【压轴精讲】数学中考培优竞赛专题 第13讲 数学基本方法之等积法（含答案）学案

这是一份【压轴精讲】数学中考培优竞赛专题 第13讲 数学基本方法之等积法（含答案）学案，共15页。学案主要包含了例题讲解，巩固练习，请用等积法，问题情境，变式探究，结论运用，迁移拓展等内容，欢迎下载使用。
第13讲 数学基本方法之等积法在解决几何问题时，通常可采用等积法来解决一些问题，即同一个图形采用不同的面积表示方法来建立等式.等积法也常在证明某些定理时被用到.【例题讲解】例题1   已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，AD⊥BC，求AD的长为             ．答案： AD＝2.4.例题2、如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线上一点，且BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ＋PR的值为         .答案：.【解析】连接BP，易知＝＋，所以·BE·CM＝·BE·PR＋·BC·PQ，由BC＝BE，等号两边同时约掉，剩下CM＝PR＋PQ，所以CM＝BC＝.连接BP，过C作CM⊥BD，∵＝＋＝BC×PQ×＋BE×PR×＝BC×（PQ＋PR）×＝BE×CM×，BC＝BE，∴PQ＋PR＝CM，∵BE＝BC＝1，且正方形对角线BD＝BC＝，又∵BC＝CD，CM＝BD，∴M为BD中点，又△BDC为直角三角形，∴CM＝＝，即PQ＋PR值是．【对于填空选择题，可用特殊值法！】例题3  如图，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上任意一点（可与B点或C点重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是、、，则B＋C＋D的最大值为　            　，最小值为　              　．答案：2，.【解析】连接AC、DP，＝1×1×1，由勾股定理得：AC＝＝，∵AB＝1，∴1≤AP≤，＝＝AP×C，1＝＝＋＋＝AP（B＋C＋D），B＋C＋D＝，∵1≤AP≤，≤B＋C＋D≤2，【巩固练习】1、如图，点P为等边△ABC内任意一点，AB＝2，则点P到△ABC三边的距离之和为          .       2、如图，在矩形ABCD中，已知AD＝12，AB＝5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PE⊥AC，E、F分别是垂足，则PE＋PF的长为         . 3、如图，D是Rt△ABC斜边AB上一点，且BD＝BC＝AC＝1，P为CD上任意一点，PF⊥BC于点F，PE⊥AB于点E，则PE＋PF的值是          . 4.如图，已知直线y＝2x－2上有一动点Q，点P坐标为（－1，0），则PQ的最小值为          .【请用等积法】                                                                                                                                      5.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是斜边上的中点，点P在AB上，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，若AB＝6，BC＝3.，则PE＋PF＝          .6.将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a²＋b²＝c².7．如图，在△ABC中，∠ A＝90°，D是AC上的一点，BD＝DC，P是BC上的任一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F为垂足．求证：PE＋PF＝AB．8．如图，平行四边形ABCD中，AB: BC＝3:2，∠DAB＝60°，E在AB上，且AE: EB＝1:2，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，求证： 9.在△ABC中，AB＝13，BC＝14．（1）如图1，AD⊥BC于点D，且BD＝5，则△ABC的面积为　          　；（2）在（1）的条件下，如图2，点H是线段AC上任意一点，分别过点A，C作直线BH的垂线，垂足为E，F，设BH＝x，AE＝m，CF＝n，请用含x的代数式表示m＋n，并求m＋n的最大值和最小值．  10．【问题情境】张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为．求证：PD＋PE＝CF． 小军的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD＋PE＝CF．小俊的证明思路是：如图2，过点P作PG⊥CF，垂足为G，可以证得：PD＝GF，PE＝CG，则PD＋PE＝CF．         【变式探究】如图3，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：PD－PE＝CF；请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：      【结论运用】如图4，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD＝8，CF＝3，求PG＋PH的值；    【迁移拓展】图5是一个航模的截面示意图．在四边形ABCD中，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，且AD·CE＝DE·BC，AB＝dm，AD＝3dm，BD＝dm．M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和． 
参考答案1.答案：.2.答案：.3.答案：.【解析】如图所示，过作于，是斜边上一点，且，，，又，．4.答案：.【解析】如图，过点P作PQ⊥AB于点Q，过点Q作QC＋QB，则∵y＝2x－2∴A（0，－2），B（1，0）∵△PQB∽△AOB∴＝∵AB＝＝，PB＝2，OB＝1∴＝∴BQ＝∴PQ＝＝＝＝. 5.答案：.如图作BM⊥AC于M，连接PD．∵∠ABC＝90°，AD＝DC，AB＝6，BC＝3，∴BD＝AD＝DC，AC＝＝，∵·AB·BC＝·AC·BM，∴BM＝，∴＝＋，∴·AD·BM＝·AD·PF＝·BD·PE，∴PE＋PF＝BM＝． 6.答案：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b－a．∵＝＋＝b²＋ab．又∵＝＋＝c²＋a（b－a）∴b²＋ab ＝c²＋a（b－a）∴a²＋b²＝c². 请参照上述证法，利用图2证明：a²＋b²＝c²．【解析】连结BD，过点B作DE边上的高BF，可得BF＝b－a，∵＝＋＋＝ab ＋b²＋ab，又＝＋＋＝ab ＋c²＋a（b－a），∴ab ＋b²＋ab ＝ab ＋c²＋a（b－a），∴a²＋b²＝c². 7.【解析】过P作PG⊥AB于G，交BD于O，∵PF⊥AC，∠A＝90°，∴∠A＝∠AGP＝∠PFA＝90°，∴四边形AGPF是矩形，∴AG＝PF，PG∥AC，∵BD＝DC，∴∠C＝∠GPB＝∠DBP，∴OB＝OP，∵PG⊥AB，PE⊥BD，∴∠BGO＝∠PEO＝90°，在△BGO和△PEO中∴△BGO≌△PEO，∴PE＝BG，∵AB＝BG＋AG，∴PE＋PF＝AB． 8.【解析】连接DE、DF，∵根据三角形的面积和平行四边形的面积得：，即AF×DF＝CE×DQ，∴AF×DP＝CE×DQ，∴. 9.【解析】（1）在Rt△ABD中，AB＝13，BD＝5，∴AD＝＝＝12.∵BC＝14，∴＝BC·AD＝×14×12＝84.故答案为：84．（2）∵＝＋，∴BH·AE＋BH·CF＝84．∴xm＋xn＝168.∴m＋n＝∵AD＝12，DC＝14－5＝9，∴AC＝＝15，∵m＋n与x成反比，∴当BH⊥AC时，m＋n有最大值．∴（m＋n）BH＝AC·BH．∴m＋n＝AC＝15.∵m＋n与x成反比，∴当BH值最大时，m＋n有最小值．∴当点H与点C重合时m＋n有最小值．∴m＋n＝，∴m＋n等于12.∴m＋n的最大值为15，最小值为12．  10.【解析】【问题情境】证明：（小军的方法）连接AP，如图②∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，且＝＋，∴AB·CF＝AB·PD＋AC·PE.∵AB＝AC，∴CF ＝PD＋PE．（小俊的方法）过点P作PG⊥CF，垂足为G，如图②．∵PD⊥AB，CF⊥AB，PG⊥FC，∴∠CFD＝∠FDP＝∠FGP＝90°∴四边形PDFG是矩形．∴DP＝FG，∠DPG＝90°.∴∠CGP＝90°∵PE⊥AC，∴∠CEP＝90°，∴∠PGC＝∠CEP.∵∠BDP＝∠DPG＝90°，∴PG∥AB.∴∠GPC＝∠B.∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∴∠GPC＝∠ECP.在△PGC和△CEP中，∴△PGC≌△CEP.∴CG＝PE.CF＝CG＋FG     ＝PE＋PD【变式探究】证明：连接AP，如图③．∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF＝AB，且＝－，∴AB·CF＝AB·PD－AC·PE.∵AB＝AC，∴CF＝PD－PE.【结论运用】过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，如图④，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠C＝∠ADC＝90°.∵AD＝8，CF＝3，∴BF＝BC－CF＝AD－CF＝5.由折叠可得：DF＝BF，∠BEF＝∠DEF．∴DF＝5.∵∠C＝90°，∴DC＝  ＝  ＝4.∵EQ⊥BC，∠C＝∠ADC＝90°，∴∠EQC＝90°＝∠C＝∠ADC.∴四边形EQCD是矩形.∴EQ＝DC＝4.∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB.∵∠BEF＝∠DEF，∴∠BEF＝∠EFB.∴BE＝BF.由问题情境中的结论可得：PG＋PH＝EQ．∴PG＋PH＝4.∴PG＋PH的值为4.【迁移拓展】延长AD、BC交于点F，作BH⊥AF，垂足为H，如图⑤．∵AD·CE＝DE·BC，∴＝.∵ED⊥AD，EC⊥CB，∴∠ADE＝∠BCE＝90°.∴△ADE∽△BCE.∴∠A＝∠CBE.∴FA＝FB.由问题情境中的结论可得：ED＋EC＝BH．设DH＝xdm，则AH＝AD＋DH＝（3＋x）dm．∵BH⊥AF，∴∠BHA＝90°.∴BH²＝BD²－DH²＝AB²－AH².∵AB＝，AD＝3，BD＝，∴（）²－x²＝（）²－（3＋x）².解得：x＝1．∴BH²＝BD²－DH²＝37－1＝36.∴BH＝6dm.∴ED＋EC＝6.∵∠ADE＝∠BCE＝90°，且M、N分别为AE、BE的中点，∴DM＝AM＝EM＝AE，CN＝BN＝EN＝BE.∴△DEM与△CEN的周长之和    ＝DE＋DM＋EM＋CN＋EN＋EC＝DE＋AE＋BE＋EC＝DE＋AB＋EC＝DE＋EC＋AB＝6＋∴△DEM与△CEN的周长之和为（6＋）dm.