2022版高考数学小题标准练（六）

这是一份2022版高考数学小题标准练（六），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

高考小题标准练(六)
满分80分，实战模拟，40分钟拿下高考客观题满分！
一、单选题(共8小题，每小题5分，共40分)
1．椭圆x2＋ eq \f(y2,2) ＝1的焦点坐标为( )
A．(0， eq \r(3) )和(0，－ eq \r(3) )
B．(1，0)和(－1，0)
C．( eq \r(3) ，0)和(－ eq \r(3) ，0)
D．(0，1)和(0，－1)
【解析】选D.由椭圆x2＋ eq \f(y2,2) ＝1，可得a2＝2，b2＝1，可得c＝ eq \r(a2－b2) ＝1，可得焦点坐标是(0，1)和(0，－1).
2．已知集合A＝{x∈N|x≤6}，B＝{x∈R|x2－3x>0}，则A∩B＝( )
A．{3，4，5，6}
B．{x|3C．{4，5，6}
D．{x|x<0或3【解析】选C.因为集合A＝{x∈N|x≤6}＝{0，1，2，3，4，5，6}，B＝{x∈R|x2－3x>0}＝{x∈R|x<0或x>3}，
所以A∩B＝{4，5，6}．
3．若角α的终边经过点P(－1，－1)，则( )
A．sin α＝ eq \f(\r(2),2)
B．cs α＝ eq \f(\r(2),2)
C．sin (α－π)＝－ eq \f(\r(2),2)
D．tan (α－π)＝1
【解析】选D.由三角函数的定义可得sin α＝－ eq \f(\r(2),2) ，cs α＝－ eq \f(\r(2),2) ，所以sin (α－π)＝－sin (π－α)＝－sin α＝ eq \f(\r(2),2) ，
tan (α－π)＝－tan (π－α)＝tan α＝1.
4．若a∈R，则“a＝3”是“x(1＋ax)5的展开式中x3项的系数为90”的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】选B.若a＝3则x(1＋ax)5＝x(1＋3x)5二项展开式的通项为C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(5)) ×3k·xk＋1，令k＋1＝3，即k＝2，则x3项的系数为C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ×32＝90，充分性成立；当x(1＋ax)5的展开式中x3项的系数为90，则有C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ×a2＝90，从而a＝±3，必要性不成立．
5．某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的55名学生，得到数据如下表：
临界值参考：
(参考公式：K2＝ eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）) ，其中n＝a＋b＋c＋d)
参照附表，得到的正确结论是( )
A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“喜欢“应用统计”课程与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“喜欢“应用统计”课程与性别无关”
C．有99.99%以上的把握认为“喜欢“应用统计”课程与性别有关”
D．有99.99%以上的把握认为“喜欢“应用统计”课程与性别无关”
【解析】选A.K2＝ eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）) ＝ eq \f(55（20×20－10×5）2,30×25×30×25) ＝ eq \f(539,45) ≈12.0>10.828，
故在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“喜欢“应用统计”课程与性别有关”．
6．函数y＝ eq \f(1－x,1＋x) e－x的大致图象为( )
【解析】选C.函数的定义域为：{x|x≠－1}，这样可以排除B；y＝ eq \f(1－x,1＋x) e－x>0⇒－17．已知 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(＝))b\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(＝))a－2b)) ＝1，则 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋2b)) ＝( )
A．9 B．3 C．1 D．2
【解析】选B.由 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－2b)) ＝1，可得(a－2b)2＝1，即a2－4a·b＋4b2＝1，又因为 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(＝))b)) ＝1，解得a·b＝1，所以|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝9所以 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋2b)) ＝3.
8．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用．黎曼函数R(x)定义在[0，1]上，且R(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,p)，当x＝\f(q,p)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(p，q为正整数，\f(q,p)为既约真分数)),0，当x＝0或1或（0，1）内的无理数)) ，则以下说法：①R(x)的值域为[0，1]；②方程R(x)＝x有无穷多个解；③R(x)的图像关于直线x＝ eq \f(1,2) 对称；其中正确的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】选C.由黎曼函数的定义，可知R(x)的值域为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，\f(1,3)，…，\f(1,p)，…)) (其中p是大于或等于2的自然数)，故①错误；方程R(x)＝x的解有：1， eq \f(1,2) ， eq \f(1,3) ， eq \f(1,4) ，…， eq \f(1,p) ，…，(其中p是大于或等于2的自然数)，故②正确；对于任何的自然数p≥2，根据f(x)＝f(1－x)，所以R(x)的图像关于直线x＝ eq \f(1,2) 对称，故③正确．
二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．关于函数f(x)＝sin x cs 2x，下列结论正确的是( )
A．x＝ eq \f(π,2) 为f(x)图象的一条对称轴
B．(π，0)为f(x)图象的一个对称中心
C．f(x)的最大值为 eq \f(\r(6),9)
D．f(x)的最小正周期为π
【解析】选AB.对于A：f(π－x)＝
sin (π－x)cs 2(π－x)＝sin x cs 2x＝f(x)，故x＝ eq \f(π,2) 为f(x)图象的一条对称轴，正确；
B：f(2π－x)＋f(x)＝sin (2π－x)cs 2(2π－x)＋sin x cs 2x＝－sin x cs 2x＋sin x cs 2x＝0，故(π，0)为f(x)图象的一个对称中心，正确；
C：f(x)＝sin x cs 2x＝sin x(1－2sin2x)＝sinx－2sin3x，令t＝sinx∈[－1，1]，则g(t)＝t－2t3，则g′(t)＝1－6t2，令g′(t)＞0，得在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(6),6)，\f(\r(6),6))) 上g(t)单调递增，令g′(t)＜0，得在 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(\r(6),6))) ，( eq \f(\r(6),6) ，1]上g(t)单调递减，而g(－1)＝1＞g( eq \f(\r(6),6) )＝ eq \f(\r(6),6) － eq \f(\r(6),18) ＝ eq \f(\r(6),9) ，f(x)的最大值为1，错误；
D：f(π＋x)＝sin (π＋x)cs 2(π＋x)＝－sin x cs 2x＝－f(x)，显然π不是f(x)的周期，错误．
10．下列命题成立的是( )
A．若a＜b＜0，则a|a|＜b|b|
B．若a＞0，b＞0，c＞0，则 eq \f(a,b) ＜ eq \f(a＋c,b＋c)
C．若a＞0，b＞0，则a＋ eq \f(b,a) ＋ eq \f(4,ab) ≥4
D．若a＞0，b∈R，则a≥2b－ eq \f(b2,a)
【解析】选ACD.对于A：由题设知：|a|＞|b|＞0，而a＜b＜0，则有a|a|＜b|b|，正确；
B： eq \f(a＋c,b＋c) － eq \f(a,b) ＝ eq \f(ab＋bc－ab－ac,b（b＋c）) ＝ eq \f(c（b－a）,b（b＋c）) ，显然当b＞a时 eq \f(a,b) ＜ eq \f(a＋c,b＋c) 成立，当b＜a时 eq \f(a,b) ＞ eq \f(a＋c,b＋c) 成立，错误；
C：由a＞0，b＞0，则a＋ eq \f(b,a) ＋ eq \f(4,ab) ＝ eq \f(a,2) ＋ eq \f(a,2) ＋ eq \f(b,a) ＋ eq \f(4,ab) ≥4 eq \r(4,\f(a,2)·\f(a,2)·\f(b,a)·\f(4,ab)) ＝4，当且仅当 eq \f(a,2) ＝ eq \f(b,a) ＝ eq \f(4,ab) 时等号成立，正确；
D：a＞0，b∈R，而(a－b)2≥0，即a2≥2ab－b2，故a≥2b－ eq \f(b2,a) ，正确．
11．已知α，β是两个平面，m，n是两条直线，则下列结论正确的是( )
A．如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n
B．如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β
C．如果α∥β，m⊂α，那么m∥β
D．如果m∥α，n∥β且α∥β，那么m∥n
【解析】选AC.对于A，若m⊥α，n∥α，则m⊥n，故A正确；
对于B，若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥β或α，β相交，故B错误；
对于C，若α∥β，m⊂α，则m∥β，故C正确；
对于D，若m∥α，n∥β且α∥β，则m，n平行、相交或异面，故D错误．
12．记〈x〉表示与实数x最接近的整数，数列{an}的通项公式为an＝ eq \f(1,〈\r(n)〉) (n∈N*)，其前n项和为Sn，设k＝〈 eq \r(n) 〉，则下列结论正确的是( )
A． eq \r(n) ＝k－ eq \f(1,2) B． eq \r(n) ＜k＋ eq \f(1,2)
C．n≥k2－k＋1 D．S2 021＝88
【解析】选BC.由题意，记〈x〉表示与实数x最接近的整数，且k＝〈 eq \r(n) 〉，
当n＝1时，可得 eq \r(n) ＝1，〈 eq \r(n) 〉＝1，所以A不正确；由| eq \r(n) －〈 eq \r(n) 〉|＜ eq \f(1,2) ，即| eq \r(n) －k|＜ eq \f(1,2) ，可得－ eq \f(1,2) ＜ eq \r(n) －k＜ eq \f(1,2) ，可得 eq \r(n) ＜k＋ eq \f(1,2) 成立，所以B正确；由－ eq \f(1,2) ＜ eq \r(n) －k＜ eq \f(1,2) ，可得k－ eq \f(1,2) ＜ eq \r(n) ＜k＋ eq \f(1,2) ，平方可得k2－k＋ eq \f(1,4) ＜n＜k2＋k＋ eq \f(1,4) ，因为n∈N*，且k2－k＋ eq \f(1,4) 不是整数，其中k2－k＋1是k2－k＋ eq \f(1,4) 右侧的最接近的整数，所以n≥k2－k＋1成立，所以C正确；当n＝1，2时，〈 eq \r(n) 〉＝1，此时a1＝a2＝1；
当n＝3，4，5，6时，〈 eq \r(n) 〉＝2，此时a3＝a4＝a5＝a6＝ eq \f(1,2) ；
当n＝7，8，9，10，11，12时，〈 eq \r(n) 〉＝3，此时a7＝a8＝…＝a12＝ eq \f(1,3) ；
当n＝13，14，…，20时，〈 eq \r(n) 〉＝4，此时a13＝a14＝…＝a20＝ eq \f(1,4) ；
…
归纳可得数列{an}中，有2个1，4个 eq \f(1,2) ，6个 eq \f(1,3) ，8个 eq \f(1,4) ，…
又由2，4，6，8，…构成首项为2，公差为2的等差数列，可得 eq \f(n（2＋2n）,2) ＝n(n＋1)，
令n(n＋1)≤2 021，n∈N*，解得n＝44，
所以S2 021＝1×2＋ eq \f(1,2) ×4＋ eq \f(1,3) ×6＋…＋ eq \f(1,22) ×44＋ eq \f(1,23) ×41＝44＋ eq \f(41,23) ，所以D不正确．
三、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)
13．博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1，P2，则P1＋P2＝________.
【解析】三辆车的出车顺序可能为：123，132，213，231，312，321
方案一坐车可能：132，213，231，所以P1＝ eq \f(1,2) ；
方案二坐车可能：312，321，所以P2＝ eq \f(1,3) ；所以P1＋P2＝ eq \f(5,6) .
答案： eq \f(5,6)
14．已知曲线C： eq \f(x2,m) ＋ eq \f(y2,n) ＝1(mn≠0).给出下列四个命题：
①曲线C过坐标原点；
②若m＝n>0，则C是圆，其半径为m；
③若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在x轴上；
④若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝± eq \r(－\f(n,m)) x.其中所有真命题的序号是________.
【解析】对于①，将原点坐标(0，0)代入曲线C： eq \f(x2,m) ＋ eq \f(y2,n) ＝1(mn≠0)的方程，显然不成立，故曲线C不过坐标原点，故错误；对于②，若m＝n>0，曲线C： eq \f(x2,m) ＋ eq \f(y2,n) ＝1(mn≠0)的方程为x2＋y2＝m＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(m))) 2，对应曲线为以原点为圆心，半径为 eq \r(m) 的圆，故错误；对于③，若m>n>0，则曲线C： eq \f(x2,m) ＋ eq \f(y2,n) ＝1(mn≠0)表示半长轴a＝ eq \r(m) ，半短轴b＝ eq \r(n) ，长轴在x轴，即焦点在x轴上的椭圆，故正确；对于④，若mn<0，曲线C： eq \f(x2,m) ＋ eq \f(y2,n) ＝1(mn≠0)表示双曲线，渐近线方程为 eq \f(x2,m) ＋ eq \f(y2,n) ＝0，即y＝± eq \r(－\f(n,m)) x，故正确．
答案：③④
15．若圆C：x2＋y2＋6x－2y＋n＝0截直线l：(2＋m)x＋(2m－1)y－5m＝0所得的最短弦长为4 eq \r(2) ，则实数n＝________．
【解析】易知圆C的圆心为C(－3，1)，半径r＝ eq \r(10－n) ，直线(2＋m)x＋(2m－1)y－5m＝0恒过点M(1，2).又|MC|＝ eq \r(（－3－1）2＋（1－2）2) ＝ eq \r(17) ，当MC⊥l时，所得弦最短，此时弦长为2 eq \r(r2－|MC|2) ＝2 eq \r(r2－17) ＝4 eq \r(2) ，解得r＝5，
所以 eq \r(10－n) ＝5，解得n＝－15.
答案：－15
16．已知三棱锥P­ABC的四个顶点在球M的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则三棱锥P­ABC的体积为________，球M的表面积为________．
【解析】如图，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，所以三棱锥P­ABC为正三棱锥，则顶点P在底面的投影为底面三角形的中心O，连接BO并延长，交AC于G，
所以BG＝2× eq \f(\r(3),2) ＝ eq \r(3) ，BO＝ eq \f(2,3) × eq \r(3) ＝ eq \f(2,3) eq \r(3) .
因为AC⊥BG，PO⊥AC，PO∩BG＝O，
所以AC⊥平面PBG，则PB⊥AC，
因为E，F分别是PA，AB的中点，
所以EF∥PB，
又因为∠CEF＝90°，所以EF⊥CE，
所以PB⊥CE，
所以PB⊥平面PAC，
所以正三棱锥P­ABC的三条侧棱两两互相垂直，且PA2＋PC2＝AC2＝4，
所以PA＝PB＝PC＝ eq \r(2) ，
所以PO＝ eq \r(（\r(2)）2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)))\s\up12(2)) ＝ eq \f(\r(6),3) ，
所以VP­ABC＝ eq \f(1,3) × eq \f(1,2) ×2× eq \r(3) × eq \f(\r(6),3) ＝ eq \f(\r(2),3) .
将三棱锥补形成正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，
所以直径为 eq \r(PA2＋PB2＋PC2) ＝ eq \r(6) ，
所以外接球的半径为 eq \f(\r(6),2) ，故外接球的表面积为4πR2＝4π×( eq \f(\r(6),2) )2＝6π.
答案： eq \f(\r(2),3) 6π
喜欢统计课程
不喜欢统计课程
男生
20
5
女生
10
20
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.25
0.010
0.005
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828