八年级数学 培优竞赛 专题06 从地平面到脚手架 讲义学案

专题06  从地平面到脚手架

------分式的运算

阅读与思考

分式的主要内容包括分式的概念、分式的基本性质、分式的四则运算、简单的分式方程等．

分式的运算与分数的运算类似，是以整式的变形、因式分解及计算为工具，以分式的基本性质、运算法则和约分为基础．分式的加减运算是分式运算的难点，解决这一难点的关键是根据题目的特点恰当地通分，通分通常有以下策略与技巧：

1．分步通分，步步为营；

2．分组通分，化整为零；

3．减轻负担，先约分再通分；

4．拆项相消后通分；

5．恰当换元后通分，

学习分式时．应注意：

 (1)分式与分数的类比．整数可以看做是分数的特殊情形，但整式却不能看做是分式的特殊情形；

 (2)整式与分式的区别需要讨论字母的取值范围，这是分式区别于整式的关键所在．

分式问题比起整式问题，增加了几个难点；

 (1)从“平房”到“楼房”，在“脚手架”上活动；

 (2)分式的运算中多了通分和约分这两道技术性很强的工序；

 (3)需要考虑字母的取值范围，

例题与求解

【例1】＝_________时，分式的值为0.

（杭州市中考试题）

解题思路：分母不为0时，分式有意义，分子与分母的公因式就不为0．

【例2】  已知，以，，则的值为(     )．

  A.1         B．         C．2          D． 

（太原市竞赛试题）

解题思路：不宜直接通分，运用已知条件，对分母分解因式，分解后再通分.

【例3】计算：

(1)

（武汉市竞赛试题）

 (2)

（天津市竞赛试题）

（3）

（赣州市竞赛试题）

（4）

（漳州市竞赛试题）

解题思路：由于各个分式复杂，因此，必须仔细观察各式中分母的特点，恰当运用通分的相关策略与技巧；对于(4)，注意到题中各式是关于或的代数式，考虑设，，则，通过换元可降低问题的难度．

当一个数学问题不能或不便于从整体上加以解决时，我们可以从局部入手将原题分解。这便是解题的分解策略．解绝对值问题时用的分类、分段讨论；解分式问题时用的分步分组通分、因式分解的分组分解法以及裂项求值等都是分解策略的具体运用.

【例4】求最大的正整数，使得能被＋10整除．

（美国数学邀请赛试题）

解题思路：运用长除法或把两个整式整除的问题转化为一个分式的问题加以解决.

类似于分数，当一个分式的分子的次数高于或等于分母的次数，那么就可以将分式化为整数部分与分式部分的和，分式的这种变形称为拆分变形，是拆项变形的一种．

【例5】已知，，，求的值．

（太原市竞赛试题）

解题思路：设法求出的值．

【例6】(1)设，，均为非零实数，并且，，，则等于多少？                                                             （北京市竞赛试题）

 (2)计算：

（上海市竞赛试题）

解题思路：对于(1)，通过变换题中等式，即可列出方程组，解得，，的值；对于(2)，仔细观察，即可发现其中规律．

A  级

1．要使分式有意义，则的取值范围是________ .

2．代数式的值为整数的全体自然数的和是________ .

（全国初中数学联赛试题）

3．已知为整数，且为整数，则所有符合条件的值的和为________ .

（“希望杯”邀请赛试题）

4．若，则＝ ________ .

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

5．关于分式，下列四种说法中正确的是(  ).

A．含有分母的代数式叫做分式

    B. 分式的分母、分子同乘以（或除以）2＋3，分式的值不变

C．当时．分式的值为

D．分式的最小值为零

（重庆市竞赛试题）

6．已知分式的值为零，则的值为(  ).

   A．±1        B．－l          C．8            D. －l或8

（江苏省竞赛试题）

7. 若取整数，则使分式的值为整数的值有(     )．

   A. 3个       B．4个        C．6个          D．8个

（江苏省竞赛试题）

8．若对于±3以外的一切数均成立，则的值是(     )．

   A. 8          B．－8         C．16           D．－16

9．计算：

(1) ；

(2) ；

(3) ；

(4)

(5)

10．当分别取，，…，，1，2，…，2006，2007，时．求出代数式的值，将所得结果相加求其和.

（全国初中数学联赛试题）

11．已知，求证：

（波兰奥林匹克试题）

12．已知，则的值．

（北京市竞赛试题）

B 级

1．如果使分式有意义的一切的值，都使这个分式的值是一个定值，那么，应满足的条件是__________ .

2．已知，其中A，B，C为常数，则B＝__________ .

（“五羊杯”竞赛试题）

3．设正整数，满足且，则＝__________ .

（“宇振杯”上海市竞赛试题）

4．当＝_______时，分式有最小值，最小值是__________ .

（全国初中数学联赛试题）

5．已知，那么代数式的值是(     )．

    A．5           B．7           C．3              D．

6．已知，满足ab＝1，记，则M，N的关系为(     )．

   A.M＞N        B．M＝N       C．M＜N           D．不确定

（全国初中数学联赛试题）

7．以，，为非零实数，且，若，解等于(    )

   A.8          B．4            C．2              D．1

（天津市竞赛试题）

8．已知有理数，，满足，＜0，那么的值是(     )．

   A.正数        B．零            C．负数             D．不能确定

（“希望杯”邀请赛试题）

9．化简：

(1)

(2)

10. 为自然数，若，则称为1 996的吉祥数，如，4就是1 996的一个吉祥数，试求1 996的所有吉祥数的和．

（北京市竞赛试题）

11.用水清洗蔬菜上残留的农药．设用 (≥1)单位量的水清洗一次后蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为．

现有（≥2）单位的水，可以一次清洗，也可以把水平均分成两份后清洗两次．试问用哪种方法清洗后蔬菜上残留的农药量较少？说明理由．

（孝感市中考试题）

12.已知正整数大于30，且使得整除2002，求的值.