人教A版 (2019)必修 第二册6.1 平面向量的概念优秀随堂练习题

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6.1平面向量的概念
拓展练习

1. （2021·天河模拟）已知 AB=(2,3).AC=(3,t),|BC|=1 ，则 AC⋅BC= （    ）
A. -3                                          B. -2                                          C. 2                                          D. 3
【答案】 D
【考点】向量的模，向量加减混合运算及其几何意义，平面向量的坐标运算
【解析】因为 AB=(2,3),AC=(3,t) .
所以 BC=AC−AB=(1,t−3) , |BC|=12+(t−3)2=1⇒t=3 ，即 BC=(1,0) ,
所以 AC⋅BC=3×1+3×0=3 .
故答案为：D
【分析】由向量加、减法的坐标公式以及向量模的坐标公式，再结合数量积的坐标公式代入数值计算出结果即可。
2. （2021高一下·滨海新月考）平面向量 a 与 b 的夹角为60°， a ＝(2，0)，| b |＝1，则 |a+2b| 等于（   ）
A. 3                                        B. 2 3                                        C. 4                                        D. 12
【答案】 B
【考点】向量的模，平面向量数量积的运算
【解析】因为 a=(2,0),|b|=1
所以 |a|=2,a⋅b=2×1×cos60°=1
所以 |a+2b|=a2+4a⋅b+4b2=23
故答案为：B.
【分析】由数量积的运算公式以及向量模的定义计算出结果即可。
3. （2021高一下·宣城期末）已知点 A(1,3),B(4,−1) ，则与 AB 方向相同的单位向量是（    ）
A.(35,−45)
B.(−35,−45)
C.(45,−35)
D.(−45,35)
【答案】 A
【考点】向量的模，单位向量，平行向量与共线向量
【解析】由 A(1,3) ， B(4,−1) 得 AB=(3,−4) ，所以，与向量 AB 方向相同的单位向量是 AB|AB|=15(3,−4)=(35,−45) .
故答案为：A.
【分析】 由条件求得AB=(3,−4) ，AB=5 ， 再根据与向量 AB 方向相同的单位向量是 AB→|AB→| 求得结果.
4. （2021·河北模拟）在菱形 ABCD 中， AB=1,∠BAD=60° ，设 AB=a,BC=b,CD=c,DA=d ，则 a⋅b+b⋅c+a⋅d+a⋅c= （    ）
A. −1                                      B. −32                                      C. −12                                      D. 0
【答案】 B
【考点】平行向量与共线向量，平面向量数量积的运算
【解析】如图，

由于在菱形 ABCD 中， AB=1,∠BAD=60° ，
所以 ==60° ， ==120° , ==120° ， ==180° ，且 |a|=|b|=|c|=|d|=1 ；
所以 a⋅b=|a|⋅|b|cos1×1×12=12 ； b⋅c=|b|⋅|c|cos〈b,c〉=1×1×(−12)=−12 ； a⋅d=|a|⋅|d|cos〈a,d〉=1×1×(−12)=−12 ； a⋅c=|a|⋅|c|cos〈a,c〉=1×1×(−1)=−1 .
所以 a⋅b+b⋅c+a⋅d+a⋅c=12−12−12−1=−32 .
故答案为：B.
【分析】先由四边形是菱形， AB=1,∠BAD=60° ， 求出各向量的夹角，再根据向量的数量积求结果。
5. （2021·攀枝花模拟）已知向量 a ， b 满足 a=(4,0) ， b=(x,3) ，且 |a|=a⋅b ，则 a ， b 的夹角大小为（    ）．
A. π6                                          B. π4                                          C. π3                                          D. π2
【答案】 C
【考点】向量的模，数量积的坐标表达式，数量积表示两个向量的夹角
【解析】由题意，向量 a ， b 满足 a=(4,0) ， b=(x,3) ，
因为 |a|=a⋅b ，可得 4x=4 ，解得 x=1 ，
设 a ， b 的夹角大小为 θ ，所以 cosθ=a⋅b|a||b|=44×2=12 ，
因为 θ∈[0,π] ，所以 θ=π3 ．
故答案为：C.
【分析】首先根据题意由数量积的坐标公式代入数值计算出x的值，再由夹角的数量积公式代入数值计算出结果即可。
6. （2021高三上·桂林月考）已知向量 a=(cosθ,sinθ) ， θ∈[0,π] ， b=(3,−1) .若 |2a−b| A. [4,+∞)                              B. (4,+∞)                              C. (2,+∞)                              D. (4,10)
【答案】 B
【考点】不等式的综合，向量的模，平面向量数量积的运算，余弦函数的单调性
【解析】由已知 |a|=1 ， |b|=2
∴|2a−b|=4a2−4a⋅b+b2=8−4(3cosθ−sinθ) =8−8cos(θ+π6) ，
由 θ∈[0,π] ，得 θ+π6∈[π6,7π6] ，得 cos(θ+π6)∈[−1,32] ，
故 |2a−b| 的最大值为 8+8=4 ，
所以 m>4 .
故答案为：B.
【分析】首先由向量以及数量积的运算性质整理化简得出|2a→−b→|=8−8cos(θ+π6) ， 结合角的取值范围，由余弦函数的单调性即可得到cos(θ+π6)∈[−1,32] ， 从而求出|2a−b|的最大值，由此即可得出m的取值范围。
7. （2021高三上·赤峰月考）给定两个不共线的空间向量 a 与 b ，定义叉乘运算： a×b 规定：① a×b 为同时与 a,b 垂直的向量；② a,b ， a×b 三个向量构成右手系(如图1)；③ |a×b|=|a||b|sin〈a,b〉 如图2，在长方体中 ABCD−A1B1C1D1 ， AB=AD=2,AA1=4 ，则下列结论错误的是（    ）

A. AB×AD=AA1                                 B. 长方体 ABCD−A1B1C1D1 的体积 V=(AB×AD)⋅CC1
C. AB×AD=AD×AB                         D. (AB+AD)×AA1=AB×AA1+AD×AA1
【答案】 C
【考点】向量的物理背景与概念，棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】对于A： AA1 同时与 AB ， AD 垂直； AA1 ， AB ， AD 三个向量构成右手系，
且 |AB×AD|=|AB||AD|sin〈AB,AD〉=2×2×sin90∘=4 ， |AA1|=4 ，
所以 |AB×AD|=|AA1| ，故 AB×AD=AA1 ，所以选项A正确；
对于B：长方体 ABCD−A1B1C1D1 的体积为 2×2×4=16 ，
又因为 (AB×AD)⋅CC1=AA1⋅CC1=|AA1|2=16 ，所以长方体 ABCD−A1B1C1D1 的体积 V=(AB×AD)⋅CC1 ，故选项B正确；
对于C：根据定义可得： AB×AD=AA1 ， AD×AB=−AA1 ，所以 AB×AD≠AD×AB ，故选项C不正确；
对于D：因为 |(AB+AD)×AA1|=|AC×AA1|=22×4×sin90∘=82 ，且 AC×AA1 与 DB 同向共线， |AB×AA1|=2×4×sin90∘=8 ，且 AB×AA1 与 DA 同向共线，又因为 AD×AA1 与 DC 同向共线，所以 |AB×AA1+AD×AA1|=82 ，且 AB×AA1+AD×AA1 与 DB 同向共线，故选项D正确；
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合叉乘运算和叉乘运算的性质，再结合长方体的体积公式，从而找出结论错误的选项。
8. （2021高二上·浙江开学考）婆罗摩芨多是公元7世纪的古印度伟大数学家，曾研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类四边形称为婆罗摩芨四边形．如图，已知圆O内接四边形ABCD中，对角线 AC⊥BD 于点P ， 过点P的直线EF分别交一组对边AB ， CD于点E ， F ， 且 CF=FD ，则① PE⋅AB=0 ；② |AB|=2|OF| ；③ PA2+PB2+PC2+PD2 为定值；④ AB⋅CD+AD⋅BC=0 ，以上结论正确的个数是（    ）

A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4
【答案】 D
【考点】向量的模，向量的线性运算性质及几何意义，平面向量数量积的运算
【解析】解：对于①：因为 AC⊥BD ， CF=FD ，所以点F是CD的中点，且有PF=CF=FD ， 所以 ∠PDF=∠DPF=∠EPB ，
又 ∠ABD=∠ACD ， ∠PDC+∠PCD=90∘ ，所以 ∠EPB+∠ABP=90∘ ，所以 PE⊥AB ，所以 PE⋅AB=0 ，故①正确；
对于②：连接CO并延长交圆O于G ， 连接GD ， 则 GD⊥CD ，又 OF⊥CD ，所以 OF//GD ，且 GD=2OF ，

又 ∠GCD+∠CGD=90∘ ， ∠DAP+∠ADP=90∘ ， ∠DAP=∠CGD ，所以 ∠ADB=∠GCD ，
所以 AB=GD ，所以 AB=2OF ，即 |AB|=2|OF| ，故②正确；
对于③： PA2+PB2+PC2+PD2=|AB|2+|CD|2=|GD|2+|CD|2=|CG|2 ，CG为圆的直径，所以 PA2+PB2+PC2+PD2 为定值，故③正确；
对于④： AB⋅CD+AD⋅BC
=(PB−PA)⋅(PD−PC)+(PD−PA)⋅(PC−PB)
=PB⋅PD−PB⋅PC−PA⋅PD+PA⋅PC+PD⋅PC−PD⋅PB−PA⋅PC+PA⋅PB ，
又 AC⊥BD ，所以 PB⋅PC=0,PA⋅PD=0,PD⋅PC=0,PA⋅PB=0 ，
所以 AB⋅CD+AD⋅BC=0 ，故④正确，
所以正确的命题的个数是4个，
故答案为：D.
【分析】 对于①：根据圆的性质可得∠EPB+∠ABP=90∘ ， 由此可判断；对于 ②：根据平面几何知识可得GD=20F，AB=GD，由此可判断；对于③：由勾股定理可判断；
对于④：根据向量的线性运算和向量数量积运用可判断.，由此即可得出答案。
9. （2021高一下·齐齐哈尔期中）若 a，b 均为非零向量，则“ a·b=|a||b| ”是“ a 与 b 共线”的（    ）
A. 充分不必要条件           B. 必要不充分条件           C. 充分必要条件           D. 既不充分也不必要条件
【答案】 A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，平行向量与共线向量，平面向量数量积的性质及其运算律
【解析】解：当a→·b→=a→·b→ ， 又a→·b→=a→·b→·cosθ ， 所以cosθ=1，则θ=0°，故a→，b→共线且同向，所以充分性成立；
当a→，b→共线但反向时，a→·b→=−a→·b→ ， 所以必要性不成立，所以A正确.
故答案为：A
【分析】根据充要条件的定义，结合向量的数量积及共线向量的定义求解即可
10. （2021高二上·洮南月考）以下命题中，不正确的个数为（    ）
①“ |a|−|b|=|a+b| ”是“ a ， b 共线”的充要条件；②若 a//b ，则存在唯一的实数 λ ，使得 a=λb ；③若 a⋅b=0 ， b⋅c=0 ，则 a=c ；④若 {a,b,c} 为空间的一个基底，则 {a+b,b+c,c+a} 构成空间的另一个基底；⑤ |(a⋅b)⋅c|=|a|⋅|b|⋅|c| .
A. 2                                           B. 3                                           C. 4                                           D. 5
【答案】 C
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，零向量，向量的共线定理，平面向量数量积的运算，数量积判断两个平面向量的垂直关系，反证法的应用
【解析】解：对于①，a→，b→同向时， |a→|−|b→|≠|a→+b→| ，只满足充分性，不满足必要性，故①错;
对于②:当a→为零向量时，λ不唯一，故②错误;
对于③: 若 a⋅b=0  ，  b⋅c=0  ， 则 a→,c→均与b→垂直  ，故③错误;
对于④:(反证法)若 {a+b,b+c,c+a}  不构成空间的一个基底，
不妨设a→+b→=xb→+c→+1−xc→+a→⇒c→=xa→+1−xb→ ， 即a→，b→，c→共面，矛盾，故  {a+b,b+c,c+a} 构成空间的另一个基底 ，故④正确;
对于⑤: |(a→⋅b→)⋅c→|=|a→|⋅|b→|⋅cos·|c→|≤|a→|⋅|b→|⋅|c→|  ，故⑤错误.
故选:C
【分析】根据向量的共线定理，结合充要条件可判断①，利用零向量可判断②，根据向量垂直的判定定理可判断③，运用反证法，结合向量的共线定理可判断④，根据向量的数量积可判断⑤.
11. （2021高一下·济南期中）已知平面内一点P及△ABC，若 PA+PB+PC=BC ，则P与△ABC的位置关系是（    ）
A. P在△ABC外部                  B. P在线段AB上                  C. P在线段AC上                  D. P在线段BC上
【答案】 B
【考点】平行向量与共线向量，向量加减混合运算及其几何意义
【解析】因为 PA+PB+PC=BC=PC−PB ，
所以 PA=−2PB
所以点P在线段AB上
故答案为：B
【分析】将已知的等式变形因为  ， PA=−2PB ， 表明P在线段AB上。
12. （2021高一下·沈阳期末）在等腰梯形 ABCD 中， AB//DC,AB=2BC=2CD=2,P 是腰 AD 上的动点，则 |2PB−PC| 的最小值为（    ）
A.7
B.3
C.332
D.274
【答案】 C
【考点】向量的模，平面向量的坐标运算
【解析】解：如图，以 A 为原点，射线 AB 为 x 轴正半轴建立直角坐标系，则由题意可得 B(2,0),C(32,32) ，设 P(a,3a) ，其 0≤a≤12 ，

则 PB=(2−a,−3a),PC=(32−a,32−3a) ，
所以 2PB−PC=(52−a,−32−3a) ，
所以 |2PB−PC|=(52−a)2+(−32−3a)2
=4a2−2a+7
=4(a−14)2+274 ，
所以当 a=14 时， |2PB−PC| 取最小值 332 ，
故答案为：C
【分析】 根据题意，建立坐标系,表示出B、C、P的坐标，求出2PB→−PC→ 的坐标，进而可得 |2PB−PC|的表达式，由向量模的计算公式分析可得答案.
13. （2021·株洲模拟）已知向量 a ， b 满足 |a|=1 ， b=(−2,1) ，且 |a−b|=2 ，则 a⋅b= （    ）
A. -1                                           B. 0                                           C. 1                                           D. 2
【答案】 C
【考点】向量的模，平面向量数量积的运算
【解析】因为 b=(−2,1) ，所以 |b|=4+1=5 ，
将 |a−b|=2 两边同时平方可得： (a−b)2=4 ，
即 a2+b2−2a⋅b=4 ， |a|2+|b|2−2a⋅b=4
所以 1+5−2a⋅b=4 ，解得 a⋅b=1 ，
故答案为：C
【分析】 通过向量的模的运算法则，转化求解向量的数量积即可．
14. （2021高一下·长春期末）已知 a,b,c 是三个平面向量，则下列叙述正确的是（    ）
A. 若 |a|=|b| ，则 a=±b                                    B. 若 a⋅b=a⋅c ，且 a≠0 ，则 b=c
C. 若 a//b,b//c ，则 a//c                           D. 若 a⊥b ，则 |a+b|=|a−b|
【答案】 D
【考点】向量的模，零向量，平行向量与共线向量，相等向量与相反向量，数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】解：对于A，若a→=1,2,b→=2,1时，显然满足a→=b→ ， 但 a→≠±b→ ， 故A错误；
对于B，当a→⊥b→，a→⊥c→时，显然满足 a⋅b=a⋅c  ， 且 a≠0  ， 但 b=c 不一定成立，故B错误；
对于C，当b→=0→时，显然满足 a//b,b//c  ， 当 a//c 不一定成立，故C错误；
对于D，当a→⊥b→时，a→·b→=0则a→+b→=a→+b→2=a→2+b→2,a→−b→=a→−b→2=a→2+b→2,显然 |a+b|=|a−b| 成立，故D正确.
故答案为：D
【分析】根据向量的模，结合相等向量可判断A，根据向量垂直可判断B，根据零向量与平行向量可判断C，根据向量垂直，结合向量的模可判断D.
15. （2021高一下·平潭月考）下列命题中正确的是（    ）
A. 若 a∥b ，则 a 在 b 上的投影为 |a|
B. 若 a⋅c=b⋅c(c≠0) ，则 a=b
C. 若 A,B,C,D 是不共线的四点，则 AB=DC 是四边形 ABCD 是平行四边形的充要条件
D. 若 a⋅b>0 ，则 a 与 b 的夹角为锐角；若 a⋅b<0 ，则 a 与 b 的夹角为钝角
【答案】 C
【考点】平行向量与共线向量，数量积表示两个向量的夹角，向量的投影
【解析】因为 a⁄⁄b ，所以 a,b 的夹角为0或者 π ，则 a 在 b 上的投影为 |a|cosθ=±|a| ，A不正确；设 c=(1,0),b=(0,0),a=(0,2) ，则有 a⋅c=b⋅c(c≠0) ，但 a≠b ，B不正确；
∵AB=DC,∴|AB|=|DC| 且 AB//DC ，又 A,B,C,D 是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则 AB//DC 且 |AB|=|DC| ，所以 AB=DC ，C符合题意； a⋅b>0 时， a,b 的夹角可能为0，D不正确.
故答案为：C
【分析】由向量投影的定义即可判断出选项A错误，由特殊值c=(1,0),b=(0,0),a=(0,2)计算出结果即可判断出选项B错误，由向量相等的定义结合平行四边形的定义即可判断出选项C正确，由数量积的公式结合夹角的取值范围即可判断出选项D错误，由此得出答案。
16. （2021高二上·温州期中）已知向量 a=(x,1,−1) ， b=(2,1,0) ， |a|=2 ，则 a⋅b=        ．
【答案】 1
【考点】向量的模，数量积的坐标表达式，空间中的点的坐标
【解析】由题意， |a|=2=x2+12+(−1)2解得 x=0
故 a⋅b=(0,1,−1)⋅(2,1,0)=1
故答案为：1
【分析】根据题意由空间向量模的定义，代入数值计算出结果即可。
17. （2021·唐山模拟）与向量 a→=(−1,2) 同向的单位向量 b→=       .
【答案】 (−55,255)
【考点】单位向量，平行向量与共线向量
【解析】设 b→=(x,y) ，∵ b→ 与 a→ 同向，
∴ b→=λa→ ，（ λ>0 ）即 x=−λ,y=2λ ，
又因为 b→ 为单位向量，模长为1，
则 (−λ)2+(2λ)2=1 ， λ>0 ，
解得 λ=55 ，故 b→= (−55,255)。
故答案为： (−55,255)。
【分析】设 b→=(x,y) ，利用已知条件结合同向向量的定义和共线定理，得出x=−λ,y=2λ ，再利用单位向量的定义结合λ>0 ， 从而求出λ的值，从而求出单位向量b→的坐标。
18. （2021高一下·滨海新月考）已知向量 a=(2,−32) ， b=(1,k) ，且 a//b ，那么 |a|=        ， 实数 k 的值为       ．
【答案】 52；−34
【考点】向量的模，平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】向量 a=(2,−32) ， b=(1,k) ， |a|=(2)2+(−32)2=52
由 a//b ，可得 2×k=−32×1 ，解得 k=−34
故答案为：（1） 52      （2） −34
【分析】由向量模的定义以及向量共线的坐标公式计算出结果即可。
19. （2021高一下·孝感期末）已知向量 a ， b 满足 |b|=2|a|=2 ，且向量 a 与 b 的夹角为 60° ，则 |2a+b|=       .
【答案】 23
【考点】向量的模，平面向量数量积的运算
【解析】解：因为向量 a ， b 满足 |b|=2|a|=2 ，且向量 a 与 b 的夹角为 60° ，
所以 |2a+b|=4a2+4a⋅b+b2=4+4×1×2×12+4=23 ．
故答案为： 23 ．
【分析】由|2a→+b→|=4a→2+4a→⋅b→+b→2进行数量积的运算，即可求出 |2a→+b→|的值。
20. （2021高一下·吕梁期末）已知向量 |a|=2 ， b=(1,1) ，且向量 a 与 b 的夹角为 π4 ，则 |a+2b| 等于      .
【答案】 25
【考点】向量的模，平面向量数量积的运算
【解析】因为 b=(1,1) ，所以 |b|=12+12=2 ，所以 a⋅b=|a|⋅|b|⋅cosπ4=2×2×22=2 ，
而 |a+2b|2=(a+2b)2=a2+4b2+4a⋅b=|a|2+4|b|2+4×2=4+4×(2)2+8=20 ，
所以 |a+2b|=25 ，
故答案为： 25 .
【分析】 由条件利用两个向量的数量积的定义求得 a→⋅b→ 的值,由此求得 |a→+2b→|2的值，可得 |a+2b|  的值。
21. （2021·重庆模拟）若平面向量 a=(1,−2) ， |b|=3 ，则 |a−b| 的最小值为       ．
【答案】 3−5
【考点】向量的模
【解析】 |a−b| 以O为圆心、3为半径的圆上任一点与点 A(1,−2) 间的距离，
所以最小值为 |r−|OA||=3−5 。
故答案为： 3−5 。
【分析】利用已知条件结合向量的模求解公式，再结合向量的模的几何意义，得出 |a−b| 以O为圆心、3为半径的圆上任一点与点 A(1,−2) 间的距离，再利用几何法求出 |a−b| 的最小值 。
22. （2021·浙江模拟）已知单位向量 a 与 b ，满足 (a+b)2=1 ，则 a 与 b 的夹角为      ；若向量 c 满足 ωa+(2−ω)b=c（ω∈[0，2]） ，则 |c| 的取值范围是       ．
【答案】 2π3；[1，2]
【考点】向量的模，数量积表示两个向量的夹角
【解析】依题意知 |a|=|b|=1 ，由 (a+b)2=1 得 a2+2a⋅b+b2=1 ，解得 a⋅b=−12 ，则 cos〈a,b〉=a⋅b|a|⋅|b|=−12 ，
又 〈a,b〉∈[0,π] ，所以 〈a,b〉=2π3 ；
将 ωa+(2−ω)b=c 平方，得 c2=ω2a2+2ω(2−ω)a⋅b+(2−ω)2b2=3ω2−6ω+4 ，因为 ω∈[0,2] ，所以 |c|=3ω2−6ω+4∈[1,2] .
故答案为：① 2π3 ；② [1,2] .
【分析】由 (a+b)2=1 得 a2+2a⋅b+b2=1 ， 得 a⋅b=−12 ，则 cos〈a,b〉=a⋅b|a|⋅|b|=−12 ，则可得  a 与 b 的夹角 ；将 ωa+(2−ω)b=c 平方，得 c2=ω2a2+2ω(2−ω)a⋅b+(2−ω)2b2=3ω2−6ω+4 ， 则|c|=3ω2−6ω+4∈[1,2] 。
23. （2021高二下·诸暨期末）已知平面向量 a,b,c 满足： |a|=2 ， |b|=1 ， a⋅b=−1 ， c2−(a+2b)⋅c+34=0 ，
则 |a−b|=       ； |a−c| 的取值范围是      .
【答案】 7；[3−12,3+12]
【考点】向量的模，平面向量数量积的运算
【解析】由题可知： |a−b|=(a−b)2=a2+b2−2a⋅b=4+1−2×(−1)=7 ，
由 a⋅b=|a|⋅|b|cos〈a,b〉=2×1×cos〈a,b〉=−1 ，所以 cos〈a,b〉=−12 ， 〈a,b〉=120∘ ，

如图 OA=a ， OB=b ，设 b=(1,0) ，则 a=(−1,3) ， c=(x,y) ， A(−1,3) ， B(1,0) ，
a+2b=(−1,3)+2(1,0)=(1,3) ，
由 c2−(a+2b)⋅c+34=0 可得 x2+y2−x−3y+34=0 ，
即 (x−12)2+(y−32)2=14 ，
所以 c 对应的点 C(x,y) 的轨迹是以 M(12,32) 为圆心， r=12 的圆，
|a−c|=(x+1)2+(y−3)2 表示圆上的点到定点 A(−1,3) 的距离，
|AM|=(−1−12)2+(3−32)2=3 ，
所以 |a−c|max=|AM|+r=3+12 ， |a−c|min=|AM|−r=3−12
则 |a−c|∈[3−12,3+12] ，
故答案为： 7 ； [3−12,3+12] .
【分析】 根据已知条件将向量a→,b→,c→的坐标化, .利用向量条件  |a→−b→|和 |a−c|的几何意义，求解即可.
24. （2020高三上·芜湖期末）已知向量 a 与 b 的夹角为 60° ，且 |a|=2 ， |b|=4 ，则 |a−2b|= ________．
【答案】 213
【考点】向量的模，平面向量数量积的运算
【解析】因为向量 a 与 b 的夹角为 60° ，且 |a|=2 ， |b|=4 ，
所以 |a−2b|2=a2−4a⋅b+4b2 ，
=22−4×2×4×cos60∘+4×42=52 ，
所以 |a−2b|= 213
故答案为： 213
【分析】利用向量的数量积运算性质即可求解。
25. （2021高一下·江苏月考）在平面四边形 OABC 中，已知 |OA|=3 ， OA⊥OC ， AB⊥BC ， ∠ACB=60° ，若 OB⋅AC=6 ，则 |OC|=       .
【答案】 3
【考点】向量的模，数量积的坐标表达式，数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】如图所示：以 OA,OC 所在的直线为 x,y 轴，建立直角坐标系，

设 |OC|=m ，
则 ∠CBA=∠AOC=90° ，故 OABC 四点共圆，故 ∠AOB=∠ACB=60° ，
故可设 B(b,3b) ，故 OB⋅AC=(b,3b)⋅(−3,m)=−3b+3bm=6 ，
AB⊥BC ，故 AB⋅BC=(b−3,3b)⋅(−b,m−3b)=−4b2+3b+3bm=0 ，
解得 m=3 ，故 |OC|=3 .
故答案为：3.
【分析】以 OA,OC 所在的直线为 x,y 轴，建立直角坐标系，设 |OC|=m ，则 ∠CBA=∠AOC=90° ，故 OABC 四点共圆，故 ∠AOB=∠ACB=60° ，故可设 B(b,3b) ，再利用数量积的坐标表示结合已知条件，得出−3b+3bm=6 ， 再利用两向量垂直数量积为0的等价关系，进而结合数量积的坐标表示，从而得出−4b2+3b+3bm=0 ， 再解方程组求出m,b的值，从而求出向量的模。
26. （2021·上虞模拟）已知平面向量 a→,b→ ，是单位向量，且 a→⋅b→=22 ，平面向量 c→ 满足 |c→−2a→|+|c→−2b→|=2 ，则 |c→|+|c→−a→| 的最小值为      .
【答案】 5
【考点】向量的模，数量积的坐标表达式，平面向量数量积的运算
【解析】解：不妨设 a→=(1,0)=OA→ ， b→=(22,22) ，则 2a→=(2,0)=OA1→ ，

2b→=(1,1)=OB→ ，所以 |2a→−2b→|=2 ，
设 c→=OC→ ，则终点 C 在线段 A1B 上，
且 |c→|+|c→−a→|=|OC→|+|AC→| ，
设 O 关于直线 A1B 的对称点为 D(2,2) ，
于是 |OC→|+|AC→|≥|AD→|=5 .
故答案为： 5 .
【分析】根据题意首先设出向量的坐标，再结合向量模的定义以及性质即可得出|c→|+|c→−a→|=|OC→|+|AC→| ， 然后由点对称的性质求出点D的坐标，结合三角形的几何性质即可得出答案。
27. （2021·嵊州模拟）已知平面向量 a→,b→,c→ ，满足 |a→|=|b→|=2, a→ 与 b→ 的夹角为 π3 ，且 c→2−2a→⋅c→+3=0 ，则对一切实数 x, |xa→+b→−c→| 的最小值是       ．
【答案】 3−1
【考点】基本不等式在最值问题中的应用，向量的模，平面向量数量积的运算
【解析】由题知 a→2=4 ，则 c→2−2a→⋅c→+3=0⇔c→2−2a→⋅c→+a→2=(a→−c→)2=1 ，
则 |a→−c→|=1 ，故若使 |xa→+b→−c→|=|(x−1)a→+b→+a→−c→| 取最小值，
则只需向量 (x−1)a→+b→ 与向量 a→−c→ 反向，
即 |(x−1)a→+b→+a→−c→|≥||(x−1)a→+b→|−1|=|[(x−1)a→+b→]2−1|
=|[(x−1)a→]2+b→2+2(x−1)a→⋅b→−1|=|4x2−4x+4+4+2(x−1)2×2×12−1|
=|4x2+4x+4−1|=|(2x+1)2+3−1|≥3−1 ，当且仅当 x=−12 时，等号成立.
故答案为： 3−1
【分析】首先由数量积的运算公式以及向量模的定义即可得出故若使 |xa→+b→−c→|=|(x−1)a→+b→+a→−c→| 取最小值，则只需向量 (x−1)a→+b→ 与向量 a→−c→ 反向，由绝对值的几何性质以及向量模的定义结合基本不等式计算出最小值即可。
28. （2021·甘肃模拟）平面内单位向量 a ， b ， c 满足 a+b+c=0 ，则 a⋅b =      .
【答案】 −12
【考点】单位向量
【解析】因为 a,b,c 为单位向量，
所以 |a|=|b|=|c|=1 ，
因为 a+b+c=0 ，所以 c=−(a+b) ，
所以 c2=(a+b)2=a2+b2+2a⋅b ，
所以 1=1+1+2a⋅b ，得 a⋅b=−12 .
故答案为： −12
【分析】 本题根据题意将已知条件进行转化可得c=−(a+b) ，然后两边平方，并结合单位向量的定义进行计算即可得到  a⋅b 的值.
29. （2020高三上·嘉兴期末）已知平面向量 a 与 b 的夹角为 120° ， b 在 a 上的投影是 −1 ，且满足 (2a+b)⊥(a−3b) ，则 |a+2b|= ________.
【答案】 72
【考点】向量的模
【解析】因为平面向量 a 与 b 的夹角为 120° ， b 在 a 上的投影是 −1 ，
所以 |b|cos120°=−1 ，所以 |b|=2
因为 (2a+b)⊥(a−3b) ，即 (2a+b)⋅(a−3b)=0 ，即 2a2−5a⋅b−3b2=0
所以 2|a|2+5|a|−12=0 ，解得 |a|=32
所以 (a+2b)2=94+4×32×(−1)+4×4=494 ，所以 |a+2b|= 72
故答案为： 72
【分析】由条件算出|b|=2 ， |a|=32 ， 然后可得答案。
30. （2021高一下·武清月考）如图，在 △ABC 中， ∠BAC=π3 ， AD=2DB ，P为CD上一点，且满足 AP=mAC+12AB ，若 △ABC 的面积为 23 ，则 |AP| 的最小值为      .

【答案】 3
【考点】向量的模，向量加减混合运算及其几何意义，平面向量数量积的运算
【解析】因为 AD=2DB ，故 AD=23AB ，所以 CD=AD−AC=23AB−AC ，
而 PD=AD−AP=23AB−mAC−12AB=16AB−mAC ，
因为 CD 与 PD 为非零共线向量，故存在实数 λ ，使得 23AB−AC=λ(16AB−mAC) ，
故 λ=4,m=14 ，
所以 AP=14AC+12AB ，所以 |AP|2=116AC2+14AB2+2×18×|AC|×|AB|×12 ，
由 △ABC 的面积为 23 可得 12×|AC|×|AB|×32=23 ，故 |AC|×|AB|=8 ，
所以 |AP|2=116AC2+14AB2+1≥2164×64+1=3 ，
当且仅当 |AC|=4,|AB|=2 时等号成立.
故 |AP|min=3 ，
故答案为： 3 .
【分析】根据题意由向量加、减运算法则以及已知条件AP=mAC+12AB即可得到m和λ的值，再由向量模的定义以及数量积公式结合基本不等式即可求出最小值。
31. （2021·全国甲卷）若向量 a，b 满足| a |＝3，| a－b |＝5， a ⋅ b ＝1，则| b |＝       ．
【答案】 32
【考点】向量的模，向量的线性运算性质及几何意义
【解析】解：由a→+b→2=a→+b→2得a→2−2a→·b→+b→2=a→−b→2
即9-2×1+b→2=25
解得b→=32
故答案为：32
【分析】根据向量的运算法则求解即可.