2022版高考数学小题标准练（十五）

这是一份2022版高考数学小题标准练（十五），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
高考小题标准练(十五)
满分80分，实战模拟，40分钟拿下高考客观题满分！
一、单选题(共8小题，每小题5分，共40分)
1．如图，U为全集，M，P，S是U的三个子集，则阴影部分所表示的集合是( )
A.(M∩P)∩S
B．(M∩P)∪S
C．(M∩P)∩(US)
D．(M∩P)∪(US)
【解析】选C.图中的阴影部分是： M∩P的子集，不属于集合S，属于集合S的补集，即是US的子集，则阴影部分所表示的集合是(M∩P)∩(US).
2．若复数z满足z＝ eq \f(a,1－i) (i为虚数单位，a∈R)，且 eq \x\t(z) 的虚部为－1，则a＝( )
A．1 B．2 C．－2 D．－1
【解析】选B.因为z＝ eq \f(a,1－i) ＝ eq \f(a（1＋i）,（1－i）（1＋i）) ＝ eq \f(a＋ai,2) ＝ eq \f(a,2) ＋ eq \f(a,2) i，
所以 eq \x\t(z) ＝ eq \f(a,2) － eq \f(a,2) i，
根据 eq \x\t(z) 的虚部为－1，故－ eq \f(a,2) ＝－1，可得a＝2.
3．已知A是锐角三角形的最大的内角且sin 2A＝ eq \f(4\r(2),9) ，则tan A的值为( )
A．2 B．2 eq \r(2) C． eq \r(5) D．3
【解析】选B.因为A是锐角三角形的最大的内角，所以60°≤Acs A，因为sin 2A＝2sin A cs A＝ eq \f(4\r(2),9) ，
所以sin A cs A＝ eq \f(2\r(2),3) × eq \f(1,3) ，所以sin A＝ eq \f(2\r(2),3) ，cs A＝ eq \f(1,3) ，所以tan A＝2 eq \r(2) .
4．在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x>0)，g(x)＝lg eq \s\d9(\f(1,a)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2))) (a>0且a≠1)的部分图象可能是( )
【解析】选A.当a＞1时，幂函数f(x)＝xa在(0，＋∞)递增且过(0，0)，由0< eq \f(1,a) 0且a≠1)在(－ eq \f(1,2) ，＋∞)是减函数，且g(0)＝lg eq \s\d9(\f(1,a)) eq \f(1,2) >0；
当0＜a＜1，幂函数f(x)＝xa在(0，＋∞)递增且过(0，0)，由 eq \f(1,a) >1，得g(x)＝lg eq \s\d9(\f(1,a)) (x＋ eq \f(1,2) )(a>0且a≠1)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞)) 是增函数，且g(0)＝lg eq \s\d9(\f(1,a)) eq \f(1,2) 0，ω>0，02b
【解析】选AB.对于A：a＝lg52＝ eq \f(1,lg25) ，b＝ eq \f(1,2) ln 2＝ eq \f(1,2) × eq \f(1,lg2e) ＝ eq \f(1,lg2e2) ，
又e2>5，且y＝lg2x为增函数，所以lg25b.故A正确；对于B：b＝ eq \f(1,2) ln 2＝ln eq \r(2) ，c＝ eq \f(1,5) ln 5＝ln eq \r(5,5) ，因为( eq \r(2) )10＝25＝32，( eq \r(5,5) )10＝52＝25，y＝ln x为增函数，所以b>c；故B正确；
对于C：因为a>b，b>c，所以a>c，故C错误；
对于D：因为b＝ eq \f(1,2) ln 2，所以2b＝ln 2＝ eq \f(1,lg2e) ，而a＝lg52＝ eq \f(1,lg25) ，
又ea，故D错误．
12．已知曲线C： eq \f(x2,9) ＋ eq \f(y2,m) ＝1，F1，F2分别为曲线C的左右焦点，则下列说法正确的是( )
A．若m＝－3，则曲线C的两条渐近线所成的锐角为 eq \f(π,3)
B．若曲线C的离心率e＝2，则m＝－27
C．若m＝3，则曲线C上不存在点P，使得∠F1PF2＝ eq \f(π,2)
D．若m＝3，P为C上一个动点，则△PF1F2面积的最大值为3 eq \r(2)
【解析】选ABD.对于A选项，当m＝－3时，曲线C： eq \f(x2,9) － eq \f(y2,3) ＝1表示焦点在x轴上的双曲线，渐近线方程为y＝± eq \f(\r(3),3) x，故渐近线的倾斜角分别为 eq \f(π,6) ， eq \f(5π,6) ，所以曲线C的两条渐近线所成的锐角为 eq \f(π,3) ，故A选项正确；对于B选项，离心率e＝2，则曲线C为焦点在x轴上的双曲线，a＝3，e＝2，故c＝6，所以－m＝c2－a2＝36－9＝27，所以m＝－27，故B选项正确；
对于C选项，若m＝3，则曲线C： eq \f(x2,9) ＋ eq \f(y2,3) ＝1表示焦点在x轴上的椭圆，此时a2＝9，b2＝3，c2＝6，设椭圆C的短轴的一个顶点坐标为M(0， eq \r(3) )，则cs ∠F1MF2＝ eq \f(a2＋a2－4c2,2a2) ＝ eq \f(－6,18) ＝－ eq \f(1,3) 0，k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足 eq \f(|PA|,|PB|) ＝ eq \r(2) ，则|PA|2＋|PB|2的最小值________.
【解析】以AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
因为|AB|＝2，所以A(－1，0)，B(1，0)，
设P(x，y)，因为 eq \f(|PA|,|PB|) ＝ eq \r(2) ，
所以 eq \r(（x＋1）2＋y2) ＝ eq \r(2) · eq \r(（x－1）2＋y2) ，
整理得x2＋y2－6x＋1＝0，
所以|PA|2＋|PB|2＝(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2＝2x2＋2y2＋2＝2(6x－1)＋2＝12x，
因为x2＋y2－6x＋1＝0可化为(x－3)2＋y2＝8，
所以(x－3)2≤8，解得3－2 eq \r(2) ≤x≤3＋2 eq \r(2) ，
因此|PA|2＋|PB|2＝12x≥12×(3－2 eq \r(2) )＝36－24 eq \r(2) .
即|PA|2＋|PB|2的最小值为36－24 eq \r(2) .
答案：36－24 eq \r(2)
16．已知表面积为12π的球O1内切于正三棱柱ABC­A1B1C1(球O1与正三棱柱的三个侧面及两个底面都相切)，则这个正三棱柱的表面积为________，若这个正三棱柱的顶点都在球O2的球面上，则球O2的体积为________．
【解析】设球O1，O2的半径分别为r，R，正三棱柱的底面边长为a，因为球O1的表面积为12π，所以4πr2＝12π，所以r＝ eq \r(3) .由正三棱柱及球的截面性质可得3r＝ eq \f(\r(3),2) a，R＝ eq \r(5) r，所以a＝6，R＝ eq \r(15) ，正三棱柱的高为A1A＝2r＝2 eq \r(3) ，所以这个正三棱柱的表面积为3a·A1A＋2× eq \f(\r(3),4) a2＝3×6×2 eq \r(3) ＋2× eq \f(\r(3),4) ×62＝54 eq \r(3) ，球O2的体积为 eq \f(4π,3) R3＝ eq \f(4π,3) ×( eq \r(15) )3＝20 eq \r(15) π.
答案：54 eq \r(3) 20 eq \r(15) π