2022版高考数学小题标准练（十三）

这是一份2022版高考数学小题标准练（十三），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
高考小题标准练(十三)
满分80分，实战模拟，40分钟拿下高考客观题满分！
一、单选题(共8小题，每小题5分，共40分)
1．设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－10)的准线上，过点M的直线与抛物线相切于A，B两点，则直线AB的方程为( )
A．x－2y＋4＝0 B．x－y＋4＝0
C．2x＋y＋4＝0 D．x＋2y＋4＝0
【解析】选A.点M(2，－2)在抛物线x2＝2py(p>0)的准线上，
所以－ eq \f(p,2) ＝－2，p＝4，抛物线为x2＝8y.
由题意可得，过点M的切线存在斜率，设为k，则切线方程为y＋2＝k(x－2)，代入抛物线的方程x2＝8y消去y，整理得x2－8kx＋16k＋16＝0，所以Δ＝(8k)2－4(16k＋16)＝0，即k2－k－1＝0，此时x＝4k，设两个实数根为k1，k2，
则k1＋k2＝1，k1k2＝－1，所以切点A(4k1，2k12)，B(4k2，2k22)，所以kAB＝ eq \f(2k22－2k12,4k2－4k1) ＝ eq \f(k1＋k2,2) ＝ eq \f(1,2) ，所以直线AB的方程为y－2k12＝ eq \f(1,2) (x－4k1)，即x－2y＋4k12－4k1＝0，因为k1是k2－k－1＝0的根，所以4k12－4k1＝4，
所以直线AB的方程为x－2y＋4＝0.
7．函数f(x)＝a(x＋4)ex－x，若恰好存在两个整数x使得f(x)0，φ(x)在(－∞，1)上单调递增；当x∈(1，＋∞)时， φ′(x)0.
若f(x)0，所以m＝2 eq \r(3) .
答案：2 eq \r(3)
14．从2，3，4，5，6，7，8，9中选取两个不同的数字分别作为对数表达式lgab的底数和真数，则得到的对数表达式的值为正整数的概率为________.
【解析】从2，3，4，5，6，7，8，9中选取一个数字作底数，余下的7个数字中选取一个作真数，可以得到8×7＝56个不同的对数表达式，其中只有lg24＝2，lg28＝3，lg39＝2，这三个对数值为正整数，所以所求的概率为 eq \f(3,56) .
答案： eq \f(3,56)
15．已知函数f(x)＝2f′(0)ex－x2＋x，点M是函数f(x)的图象在x＝0处的切线上一点，点N是函数y＝x2上一点，则|MN|的最小值为________.
【解析】由f(x)＝2f′(0)ex－x2＋x得，f′(x)＝2f′(0)ex－2x＋1，所以f′(0)＝2f′(0)e0＋1，解得f′(0)＝－1.所以f(x)＝－2ex－x2＋x，f(0)＝－2，k＝f′(0)＝－1，函数f(x)的图象在x＝0处的切线方程为x＋y＋2＝0，设N(x0，y0)，y′＝2x.当过N(x0，y0)的切线与y＝－x－2平行时|MN|最小．所以2x0＝－1，可得x0＝－ eq \f(1,2) ，此时y0＝ eq \f(1,4) .所以|MN|的最小值为 eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＋\f(1,4)＋2)),\r(2)) ＝ eq \f(7\r(2),8) .
答案： eq \f(7\r(2),8)
16．如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作与平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足∠BOP＝60°，则∠AOP的余弦值为________．
【解析】由球的性质知CD⊥平面AOB，如图，
在平面α内作OE⊥CD交半球面于E，
则OE在平面AOB内，∠BOE＝45°，
由AO⊥α知AO⊥EO，所以∠AOB＝45°，
在半圆面CBD内作PQ∥CD交OB于Q，连接QA，则PQ⊥平面AOB，所以PQ⊥AQ，
又∠POB＝60°，所以PQ＝R sin 60°＝ eq \f(\r(3),2) R，OQ＝R cs 60°＝ eq \f(1,2) R，
在△OAQ中，
AQ2＝OQ2＋OA2－2OA·OQ cs ∠AOQ
＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)R)) eq \s\up12(2) ＋R2－2·R· eq \f(1,2) R cs 45°
＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)－\f(\r(2),2))) R2，
所以AP2＝PQ2＋AQ2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)R)) eq \s\up12(2) ＋( eq \f(5,4) － eq \f(\r(2),2) )R2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(\r(2),2))) R2，
在△AOP中，cs ∠AOP＝ eq \f(OP2＋OA2－AP2,2OP·OA)
＝ eq \f(R2＋R2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(\r(2),2)))R2,2R2) ＝ eq \f(\r(2),4) .
答案： eq \f(\r(2),4)