八年级数学 培优竞赛 专题25 配方法 讲义学案

专题25  配方法

例1  10 提示：x=5-y代入，然后配方.

例2  A  提示：原式=

例3  a+b+c=20 提示：将等式整理，得

即=0

例4  原式=+1=++1=4+8+1=4     

例5  已知，这32个人恰好是第2至第33层各住1人，对于每个乘电梯上、的人，他所住的层数一定不小于直接上楼的人所住的层数，事实上，设住S层的人乘电梯，而住t层的人直接上楼，S＜t，交换两人的上楼方式，其余的人不变，则不满意总分减少.

设电梯停在第x层，在第一层有y人没有乘电梯而直接上楼，那么不满意总分为：

  =

  =

  =

  =

又当x=27，y=6时，.

故当电梯停在第27层时，总分最小，最小值为316分.

例6  若为完全平方数，则也是完全平方数.

设（m为自然数）配方得，

∴（m+2n-19）（m-2n+19）=3

于是   解得：

故当n=9或10时是完全平方数.

                     能力训练

1.       2.  0     3.  6    4.      5.  -3，-2, 5      6.  B      7.  C  

8.  A  提示：大于0 .

9.  B  提示：取n=2和3可否定 A、C、D、E，而，，故不是完全平方数.     10.   B

11.  （x，y，z）=（0,0,0）或（1,1,1）   提示：取倒数.

12.  提示：当n<8时，，若它是完全平方数，则n必为偶数.

若n=2，则；若n=4，则；若n=6，则；若n=8，则.所以当n 8时，都不是完全平方数.    

当n>8时，，若它是完全平方数，则为一奇数的平方，设（k为自然数），则，由于k和k+1一奇一偶，∴k=1，于是，故n=11.

13.  提示：设a=kb（k为正整数），则，解得

14.  由，得到2a+b=509k，b=509k-2a，代入原式得，，因为a为质数，故有以下情况：

⑴当k=1时，，为质数，b=509k-2a=7.

⑵当k=2时，a=511-18=493=17×29，不为质数，舍去.

⑶当k>2且k为奇数时，为质数且k>2，则，此方程无整数解，舍去.

⑷当k>2且k为偶数时，为质数，且，则511-9k=1，此方程无整数解，舍去.

综上所述，a=251，b=7.

15.  提示：⑴ y=-9x+1440  （0<x<160）.

⑵每周的住宿收入是S元，则

当x=80时，元.