2022版高考数学小题标准练（三）

这是一份2022版高考数学小题标准练（三），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
高考小题标准练(三)
满分80分，实战模拟，40分钟拿下高考客观题满分！
一、单选题(共8小题，每小题5分，共40分)
1．已知集合P＝{x|x2＜4}，Q＝{x|－1＜x＜3}，则P∩Q＝( )
A．{x|2＜x＜3} B．{x|－2＜x＜3}
C．{x|－1＜x＜2} D．{x|－1＜x＜3}
【解析】选C.因为P＝{x|－2＜x＜2}，Q＝{x|－1＜x＜3}，
所以P∩Q＝{x|－1＜x＜2}．
2．欧拉公式eiθ＝cs θ＋isin θ(e为自然对数底数，i为虚数单位)是瑞士数学家欧拉最早发现的，是数学界最著名、最美丽的公式之一，根据欧拉公式，复数e2i在复平面内对应点所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】选B.由题意得：e2i＝cs 2＋isin 2，而cs 2＜0，sin 2＞0，故点(cs 2，sin 2)在第二象限．
3．已知a，b都大于零且不等于1，则“lgab＞1”是“(a－1)(b－1)＞0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】选A.a，b都大于零且不等于1，lgab＞1＝lgaa，若0＜a＜1，则1＞a＞b＞0，所以(a－1)(b－1)＞0，若a＞1，则b＞a＞1，所以(a－1)(b－1)＞0，所以“lgab＞1”可以推出“(a－1)(b－1)＞0”，满足充分性；
因为(a－1)(b－1)＞0，
所以a＞1，b＞1或0＜a＜1，0＜b＜1，
只能推出lgab＞0，不能推出lgab＞1，不满足必要性；所以“lgab＞1”是“(a－1)(b－1)＞0”的充分不必要条件．
4．已知函数f(x)＝ eq \f(|x|－1,x) ln |x|，其图象大致为( )
【解析】选A.函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，函数f(－x)＝ eq \f(|－x|－1,－x) ln |－x|＝－ eq \f(|x|－1,x) ln |x|＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，故排除BD，因为f(1)＝0，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) ＝－ln eq \f(1,2) ＝ln 2＞0，故排除C.
5．在直角坐标系中，已知O为坐标原点，A(－1，0)，B(1，0).点P满足kPA·kPB＝3，且|PA|＋|PB|＝4，则|OP|＝( )
A． eq \f(7\r(13),13) B． eq \f(\r(85),5)
C． eq \f(5\r(13),13) D． eq \f(\r(13),2)
【解析】选B.设点P(x，y)，A(－1，0)，B(1，0)，kPA＝ eq \f(y,x＋1) ，kPB＝ eq \f(y,x－1) ，所以kPA·kPB＝ eq \f(y,x＋1) · eq \f(y,x－1) ＝3，x2－ eq \f(y2,3) ＝1，x≠0，…①
又|PA|＋|PB|＝4，所以点P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，所以2a＝4，a＝2，c＝1，b2＝a2－c2＝3，
椭圆方程为 eq \f(x2,4) ＋ eq \f(y2,3) ＝1，…②
由①②解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＝\f(8,5),y2＝\f(9,5))) ，
则|OP|＝ eq \r(x2＋y2) ＝ eq \r(\f(8,5)＋\f(9,5)) ＝ eq \f(\r(85),5) .
6．已知离散型随机变量ξ1，ξ2的分布列为：
则下列说法一定正确的是( )
A．E(ξ1)＞E(ξ2) B．E(ξ1)＜E(ξ2)
C．D(ξ1)＞D(ξ2) D．D(ξ1)＜D(ξ2)
【解析】选D.由题意可得：a＋b＝ eq \f(1,2) ，a，b∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) .
E(ξ1)＝a＋3× eq \f(1,2) ＋5×b＝2＋4b，E(ξ2)＝b＋2× eq \f(1,4) ＋4× eq \f(1,4) ＋5a＝2＋4a，
由于a与b的大小关系不确定，因此E(ξ1)与E(ξ2)的大小关系不确定．
D(ξ1)＝(1－2－4b)2a＋(3－2－4b)2× eq \f(1,2) ＋(5－2－4b)2×b＝－16b2＋8b＋1，
E(ξ2)＝4－4b，D(ξ2)＝(4－4b－1)2b＋(4－4b－2)2× eq \f(1,4) ＋(4－4b－4)2× eq \f(1,4) ＋(4－4b－5)2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－b)) ＝－16b2＋8b＋ eq \f(3,2) ，
所以D(ξ1)＜D(ξ2).
7．设数列{xn}满足xn＋1＝x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) －2xn，n∈N*，且对于任意x1≠0，都存在正整数n使得xn≥m，则实数m的最大值为( )
A． eq \f(1－\r(5),2) B． eq \f(1＋\r(5),2) C．2 D．3
【解析】选D.因为数列{xn}满足xn＋1＝x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) －2xn，n∈N*，且对于任意x1≠0，都存在正整数n使得xn≥m，
所以①若数列{xn}是递增数列，
则xn＋1＝x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) －2xn＞xn⇒xn＞3或xn＜0，
因为存在正整数n使得xn≥m，故需m≤3，此时m的最大值为3，
②若数列{xn}是递减数列，
则xn＋1＝x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) －2xn＜xn⇒0＜xn＜3，
因为存在正整数n使得xn≥m，
故需m≤0，此时m的最大值为0，
综上可得：m的最大值为3.
8．已知P是曲线y＝－sin x(x∈[0，π])上的动点，点Q在直线x－2y－6＝0上运动，则当 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PQ)) 取最小值时，点P的横坐标为( )
A． eq \f(π,4) B． eq \f(π,2) C． eq \f(2π,3) D． eq \f(5π,6)
【解析】选C.如图所示
若使得 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PQ)) 取值最小值，则曲线y＝－sin x(x∈[0，π])在点P处的切线与直线x－2y－6＝0平行，
对函数y＝－sin x求导得y′＝－cs x，
令y′＝ eq \f(1,2) ，可得cs x＝－ eq \f(1,2) ，
因为0≤x≤π，解得x＝ eq \f(2π,3) .
二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
【解析】选CD.设f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x)) ＝x2－6x＋a，其图象为开口向上，对称轴是x＝3的抛物线，如图所示．
若关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，
因为对称轴为x＝3，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(22－6×2＋a≤0，,12－6×1＋a>0，))
解得50，可得 eq \r(3) t2－4t＋ eq \r(3) ≥0，解得0