八年级数学 培优竞赛 专题03 和差化积----因式分解的方法（1） 讲义学案

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专题3  和差化积----因式分解的方法（1） 阅读与思考     提公因式、公式法、十字相乘法、分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法，有公因式的先提公因式，分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止．    一些复杂的因式分解问题经常用到以下重要方法：    1．换元法：    对一些数、式结构比较复杂的多项式，可把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新字母代替，从而可达到化繁为简的目的．从换元的形式看，换元时有常值代换、式的代换；从引元的个数看，换元时有一元代换、二元代换等．    2．拆、添项法：    拆项即把代数式中的某项拆成两项的和或差，添项即把代数式添上两个符号相反的项，因式分解中进行拆项与添项的目的是相同的，即经过拆项或添项后，多项式能恰当分组，从而可以运用分组分解法分解． 例题与求解    【例l】分解因式___________．（浙江省中考题）    解题思路：把看成一个整体，用一个新字母代换，从而简化式子的结构．      【例2】观察下列因式分解的过程：（1）；原式＝；（2）．原式＝．第（1）题分组后能直接提公因式，第（2）题分组后能直接运用公式．仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式：（1）；（西宁市中考试题）（2）．（临沂市中考试题）解题思路：通过分组，使每一组分组因式后，整体能再分解，恰当分组是关键，经历“实验－－失败－－再试验－－再失败－－直至成功”的过程．       【例3】分解因式（1）；（重庆市竞赛题）（2）；（“缙云杯”邀请赛试题）（3）．（“五羊杯”竞赛试题）      解题思路：（1）式中系数较大，直接分解有困难，不妨把数字用字母来表示；（2）式中、反复出现，可用两个新字母代替，突出式子的特点；（3）式中前两项与后一项有密切联系．      【例4】把多项式因式分解后，正确的结果是（  ）．    A．    B．    C．    D．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：直接分组分解困难，可考虑先将常数项拆成几个数的代数和，比如－3＝－4＋1．       【例5】分解因式：（1）；（扬州市竞赛题）（2）；（请给出多种解法）（“祖冲之杯”邀请赛试题）（3）．    解题思路：按次数添上相应的项或按系数拆项法分解因式的基本策略．      【例6】分解因式：．  （河南省竞赛试题）    解题思路：拆哪一项？怎样拆？可有不同的解法．    能力训练 　　　　A　级1．分解因式：（1）＝___________________________．（泰安市中考试题）（2）＝__________________________．（威海市中考试题）2．分解因式：（1）＝_________________________；（2）＝_____________________________．3．分解因式：＝____________________________．4．多项式与多项式的公因式是____________________．5．在1~100之间若存在整数，使能分解为两个整系数一次式的乘积，这样的有_______个．6．将多项式分解因式的积，结果是（   ）．  A．      B．  C．      D．7．下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是（   ）．  A．          B．   C．           D．（“希望杯”邀请赛试题）8．把分解因式，其中一个因式是（     ）．  A．          B．         C．        D．9．多项式有因式（     ）．  A．                        B．      C．        D．（“五羊杯”竞赛试题） 10．已知二次三项式可分解成两个整系数的一次因式的积，那么（  ）．A．一定是奇数                B．一定是偶数   C．可为奇数也可为偶数        D．一定是负数11．分解因式：（1）；（2）；（3）；                                      （“祖冲之杯”邀请赛试题）（4）；                                       （重庆市竞赛试题）（5）；（6）．     12．先化简，在求值：，其中 ，．       B　级1．分解因式：＝_______________．   （重庆市竞赛试题）2．分解因式：＝_____________．（“五羊杯”竞赛试题）3．分解因式：＝_________________________．（“希望杯”邀请赛试题）4．分解因式：＝______________________．（“五羊杯”竞赛试题）5．将因式分解得（  ）．  A．        B．      C．        D．（陕西省竞赛试题）6．已知是△ABC三边的长，且满足，则此三角形是（    ）．   A．等腰三角形     B．等边三角形      C．直角三角形       D．不能确定7．的因式是（   ）．  A．     B．     C．     D．     E.     （美国犹他州竞赛试题）8．分解因式：（1）；                   （湖北省黄冈市竞赛试题）（2）；                              （江苏省竞赛试题）（3）；                           （陕西省中考试题）（4）；                                   （“祖冲之杯”邀请赛试题）（5）；                   （“五羊杯”竞赛试题）（6）．                               （太原市竞赛试题）    9．已知乘法公式：利用或者不利用上述公式，分解因式：．       （“祖冲之杯”邀请赛试题）      10．分解因式：（1）；（2）；（3）．       11．对方程，求出至少一组正整数解．（莫斯科市竞赛试题）       12．已知在△ABC中，，求证：．（天津市竞赛试题）