋＝＋＋.

又∵＝＋＋＋＝－＋－－，

∴＋＋＝－＋－－.

∴＝＋2＋＝2(＋＋)，

∴＝2，∴∥，即与共线．

[能力提升]

1．若P，A，B，C为空间四点，且有＝α＋β，则α＋β＝1是A，B，C三点共线的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【解析】　若α＋β＝1，则－＝β(－)，即＝β，显然A，B，C三点共线；若A，B，C三点共线，则有＝λ，故－＝λ(－)，整理得＝(1＋λ)－λ，令α＝1＋λ，β＝－λ，则α＋β＝1，故选C.

【答案】　C

2．已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果有＝＋7＋6－4，那么M必(　　)

A．在平面BAD1内 B．在平面BA1D内

C．在平面BA1D1内 D．在平面AB1C1内

【解析】　由于＝＋7＋6－4＝＋＋6－4＝＋＋6－4＝＋6(－)－4(－)＝11－6－4，于是M，B，A1，D1四点共面，故选C.

【答案】　C

3．已知两非零向量e1，e2，且e1与e2不共线，若a＝λe1＋μ e2(λ，μ∈R，且λ2＋μ2≠0)，则下列三个结论有可能正确的是________. 【导学号：18490086】

①a与e1共线；②a与e2共线；③a与e1，e2共面．

【解析】　当λ＝0时，a＝μ e2，故a与e2共线，同理当μ＝0时，a与e1共线，由a＝λe1＋μ e2，知a与e1，e2共面．

【答案】　①②③

4.如图3­1­14所示，M，N分别是空间四边形ABCD的棱AB，CD的中点．试判断向量与向量，是否共面．

图3­1­14

【解】　由题图可得：＝＋＋， ①

∵＝＋＋，  ②

又＝－，＝－，

所以①＋②得：

2＝＋，

即＝＋，故向量与向量，共面.