高考数学(理数)一轮复习刷题小卷练习21《等比数列》 (教师版)

刷题增分练 21　等比数列

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一、选择题

1．已知等比数列的前3项为x,3x＋3,6x＋6，则其第4项的值为(　　)

A．－24　　B．－24或0

C．12或0   D．24

答案：A

解析：由x,3x＋3,6x＋6成等比数列，得(3x＋3)2＝x(6x＋6)．解得x1＝－3或x2＝－1(此时a2＝a3＝0，不合题意，舍去)．故这个等比数列的首项为－3，公比为2，所以an＝－3·2n－1，所以数列的第4项为a4＝－24.故选A.

2．若项数为2m(m∈N*)的等比数列的中间两项正好是方程x2＋px＋q＝0的两个根，则此数列的各项积是(　　)

A．pm  B．p2m

C．qm  D．q2m

答案：C

解析：由题意得amam＋1＝q，所以由等比数列的性质得此数列各项积为(amam＋1)m＝qm.

3．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于(　　)

A.  B.    C.  D.

答案：B

解析：显然公比q≠1，

由题意得解得或(舍去)，

∴S5＝＝＝.

4．]已知数列{an}为等比数列，且a1a13＋2a＝5π，则cos(a2a12)的值为(　　)

A．－    B.   C.      D.

答案：D

解析：∵a1a13＋2a＝5π，∴a2a12＋2a2a12＝5π，∴a2a12＝，

∴cos(a2a12)＝cos＝.故选D.

5．已知各项均为正数的等比数列{an}满足a1a5＝16，a2＝2，则公比q＝(　　)

A．4     B.       C．2     D.

答案：C

解析：由题意，得解得或(舍去)，故选C.

6．已知等比数列{an}中，a2＝2，a6＝8，则a3a4a5＝(　　)

A．±64  B．64

C．32   D．16

答案：B

解析：由等比数列的性质可知，a2a6＝a＝16，而a2，a4，a6同号，故a4＝4，所以a3a4a5＝a＝64.故选B.

7．各项为正数的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为2，则log2a7＋log2a11的值为(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

答案：C

解析：由题意得a4a14＝(2)2＝8，由等比数列的性质，得a4a14＝a7a11＝8，∴log2a7＋log2a11＝log2(a7a11)＝log28＝3，故选C.

8．已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2n＝6，S3n＝14，则S4n－Sn的值为(　　)

A．18  B．20

C．24  D．28

答案：D

解析：由等比数列的性质知，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n构成等比数列，设Sn＝x，则x,6－x,14－6构成等比数列，得到(6－x)2＝8x，即x2－20x＋36＝0，解得x＝2或x＝18(舍去)．从而Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n是以2为首项，＝＝2为公比的等比数列，则S4n－S3n＝24＝16，故S4n＝30，S4n－Sn＝30－2＝28，选D.

二、非选择题

9．在等比数列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝，a8a9＝－，则＋＋＋＝________.

答案：－

解析：因为＋＝，＋＝，由等比数列的性质知a7a10＝a8a9，

所以＋＋＋＝＝÷＝－.

10．已知数列{cn}，其中cn＝2n＋3n，且数列{cn＋1－pcn}为等比数列，则常数p＝________.

答案：2或3

解析：由数列{cn＋1－pcn}为等比数列，得(c3－pc2)2＝(c2－pc1)(c4－pc3)，即(35－13p)2＝(13－5p)·(97－35p)，解得p＝2或p＝3.

11．在等比数列{an}中，公比q>1，a1＋am＝17，a2am－1＝16，且前m项和Sm＝31，则项数m＝________.

答案：5

解析：由等比数列的性质知a1am＝a2am－1＝16，又a1＋am＝17，q>1，所以a1＝1，am＝16，Sm＝＝＝＝31，解得q＝2，am＝a1qm－1＝2m－1＝16，所以m＝5.

12．在和之间插入三个正数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________．

答案：216

解析：在和之间插入三个正数，使这五个数成等比数列，设插入的三个正数为a，b，c，则b2＝ac＝×＝36，b＝6，从而abc＝b3＝63＝216.

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一、选择题

1．已知数列{an}为等比数列，若a4＋a6＝10，则a7(a1＋2a3)＋a3a9的值为(　　)

A．10　　 B．20

C．100    D．200

答案：C

解析：a7(a1＋2a3)＋a3a9＝a7a1＋2a7a3＋a3a9＝a＋2a4a6＋a＝(a4＋a6)2＝102＝100.

2．已知数列{an}的前n项和Sn＝4n＋b(b是常数，n∈N*)，若这个数列是等比数列，则b＝(　　)

A．－1    B．0

C．1      D．4

答案：A

解析：显然数列{an}的公比不等于1，所以Sn＝＝·qn－＝4n＋b，

∴b＝－1.

3．《九章算术》中：今有蒲生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等．意思是蒲第一天长3尺，以后逐日减半；莞第一天长1尺，以后逐日增加一倍，则(　　)天后，蒲、莞长度相等？参考数据：lg2≈0.301 0，lg3≈0.477 1，结果精确到0.1(　　)

A．2.2  B．2.4

C．2.6  D．2.8

答案：C

解析：设蒲每天的长度构成等比数列{an}，其首项a1＝3，公比为，其前n项和为An.设莞每天的长度构成等比数列{bn}，其首项b1＝1，公比为2，其前n项和为Bn.则An＝，Bn＝.设经过x天后，蒲、莞长度相等，则＝，化简得2x＋＝7，计算得出2x＝6,2x＝1(舍去)．所以x＝＝1＋≈2.6.则估计2.6天后蒲、莞长度相等．故选C.

4．在等比数列{an}中，a1和a2 018是方程2x2＋x－2 018＝0的两个根，则a4·a2 015＝(　　)

A．－2 018  B．2 018

C．1 009    D．－1 009

答案：D

解析：由题意得a1和a2 018是方程2x2＋x－2 018＝0的两个根，根据根与系数的关系得a1·a2 018＝－1 009.在等比数列{an}中，a4·a2 015＝a1·a2 018＝－1 009.故选D.

5．已知Sn是公比为4的等比数列{an}的前n项和，若man－3Sn＝8，则m＝(　　)

A．3     B．4

C．5     D．6

答案：B

解析：∵man－3Sn＝8，∴man＋1－3Sn＋1＝8，两式相减得man＋1－man－3an＋1＝0，(m－3)an＋1＝man.由条件知m≠3，则an＋1＝an.由已知可得＝4，∴m＝4.故选B.

6．在数列{an}中，“an＝2an－1，n＝2,3,4，…”是“{an}是公比为2的等比数列”的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件        D．既不充分也不必要条件

答案：B

解析：当an＝0时，也有an＝2an－1，n＝2,3,4，…，但{an}不是等比数列，因此充分性不成立；当{an}是公比为2的等比数列时，有＝2，n＝2,3,4，…，即an＝2an－1，n＝2,3,4，…，所以必要性成立．故选B.

7．已知等比数列{an}共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，则其公比q为(　　)

A.      B.

C．2     D．2

答案：C

解析：由奇数项之积为2，偶数项之积为64，得a1·a3·a5·a7·a9＝2，a2·a4·a6·a8·a10＝64，则q5＝＝32，则q＝2，故选C.

8．已知数列{an}满足a1＝1，an－1＝3an(n≥2，n∈N*)，其前n项和为Sn，则满足Sn≥的n的最小值为(　　)

A．6  B．5

C．8  D．7

答案：B

解析：由an－1＝3an(n≥2)可得＝(n≥2)，可得数列{an}是首项为a1＝1，公比为q＝的等比数列，所以Sn＝＝.由Sn≥可得≥，1－n≥，得n≥5(n∈N*)，故选B.

二、非选择题

9．已知在数列{an}中，an＝－4n＋5，等比数列{bn}的公比q满足q＝an－an－1(n≥2)，且b1＝a2，则|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝________.

答案：4n－1

解析：由题意知，q＝a2－a1＝－4，b1＝a2＝－3，所以|bn|＝|－3×(－4)n－1|＝3·4n－1，所以|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝3＋3×4＋3×42＋…＋3×4n－1＝3×＝4n－1.

10．已知数列{an}满足log2an＋1＝1＋log2an(n∈N*)，且a1＋a2＋a3＋…＋a10＝1，则log2(a101＋a102＋…＋a110)＝________.

答案：100

解析：因为log2an＋1＝1＋log2an，可得log2an＋1＝log22an，所以an＋1＝2an，所以数列{an}是以a1为首项，2为公比的等比数列，又a1＋a2＋…＋a10＝1，所以a101＋a102＋…＋a110＝(a1＋a2＋…＋a10)×2100＝2100，所以log2(a101＋a102＋…＋a110)＝log22100＝100.

11．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)．

(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；

(2)求数列{an}的通项公式．

解析：(1)证明　由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，有a1＋a2＝4a1＋2，则a2＝3a1＋2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.

∵Sn＋1＝4an＋2，n∈N*，①

∴Sn＝4an－1＋2，n≥2，n∈N*，②

①－②得an＋1＝4an－4an－1，

∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)．

∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1，n≥2.

∴数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．

(2)由(1)可得bn＝3·2n－1，

∴an＋1－2an＝3·2n－1，∴－＝，

设cn＝，则cn＋1－cn＝，∴c1＝＝.

∴数列{cn}是以为首项，为公差的等差数列．

∴cn＝n－，∴an＝2n·cn＝(3n－1)·2n－2.