八年级数学竞赛培优专题及答案 04 和差化积----因式分解的方法（2）

这是一份八年级数学竞赛培优专题及答案 04 和差化积----因式分解的方法（2），共8页。
专题04  和差化积----因式分解的方法（2） 阅读与思考    因式分解还经常用到以下两种方法    1．主元法    所谓主元法，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式按降幂排列重新整理成关于这个字母的多项式，使问题获解的一种方法．    2．待定系数法即对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出一个或几个待定的字母系数，把所求问题用式子表示，然后再利用已知条件，确定或消去所设系数，使问题获解的一种方法，用待定系数法解题的一般步骤是：    （1）在已知问题的预定结论时，先假设一个等式，其中含有待定的系数；（2）利用恒等式对应项系数相等的性质，列出含有待定系数的方程组；（3）解方程组，求出待定系数，再代入所设问题的结构中去，得出需求问题的解． 例题与求解    【例l】因式分解后的结果是（  ）．       A．          B．       C．          D．（上海市竞赛题）    解题思路：原式是一个复杂的三元二次多项式，分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母的多项式并按降幂排列，改变原式结构，寻找解题突破口．    【例2】分解因式：    （1）；（“希望杯”邀请赛试题）    （2）．（天津市竞赛题）     解题思路：两个多项式的共同特点是：字母多、次数高，给分解带来一定的困难，不妨考虑用主元法分解．         【例3】分解因式．（“希望杯”邀请赛试题） 解题思路：因的最高次数低于的最高次数，故将原式整理成字母的二次三项式．          【例4】为何值时，多项式有一个因式是（“五羊杯”竞赛试题）解题思路：由于原式本身含有待定系数，因此不能先分解，再求值，只能从待定系数法入手．          【例5】把多项式写成一个多项式的完全平方式.（江西省景德镇市竞赛题）    解题思路：原多项式的最高次项是，因此二次三项式的一般形式为，求出即可．         【例6】如果多项式能分解成两个一次因式，的乘积（为整数），则的值应为多少？（江苏省竞赛试题）    解题思路：由待定系数法得到关于的方程组，通过消元、分解因式解不定方程，求出的值．       能力训练　　　　A　 级1．分解因式：＝___________________________．（“希望杯”邀请赛试题）2．分解因式：＝_______________________（河南省竞赛试题）3．分解因式：＝____________________________．（重庆市竞赛试题）4．多项式的最小值为____________________．（江苏省竞赛试题）5．把多项式分解因式的结果是（  ）   A．           B．   C．           D．6．已知能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数的个数是（   ）．    A．3 个      B．4 个       C．5 个       D．6个7．若被除后余3，则的值为（     ）．    A．2         B．4          C．9          D．10（“CASIO杯”选拔赛试题）8．若，，则的值是（   ）．   A．          B．         C．         D．0                                                              （大连市“育英杯”竞赛试题） 9．分解因式：（1）；（吉林省竞赛试题）（2）；（昆明市竞赛试题）（3）；（天津市竞赛试题） （4）；（四川省联赛试题）（5）（天津市竞赛试题）      10．如果能够分割成两个多项式和的乘积（为整数），那么应为多少？（兰州市竞赛试题）      11．已知代数式能分解为关于的一次式乘积，求的值．（浙江省竞赛试题）       B　级1．若有一个因式是，则＝_______________． （“希望杯”邀请赛试题）2．设可分解为一次与二次因式的乘积，则＝_____________．（“五羊杯”竞赛试题）3．已知是的一个因式，则＝________________________．                                                                （“祖冲之杯”邀请赛试题）4．多项式的一个因式是，则的值为__________．（北京市竞赛试题）5．若有两个因式和，则＝（  ）．    A．8        B．7        C． 15       D．21              E．22（美国犹他州竞赛试题）6．多项式的最小值为（   ）．    A．4       B．5        C．16         D．25（“五羊杯”竞赛试题）7．若（为实数），则M的值一定是（  ）．    A．正数      B．负数      C．零       D．整数       (“CASIO杯”全国初中数学竞赛试题）8．设满足，则＝（  ）  A．（2，2）或（－2，－2）       B．（2，2）或（2，－2）        C．（2，－2）或（－2，2）       D．（－2，－2）或（－2，2）   （“希望杯”邀请赛试题）9．为何值时，多项式能分解成两个一次因式的积？（天津市竞赛试题）    10．证明恒等式：．（北京市竞赛试题）    11．已知整数，使等式对任意的均成立，求的值．（山东省竞赛试题）    12．证明：对任何整数，下列的值都不会等于33．（莫斯科市奥林匹克试题）     专题04   和差化积-------因式分解的方法(2)例1.  A   提示:  将原式重新整理成关于的二次三项式例2. (1)     提示:   原式     (2)    提示:  原式例3.  原式          例4.     提示:     可设原式展开比较对应项系数得解得k＝12．例5　原式＝．例6　设x2－（a＋5）x＋5a－1＝（x＋b）（x＋c）＝x2＋（b＋c）x＋bc．∴①×5＋2得bc＋5（b＋c）＝－26，bc＋5（b＋c）＋25＝－1，（b＋5）（c＋5）＝－1．∴或∴或故a＝5．A级1．（3a＋2b－c）（3a－2b＋c）2．（x＋3y）（x＋2y＋1）3．（x＋y＋1）（x－y＋3）4．－18　　　　　　5．C　　　　　6．D　　　　　　7．D　　　　　　　　8．D9．（1）（2a＋b）（a－b＋c）；（2）（a＋c－2b）2；　（3）（x－2）（x2－x＋a）；　（4）（x－2y＋3）（2x－3y－4）；　（5）（x＋1）（y＋1）（x－1）（y－1）．10．提示：由题意得①×4＋②，得（b＋4）（c＋4）＝－1，推得或故a＝4．11．∵x2－3xy－4y＝（x＋y）（x－　4y），∴可设原式＝（x＋y＋m）（x－4y＋n），展开比较对应项系数得b＝－6或9．B级1．k＝－52．－2　提示：原式＝x（x2＋3x－k）－2y（x＋2），令x＝－2．3．　5提示：令原式＝（x－y＋4）·A，取一组x，y的值代入上式．4．－35．C　提示：x＝－1，x＝－2是方程x3＋ax2＋bx＋8＝0的解．6．C　提示：原式＝（x－2y）2＋（2x＋3）2＋167．A　提示：原式＝2（x－2y）2＋（x－2）2＋（y＋3）2≥0，且这三个数不能同时为零，M＞0．8．C9．k＝－3　提示：因x2＋3x＋2＝（x＋1）（x＋2），故可令原式＝（x＋my＋1）·（x十ny＋2），展开比较对应项系数求出k．10．提示：左边＝（a2＋b2）2－2a2b2＋（a2＋b2＋2ab）2　　　　　　　＝（a2＋b2）2－2a2b2＋（a2＋b2）2＋4ab（a2＋b2）＋4a2b2　　　　　　　＝2（a2＋b2）＋4ab（a2＋b2）＋2a2b2＝2（a2＋b2＋ab）2　　　　　　　＝右边．11．将原等式展开x2＋（a＋b＋c）x＋ab－l0c＝x2－10x－11．∴①×10＋②得ab＋10a＋10b＝－111．∴（a＋10）（b＋10）＝－11．∴或或或∴或或或代入①得c＝0或20．12．原式＝（x5＋3x4y）－（5x3y＋15x2y3）＋（4xy4＋12y5）＝x4（x＋3y）－5x2y2（x＋3y）　＋4y4（x＋3y）＝（x＋3y）（x4－5x2y2＋4y2）＝（x＋3y）（x2－4y2）＝（x＋3y）（x＋y）　（x－y）（x＋2y）（x－2y）．　　当y＝0时，原式＝x5≠33;当y≠0时，x＋3y，x－y，x－2y，x＋2y，x＋y互不相同，而33不可能分解为4个以上不同因数的积，所以，当x取任意整数，y取不为0的任意整数，原式≠33．