初中数学沪教版 (五四制)七年级下册第十五章 平面直角坐标系综合与测试课后练习题

七年级数学第二学期第十五章平面直角坐标系章节测评

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、已知点M(2，﹣3)，点N与点M关于x轴对称，则点N的坐标是（　　）

A．(﹣2，3) B．(﹣2，﹣3) C．(3，2) D．(2，3)

2、平面直角坐标系中，将点A（，）沿着x的正方向向右平移（）个单位后得到B点，则下列结论：①B点的坐标为（，）；②线段AB的长为3个单位长度；③线段AB所在的直线与x轴平行；④点M（，）可能在线段AB上；⑤点N（，）一定在线段AB上．其中正确的结论有（    ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

3、一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向跳动［即（0，0）→（0，1）→（1，1） →（1，0）→ … ］，且每秒跳动一个单位，那么第25秒时跳蚤所在位置的坐标是（      ）

A．（4，0） B．（5，0） C．（0，5） D．（5，5）

4、如图，在平面直角坐标系上有点A(1，0)，点A第一次跳动至点A1(﹣1，1)，第四次向右跳动5 个单位至点A4(3，2)，…，依此规律跳动下去，点A第2020次跳动至点A2020的坐标是（    ）

A．(﹣2020，1010) B．(﹣1011，1010) C．(1011，1010) D．(2020，1010)

5、如图，矩形ABCD的边BC在x轴上，点A在第二象限，点D在第一象限，AB＝ ，OD＝4，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，使点D落在x轴的正半轴上，则点C对应点的坐标是（   ）

A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）

6、在平面直角坐标系中，点P（﹣2，﹣3）在（　 　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

7、△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，将其绕点P顺时针旋转得到△A'B'C′，则点P的坐标是（　　）

A．（4，5） B．（4，4） C．（3，5） D．（3，4）

8、在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

9、在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，3），若AB∥x轴，且AB＝5，当点B在第二象限时，点B的坐标是（　　）

A．（﹣9，3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（1，3）

10、如果点P（m，n）是第三象限内的点，则点Q（-n，0）在（    ）

A．x轴正半轴上 B．x轴负半轴上 C．y轴正半轴上 D．y轴负半轴上

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、已知点A（a，1）与点B（3，b）关于x轴对称，则a＋b＝_______．

2、已知点M坐标为，点M到x轴距离为______．

3、在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点的坐标是________．

4、在平面直角坐标系中，与点(2，-7)关于y轴对称的点的坐标为____．

5、在平面直角坐标系中，点A(-2,4)与点关于轴对称，则点的坐标为________.

三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）

1、在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为．

（1）关于y轴的对称图形为画出，（点A与点对应，点B与点对应，点C与点对应）；

（2）连接，在的下方画出以为底的等腰直角，并直接写出点P的坐标．

2、如图是某地火车站及周围的简单平面图．（图中每个小正方形的边长代表1千米）

（1）请以火车站所在的位置为坐标原点，以图中小正方形的边长为单位长度，建立平面直角坐标系，并写出体育场A、超市B、市场C、文化宫D的坐标；

（2）在（1）中所建的坐标平面内，若学校E的位置是（﹣3，﹣3），请在图中标出学校E的位置．

3、如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，4)，B(4，4)，C(2，1)．

（1）请在图中画出ABC；

（2）将ABC向左平移5个单位，再沿x轴翻折得到A1B1C1，请在图中画出A1B1C1；

（3）若ABC 内有一点P(a，b)，则点P经上述平移、翻折后得到的点P1的坐是        ．

4、（1）如图①所示，图中的两个三角形关于某点对称，请找出它们的对称中心O．

（2）如图②所示，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，﹣1），B（1，1），C（3，﹣2）．将△ABC绕原点O旋转180°得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并写出点A1的坐标．

5、已知：如图，在平面直角坐标系中．

（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1三个顶点的坐标：A1（　   　），B1（　   　），C1（　   　）；

（2）直接写出△ABC的面积为　   　；

（3）在x轴上画点P，使PA+PC最小．

6、如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，3）、B（﹣3，1）、C（1，3）．

（1）请按下列要求画图：

①将△ABC先向右平移4个单位长度、再向上平移2个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；

②△A2B2C2与△ABC关于原点O成中心对称，画出△A2B2C2．

（2）在（1）中所得的△A1B1C1和△A2B2C2关于点M成中心对称，请写出对称中心M点的坐标 　   　．

7、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，0），B（﹣4，1），C（﹣2，2）．

（1）直接写出点B关于原点对称的点B′的坐标：　     ；

（2）平移△ABC，使平移后点A的对应点A1的坐标为（2，1），请画出平移后的△A1B1C1；

（3）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2．

8、如图1所示，已知点，有以点为顶点的直角的两边分别与轴、轴相交于点．

（1）试说明；

（2）若点坐标为，点坐标为，请直接写出与之间的数量关系；

（3）如图2所示，过点作线段，交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，使得点为中点，且，绕着顶点旋转直角，使得一边交轴正半轴于点，另一边交轴正半轴于点，此时，和是否还相等，请说明理由；

（4）在（3）条件下，请直接写出的值．

9、如图，在直角坐标系中按要求作图，所画图形的顶点必须与每个小正方形的顶点重合．

（1）画出一个面积等于9的等腰直角三角形ABC，使△ABC的三个顶点在坐标轴上，且△ABC关于y轴对称，其中点A的坐标为(0，3)；（点B在点C的左侧）

（2）将△ABC向下平移3个单位，再向右平移1个单位得到△A1B1C1（点A、B、C的对应点分别为点A1、B1、C1），画出△A1B1C1，并直接写出A1C的长．

10、在平面直角坐标系中，的顶点，，的坐标分别为，，．与关于轴对称，点，，的对应点分别为，，．请在图中作出，并写出点，，的坐标．

-参考答案-

一、单选题

1、D

【分析】

根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可直接得到答案．

【详解】

∵点M（2，﹣3），点N与点M关于x轴对称，

∴点N的坐标是（2，3），

故选：D．

【点睛】

本题考查了坐标轴中轴对称变化，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．

2、B

【分析】

根据平移的方式确定平移的坐标即可求得B点的坐标，进而判断①，根据平移的性质即可求得的长，进而判断②，根据平移的性质可得线段AB所在的直线与x轴平行，即可判断③，根据纵坐标的特点即可判断④⑤

【详解】

解：∵点A（，）沿着x的正方向向右平移（）个单位后得到B点，

∴B点的坐标为（，）；

故①正确；

则线段AB的长为；

故②不正确；

∵A（，），B（，）；纵坐标相等，即点A，B到x轴的距离相等

∴线段AB所在的直线与x轴平行；

故③正确

若点M（，）在线段AB上；

则，即，不存在实数

故点M（，）不在线段AB上；

故④不正确

同理点N（，）在线段AB上；

故⑤正确

综上所述，正确的有①③⑤，共3个

故选B

【点睛】

本题考查了平移的性质，平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，掌握平移的性质是解题的关键．

3、C

【分析】

根据题意，找出其运动规律，质点每秒移动一个单位，质点到达(1，0)时，共用3秒；质点到达(2，0)时，共用4秒；质点到达(0，2)时，共用4+4=8秒；质点到达(0，3)时，共用9秒；质点到达(3，0)时，共用9+6=15秒；以此类推， 即可得出答案．

【详解】

解：由题意可知，质点每秒移动一个单位

质点到达(1，0)时，共用3秒；

质点到达(2，0)时，共用4秒；

质点到达(0，2)时，共用4+4=8秒；

质点到达(0，3)时，共用9秒；

质点到达(3，0)时，共用9+6=15秒；

以此类推，质点到达(4，0)时，共用16秒；

质点到达(0，4)时，共用16+8=24秒；

质点到达(0，5)时，共用25秒；

故选：C．

【点睛】

本题考查图形变化与运动规律，根据所给质点运动的特点能够正确确定点运动的顺序，确定运动的距离，从而可以得到到达每个点所用的时间．找出规律是解题的关键．

4、C

【分析】

根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半，然后写出即可．

【详解】

解：观察发现，第2次跳动至点的坐标是（2，1），

第4次跳动至点的坐标是（3，2），

第6次跳动至点的坐标是（4，3），

第8次跳动至点的坐标是（5，4），

…

∴第2n次跳动至点的坐标是（n+1，n），

∴第2020次跳动至点的坐标是（1010+1，1010）即（1011，1010）．

故选C．

【点睛】

本题考查了坐标与图形的性质，以及图形的变化问题，结合图形得到偶数次跳动的点的横坐标与纵坐标的变化情况是解题的关键．

5、B

【分析】

由矩形可知AB=CD=，再由勾股定理可知OC=2，则C点坐标为（2，0），D点坐标为（2，），旋转后D’点坐标为（4，0），则C’点坐标为（1，）．

【详解】

∵四边形ABCD为矩形

∴AB=CD=，∠DOC=60°

在中有

则C点坐标为（2，0），D点坐标为（2，）

又∵旋转后D点落在x轴的正半轴上

∴可看作矩形ABCD中绕点O顺时针旋转了60°得到

如图所示，过C’作y轴平行线交x轴于点M

其中∠DOC=∠D’OC’=60°，∠OMC’=90°，OC=OC’=2

∴OM==1，MC’==

∴C’坐标为（1，）．

故选：B．

【点睛】

本题考查了旋转的性质，得出矩形ABCD绕点O顺时针旋转了60°是解题的关键．

6、C

【分析】

根据第三象限内点的坐标横纵坐标都为负的直接可以判断

【详解】

解：在平面直角坐标系中，点P（﹣2，﹣3）在第三象限

故选C

【点睛】

本题考查了平面直角坐标系中各象限内的点的坐标特征，理解各象限内点的坐标特征是解题的关键．平面直角坐标系中各象限点的坐标特点：①第一象限的点：横坐标>0，纵坐标>0；②第二象限的点：横坐标<0，纵坐标>0；③第三象限的点：横坐标<0，纵坐标<0；④第四象限的点：横坐标>0，纵坐标<0．

7、B

【分析】

对应点的连线段的垂直平分线的交点，即为所求．

【详解】

解：如图，点即为所求，，

故选：B．

【点睛】

本题考查坐标与图形变化旋转，解题的关键是理解对应点的连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．

8、B

【分析】

根据点（x，y）关于原点对称的点的坐标为（﹣x，﹣y）可求得m、n值，再根据象限内点的坐标的符号特征即可解答．

【详解】

解：∵点与关于原点对称，

∴m=-2，m-n=﹣3，

∴n=1，

∴点M(-2，1)在第二象限，

故选：B．

【点睛】

本题考查平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标、点所在的象限，熟知关于原点对称的点的坐标特征是解答的关键．

9、A

【分析】

根据平行及线段长度、点B在第二象限，可判断点B一定在点A的左侧，且两个点纵坐标相同，再由线段长即可确定点B的坐标．

【详解】

解：∵轴，且，点B在第二象限，

∴点B一定在点A的左侧，且两个点纵坐标相同，

∴，即，

故选：A．

【点睛】

题目主要考查坐标系中点的坐标，理解题意，掌握坐标系中点的特征是解题关键．

10、A

【分析】

根据平面直角坐标系中象限的坐标特征可直接进行求解．

【详解】

解：∵点P（m，n）是第三象限内的点，

∴n＜0，

∴-n＞0，

∴点Q（-n，0）在x轴正半轴上；

故选A．

【点睛】

本题主要考查平面直角坐标系中象限的坐标，熟练掌握在第一象限的点坐标为（+，+）；在第二象限的点坐标为（-，+），在第三象限的点坐标为（-，-），在第四象限的点坐标为（+，-）是解题的关键．

二、填空题

1、2

【分析】

根据两点关于x轴对称得到a＝3，b＝－1，代入计算即可．

【详解】

解：∵点A（a，1）与点B（3，b）关于x轴对称，

∴a＝3，b＝－1，

∴a＋b＝2．

故答案为：2．

【点睛】

此题考查了轴对称的性质—关于x轴对称：关于x轴对称的两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，熟记性质是解题关键．

2、7

【分析】

根据点（x，y）到x轴的距离等于｜y｜求解即可．

【详解】

解：点M 到x轴距离为｜－7｜=7，

故答案为：7．

【点睛】

本题考查点到坐标轴的距离，熟知点到坐标轴的距离与点的坐标的关系是解答的关键．

3、（-3，-1）

【分析】

由题意直接根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反进行分析即可得出答案.

【详解】

解：在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点的坐标是（-3，-1）.

故答案为：（-3，-1）.

【点睛】

本题考查的是关于原点的对称的点的坐标，注意掌握平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．

4、（-2，-7）

【分析】

根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答即可．

【详解】

解：点（2，-7）关于y轴对称的点的坐标是（-2，-7）．

故答案为：（-2，-7）．

【点睛】

解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．

5、．

【分析】

根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答即可．

【详解】

解：点关于轴对称点的坐标为．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．

三、解答题

1、（1）作图见解析；（2）作图见解析，

【分析】

（1）分别求出A，B，C关于y轴对称的点，连接即可；

（2）根据轴对称的性质计算即可；

【详解】

（1）由题可知，A，B，C关于y轴对称的点为，，，作图如下；

（2）根据题意可得：，设与y轴交于点M，则是等腰直角三角形，

∴，

∴；

【点睛】

本题主要考查了轴对称的性质应用和等腰直角三角形的性质，准确作图计算是解题的关键．

2、（1）见解析，体育场A的坐标为（﹣4，3）、超市B的坐标为（0，4）、市场C的坐标为（4，3）、文化宫D的坐标为（2，﹣3）；（2）见解析

【分析】

（1）以火车站所在的位置为坐标原点，建立平面直角坐标系，即可表示出体育场A、超市B市场C、文化宫D的坐标．

（2）根据点的坐标的意义描出点E．

【详解】

解：（1）平面直角坐标系如图所示，体育场A的坐标为（﹣4，3）、超市B的坐标为（0，4）、市场C的坐标为（4，3）、文化宫D的坐标为（2，﹣3）．

（2）如图，点E即为所求．

【点睛】

本题考查了坐标确定位置，主要是对平面直角坐标系的定义和点的坐标的写法的考查，是基础题．

3、（1）见解析；（2）见解析；（3）(a－5，－b)

【分析】

（1）结合直角坐标系，可找到三点的位置，顺次连接即可得出△ABC．

（2）将各点分别向左平移5个单位长度，再作出关于x轴的对称点，顺次连接即可得到A1B1C1；

（3）根据点的坐标平移规律可得结论．

【详解】

解：（1）如图，ABC即为所画．

（2）如图，A1B1C1即为所画．

（3）点P(a，b)向左平移5个单位后的坐标为（a－5，b），关于x轴对称手点的坐标为(a－5，－b)．   

故答案为：(a－5，－b)

【点睛】

此题考查了平移作图、轴对称变换以及直角坐标系的知识，解答本题的关键是掌握平移和轴对称的特点，找到各点在直角坐标系的位置．

4、（1）见解析；（2）画图见解析，点A1的坐标为（-4，1）．

【分析】

（1）根据对称中心的性质可得对应点连线的交点即为对称中心；

（2）根据题意作出A，B，C绕原点O旋转180°得到的点A1，B1，C1，然后顺次连接A1，B1，C1即可，根据点A1的在平面直角坐标系中的位置即可求得坐标．

【详解】

（1）如图所示，点O即为要求作的对称中心．

（2）如图所示，△A1B1C1即为要求作的三角形，

由点A1的在平面直角坐标系中的位置可得，

点A1的坐标为（-4，1）．

【点睛】

此题考查了平面直角坐标系中的几何旋转作图，中心对称的性质，解题的关键是熟练掌握中心对称的性质．

5、（1）作图见解析，（0，﹣2），（﹣2，﹣4），（﹣4，﹣1）；（2）5；（3）见解析

【分析】

（1）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；

（2）直接利用△ABC所在长方形面积减去周围三角形面积进而得出答案；

（3）先确定A关于轴的对称点，再连接交轴于则此时满足要求．

【详解】

解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求，

A1（0，﹣2），B1（﹣2，﹣4），C1（﹣4，﹣1）；

故答案为：（0，﹣2），（﹣2，﹣4），（﹣4，﹣1）；

（2）△ABC的面积为：12﹣×1×4﹣×2×2﹣×2×3＝5；

故答案为：5；

（3）如图所示：点P即为所求．

【点睛】

本题考查的是轴对称的作图，坐标与图形，掌握“利用轴对称确定线段和取最小值时点的位置”是解本题的关键.

6、（1）①见解析；②见解析；（2）M（2，1）

【分析】

（1）①利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；

②利用中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可；

（3）对应点连线的交点M即为所求．

【详解】

解：（1）①如图，△A1B1C1即为所求；

②如图，△A2B2C2即为所求；

（2）如图，点M即为所求，M（2，1），

故答案为：（2，1）．

【点睛】

本题考查作图−旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型．

7、（1）（4，﹣1）；（2）见解析；（3）见解析．

【分析】

（1）根据关于原点对称的两点的横纵坐标均与原来点的横纵坐标互为相反数，据此可得答案；

（2）将三个点分别向右平移3个单位、再向上平移1个单位，继而首尾顺次连接即可；

（3）将三个点分别绕原点O逆时针旋转90°后得到对应点，再首尾顺次连接即可．

【详解】

（1）点B关于原点对称的点B′的坐标为（4，﹣1），

故答案为：（4，﹣1）；

（2）如图所示，△A1B1C1即为所求．

（3）如图所示，△A2B2C2即为所求．

【点睛】

本题主要考查作图—平移变换、旋转变换，解题的关键是掌握平移变换和旋转变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．

8、（1）见解析；（2）；（3）相等，见解析；（4）9

【分析】

（1）过点作轴于点，轴于点，证明即可得到结论；

（2），由可得结论；

（3）连接OP，根据题意可得，，从而得，再证明S可得，进一步可得结论；

（4）过点P作PQ⊥y轴，得PQ=OQ=3，根据题意可得，故BQ=3，从而可求出，由（3）得，从而可得

【详解】

解：（1）过点作轴于点，轴于点，

∵点坐标为

∴

又∵

∴

∵

∴

∴

（2）由（1）知

∴

∵点坐标为，点坐标为，且

∴

∴

∴

（3）相等，

理由：连接，如图，

∵，且，为中点

∴，

∴

∵

∴

又∵

∴

在和中

∴

∴

（4）由（3）知

∴

过点P作PQ⊥y轴于点Q，

∵P（3，-3）

∴PQ=OQ=3

∵

∴

∴

∴

∴

∴=9

【点睛】

本题主要考查了坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，找出判定三角形全等的条件是解答本题的关键

9、（1）见解析；（2）画图见解析，A1C的长为4．

【详解】

解：（1）如图，△ABC即为所求．

∵AO=BO=CO=3，且AO⊥BC，

∴∠BAO=∠CAO=45°，△ABC的面积=BCAO=9，

∴∠BAC=90°，且△ABC关于y轴对称；

（2）如图，△A1B1C1即为所求．

如图，A1C的长为4．

【点睛】

本题考查了根据平移变换作图以及等腰直角三角形的判定和性质，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，然后顺次连接．

10、作图见解析，点，点，点

【分析】

分别作出A，B，C的对应点，，即可．

【详解】

解： 如图所示．

点，点，点．

【点睛】

本题考查了作图-轴对称变换，直角坐标系中表示点的坐标，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．