2022版高考数学小题标准练（四）

这是一份2022版高考数学小题标准练（四），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

高考小题标准练(四)
满分80分，实战模拟，40分钟拿下高考客观题满分！
一、单选题(共8小题，每小题5分，共40分)
1．设集合A＝{0，2，4}，B＝{x|x2－mx＋n＝0}，若A∪B＝{0，1，2，3，4}，则 m＋n 的值是( )
A．1 B．3 C．5 D．7
【解析】选D.因为集合A＝{0，2，4}，B＝{x|x2－mx＋n＝0}，A∪B＝{0，1，2，3，4}，则 B＝{1，3}，所以1, 3是方程x2－mx＋n＝0 的两根，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＋3＝m,1×3＝n)) ，所以m＋n＝4＋3＝7.
2．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8.在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率是( )
A．0.72 B．0.8 C．0.86 D．0.9
【解析】选A.设“种子发芽”为事件A，“种子成长为幼苗”为事件AB(发芽，并成活而成长为幼苗)，则P(A)＝0.9.又种子发芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，所以P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.9×0.8＝0.72.
3．若复数z满足z＝ eq \f(1＋i,4－i) ，则z的共轭复数 eq \x\t(z) 为( )
A．－ eq \f(1,16) ＋ eq \f(1,16) i B． eq \f(1,14) － eq \f(3,14) i
C．－ eq \f(2,15) ＋ eq \f(1,15) i D． eq \f(3,17) － eq \f(5,17) i
【解析】选D.因为z＝ eq \f(1＋i,4－i) ＝ eq \f(（1＋i）（4＋i）,（4－i）（4＋i）) ＝ eq \f(3,17) ＋ eq \f(5,17) i，所以 eq \x\t(z) ＝ eq \f(3,17) － eq \f(5,17) i.
4．有7名学生参加“学党史知识竞赛”，咨询比赛成绩，老师说：“甲的成绩是最中间一名，乙不是7人中成绩最好的，丙不是7人中成绩最差的，而且7人的成绩各不相同”．那么他们7人不同的可能位次共有( )
A．120种 B．216种
C．384种 D．504种
【解析】选D.因为甲的成绩是最中间一名，
所以只需安排其余6人位次，
因为乙不排第一名，丙不排最后一名，
所以由间接法可得A eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(6)) －2A eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(5)) ＋A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) ＝720－2×120＋24＝504.
5．已知直线l：y＝x－1与抛物线C：y2＝2px(p＞0)相交于A，B两点，若AB的中点为N，且抛物线C上存在点M，使得 eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(OB,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) eq \(OM,\s\up6(→)) (O为坐标原点)，则p的值为( )
A．4 B．2 C．1 D． eq \f(1,2)
【解析】选B.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x－1,y2＝2px)) ，
整理可得：x2－2(1＋p)x＋1＝0，
x1＋x2＝2(1＋p)，y1＋y2＝x1＋x2－2＝2p，
因为 eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(OB,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) eq \(OM,\s\up6(→)) ，所以(2(1＋p)，2p)＝ eq \f(2,3) (x0，y0)，
所以可得x0＝3(1＋p)，y0＝3p，
即P(3p＋3，3p)，将P点坐标代入抛物线得(3p)2＝2p(3p＋3)，
整理可得：p＝2或0(舍).
6．已知(1＋x)7＝a0＋a1(x－1)1＋a2(x－1)2＋…＋a7(x－1)7，则 a0＋a3＝( )
A．688 B．161 C．129 D．22
【解析】选A.因为(1＋x)7＝[2＋(x－1)]7，展开的通项公式为： C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(7)) ·27－r(x－1)r，
且 (1＋x)7＝a0＋a1(x－1)1＋a2(x－1)2＋…＋a7(x－1)7，
故a0＝C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(7)) 27＝128，a3＝C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(7)) 24＝560，所以a0＋a3＝128＋560＝688.
7．已知a＝x eq \s\up6(\f(1,3)) ，b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up12(x) ，c＝lg eq \s\d9(\f(1,3)) x，则下列说法正确的是( )
A．当a＝b时，cC．当a＝c时，b【解析】选C.在同一坐标系分别作出 y＝x eq \s\up6(\f(1,3)) ，y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) x，y＝lg eq \s\d9(\f(1,3)) x的图象，
A．当a＝b时，x eq \s\up6(\f(1,3)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up12(x) 交点为P，此时c＝lg eq \s\d9(\f(1,3)) x在上方，c>a，错误；
B．当b＝c时， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up12(x) ＝lg eq \s\d9(\f(1,3)) x交点为R，此时 a＝x eq \s\up6(\f(1,3)) 在上方，a>c，错误；
C．当a＝c时，x eq \s\up6(\f(1,3)) ＝lg eq \s\d9(\f(1,3)) x交点为Q，此时 b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) x 在下方，bD．当c＝0时，lg eq \f(1,3) x与x轴交点为S，此时a＝x eq \s\up6(\f(1,3)) 在b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) x上方，a>b，错误．
8．已知F为抛物线C：x2＝y的焦点，过点F的直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B，抛物线C在A，B两点处的切线相交于点P，则4|PF|－ eq \f(|AB|,2) 的最大值为( )
A．1 B． eq \f(3,2) C．2 D． eq \f(5,2)
【解析】选C.设l：y＝kx＋ eq \f(1,4) ，A(x1，y1)，B(x2，y2)
联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋\f(1,4),x2＝y)) ，得x2－kx－ eq \f(1,4) ＝0，
所以x1＋x2＝k，x1x2＝－ eq \f(1,4) ，
y1＋y2＝kx1＋ eq \f(1,4) ＋kx2＋ eq \f(1,4) ＝k(x1＋x2)＋ eq \f(1,2) ＝k2＋ eq \f(1,2) ，
因为抛物线的方程为y＝x2，所以求导得y′＝2x，
所以抛物线C在A处的切线l1的斜率为k1＝2x1，
抛物线C在B处的切线l2的斜率为k2＝2x2，
所以直线l1的方程为y－y1＝2x1(x－x1)，
化简得y－y1＝2x1x－2x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ，
又x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＝y1，所以直线l1的方程为y＝2x1x－y1，
同理可得直线l2的方程为y＝2x2x－y2，
联立l1，l2，得x＝ eq \f(x1＋x2,2) ＝ eq \f(k,2) ，y＝－ eq \f(1,4) ，
所以P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(k,2)，－\f(1,4))) ，
又F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4))) ，
所以|PF|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(k,2)－0))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)－\f(1,4)))\s\up12(2)) ＝ eq \f(\r(k2＋1),2) ，
由抛物线的定义可得|AB|＝y1＋y2＋ eq \f(1,2) ＝k2＋1，
所以4|PF|－ eq \f(|AB|,2) ＝－ eq \f(1,2) (k2＋1)＋2 eq \r(k2＋1) ＝－ eq \f(1,2) ( eq \r(k2＋1) －2)2＋2≤2，
所以4|PF|－ eq \f(|AB|,2) 的最大值为2.
二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．已知向量a＝(1，3)，b＝(－2，1)，c＝(3，－5)，则( )
A．(a＋2b)∥c
B．(a＋2b)⊥c
C．|a＋c|＝ eq \r(10) ＋ eq \r(34)
D．|a＋c|＝2|b|
【解析】选AD.因为a＝(1，3)，b＝(－2，1)，c＝(3，－5)，所以a＋2b＝－c，所以(a＋2b)∥c，故A正确，B不正确；又a＋c＝(4，－2)，|a＋c|＝ eq \r(42＋（－2）2) ＝2 eq \r(5) ，|b|＝ eq \r(（－2）2＋12) ＝ eq \r(5) ，所以|a＋c|＝2|b|，故D正确，C不正确．
10．某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险：戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图例：
用该样本估计总体，以下四个选项正确的是( )
A．54周岁以上参保人数最少
B．18～29周岁人群参保总费用最少
C．丁险种更受参保人青睐
D．30周岁以上的人群约占参保人群20%
【解析】选AC.对A：由扇形图可知，54周岁以上参保人数最少，故选项A正确；对B：由折线图可知，18～29周岁人群人均参保费用最少，但是由扇形图知参保人数并不是最少的，所以参保总费用不是最少，故选项B错误；对C：由柱状图可知，丁险种参保比例最高，故选项C正确；对D：由扇形图可知，30周岁以上的人群约占参保人群的80%，故选项D错误．
11．已知函数f(x)＝ex－f(0)x＋ eq \f(1,2) x2，则( )
A．f(0)＝1
B．函数f(x)的极小值点为0
C．函数f(x)的单调递减区间是(0，＋∞)
D．∀x∈R，不等式f(x)≥e恒成立
【解析】选AB.在f(x)＝ex－f(0)x＋ eq \f(1,2) x2中，取x＝0，可得f(0)＝e0＝1.故A正确；
则f(x)＝ex－x＋ eq \f(1,2) x2，f′(x)＝ex＋x－1，f″(x)＝ex＋1＞0.
所以f′(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，
因为f′(0)＝e0－1＝0，
所以当x∈(－∞，0)时，f′(x)＜0，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，
则f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)的极小值为f(0)＝e0＝1，故B正确；C，D错误．
12．在如图所示的几何体中，底面ABCD是边长为4的正方形，AA1，BG，CC1，DD1均与底面ABCD垂直，且AA1＝CC1＝DD1＝2BG＝4 eq \r(3) ，点E，F分别为线段BC，CC1的中点，则下列说法正确的是( )
A．直线A1G与△AEF所在平面相交
B．三棱锥C1­BCD的外接球的表面积为80π
C．点C到平面AEF的距离为 eq \f(4\r(57),19)
D．二面角C1­AD­B中，M∈平面C1AD，N∈平面BAD，P，Q为棱AD上不同两点，MP⊥AD，NQ⊥AD，若MP＝PQ＝2，NQ＝1，则MN＝ eq \r(3)
【解析】选BC.取AA1的中点H，连接C1H，HB，BC1，由题意AH∥C1F且AH＝C1F，所以AHC1F是平行四边形，HC1∥AF，又HC1⊄平面AEF，AF⊂平面AEF，所以HC1∥平面AEF，又由中位线性质得BC1∥EF，BC1⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，所以BC1∥平面AEF，HC1与BC1是平面HBC1内两相交直线，所以平面HBC1∥平面AEF，HB⊂平面HBC1，所以HB∥平面AEF，又由A1H与BG平行且相等，得A1HBG是平行四边形，所以A1G∥HB，A1∉平面AEF，所以A1G∥平面AEF，A错；
把几何体补成长方体ABCD­A1B1C1D1，则三棱锥C1­BCD的外接球就是长方体ABCD­A1B1C1D1的外接球，球半径为R＝ eq \f(1,2) eq \r(42＋42＋（4\r(3)）2) ＝2 eq \r(5) ，表面积为S＝4πR2＝80π，B正确；
设C到平面AEF距离为h，由已知AE＝2 eq \r(5) ，EF＝4，AF＝2 eq \r(11) ，cs ∠AEF＝ eq \f(AE2＋EF2－AF2,2AE×EF) ＝－ eq \f(\r(5),10) ，所以sin ∠AEF＝ eq \f(\r(95),10) ，S△AEF＝ eq \f(1,2) AE×EF sin ∠AEF＝2 eq \r(19) ，由VC­AEF＝VF­AEC得 eq \f(1,3) ×2 eq \r(19) h＝ eq \f(1,3) × eq \f(1,2) ×2×4×2 eq \r(3) ，h＝ eq \f(4\r(57),19) ，C正确．
作出二面角M­AD­N，由上面的长方体知∠C1DC是二面角C1­AD­B的平面角，易得cs ∠C1DC＝ eq \f(1,2) ，作PT∥QN且PT＝QN，连接NT，则PQNT是平行四边形，NT∥PQ，NT＝PQ＝2，NQ⊥AD，所以PT⊥AD，而MP⊥AD，所以∠MPT是二面角C1­AD­B的平面角，cs ∠MPT＝ eq \f(1,2) ，MT＝ eq \r(PM2＋PT2－2MP·PT cs ∠MPT)
＝ eq \r(22＋12－2×2×1×\f(1,2)) ＝ eq \r(3) ，由PQ⊥MP，PQ⊥PT，PM∩PT＝P，PM，PT⊂平面PMT，所以PQ⊥平面PMT，又MT⊂平面PMT，所以PQ⊥MT，因为NT∥PQ，所以NT⊥MT，所以MN＝ eq \r(NT2＋MT2) ＝ eq \r(4＋3) ＝ eq \r(7) .D错．
三、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)
13．某旅馆有三人间、两人间、单人间各一间可入住，现有三个成人带两个小孩前来投宿，若小孩不单独入住一个房间(必须有成人陪同)，且三间房都要安排给他们入住，则不同的安排方法有________种．
【解析】若2个小孩住在一起，则只能住三人间，则三人间、两人间、单人间各住一个大人，此时有A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ＝6种，若2个小孩不住在一起，则只能三人间、两人间各住一个小孩，有2种，则三人间、两人间、单人间各住一个大人，此时共有2A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ＝12种，合计6＋12＝18种．
答案：18
14．已知sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)－α)) ＝ eq \f(1,3) ，则 sin 2α＋cs 2α＝________.
【解析】因为sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)－α)) ＝ eq \f(1,3) ，
所以cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)－α)))) ＝1－2sin 2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)－α)) ＝1－ eq \f(2,9) ＝ eq \f(7,9) .
又cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)－α)))) ＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－2α))
＝ eq \f(\r(2),2) cs 2α＋ eq \f(\r(2),2) sin 2α，
所以 eq \f(\r(2),2) (cs 2α＋sin 2α)＝ eq \f(7,9) ，
则cs 2α＋sin 2α＝ eq \f(7\r(2),9) .
答案： eq \f(7\r(2),9)
15．已知函数f(x)＝ln x，数列{an}是公差为2的等差数列，且 an＝f(xn)，若x1＋x2＋x3＋…＋x10＝e，则ln (x11＋x12＋x13＋…＋x20)＝ ________.
【解析】an＝f(xn)＝ln xn，所以xn＝ean， eq \f(xn＋1,xn) ＝ean＋1－an＝e2，所以{xn}是以q＝e2的等比数列，
x11＋x12＋x13＋…＋x20＝(x1＋x2＋x3＋…＋x10)×q10＝e×e20＝e21，ln (x11＋x12＋x13＋…＋x20)＝ln e21＝21.
答案：21
16．函数f(x)的定义域为D，对D内的任意 x1，x2，当 x1【解析】根据题意，由对任意x∈[0，1]，f(1－x)＋f(x)＝2，令x＝ eq \f(1,2) 可得f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) ＝1，则f(x)的函数图象在x∈[0，1]关于 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) 对称，
又因为对任意x∈[0， eq \f(1,4) ]，f(x)≥4x，
所以f( eq \f(1,4) )≥1，又因为f( eq \f(1,2) )＝1且f(x)是定义域为[0，1]的非减函数，
所以当x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,2))) 时，必有f(x)＝1，
又由于f(x)的函数图象关于 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) 对称，
所以x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,4))) 时，也有f(x)＝1，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,7))) ＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,8))) ＝1＋1＝2.
答案：2