高考数学(文数)二轮专题复习大题规范练习01（教师版）

大题规范练(一)

解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

1．(本题满分12分)已知函数f(x)＝sin x＋cos x.

(1)当f(x)＝时，求sin的值；

(2)若g(x)＝f(2x)，求函数g(x)在上的值域．

解：(1)依题意，sin x＋cos x＝⇒(sin x＋cos x)2＝2⇒sin 2x＝1，

∴cos 2x＝0，

∴sin＝sin 2xcos ＋cos 2xsin＝.

(2)g(x)＝f(2x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin，

∵x∈，∴2x＋∈，

∴sin∈.

∴函数g(x)在上的值域为[－1，]．

2．(本题满分12分)A药店计划从甲、乙两家药厂选择一家购买100件某种中药材，为此A药店从这两家药厂提供的100件该种中药材中各随机抽取10件，以抽取的10件中药材的质量(单位：克)作为样本，样本数据的茎叶图如图所示．已知A药店根据中药材的质量的稳定性选择药厂．

(1)根据样本数据，A药店应选择哪家药厂购买中药材？(不必说明理由)

(2)若将抽取的样本分布近似看成总体分布，药店与所选药厂商定中药材的购买价格如下表：

(ⅰ)估计A药店所购买的100件中药材的总质量；

(ⅱ)若A药店所购买的100件中药材的总费用不超过7 000元，求a的最大值．

解：(1)A药店应选择乙药厂购买中药材．

(2)(ⅰ)从乙药厂所抽取的10件中药材的质量的平均值为＝×(7＋9＋11＋12＋12＋17＋18＋21＋21＋22)＝15(克)，

故A药店所购买的100件中药材的总质量的估计值为100×15＝1 500(克)．

(ⅱ)由题知乙药厂所提供的每件中药材的质量n<15的概率为＝0.5，15≤n≤20的概率为＝0.2，n>20的概率为＝0.3，

则A药店所购买的100件中药材的总费用为100×(50×0.5＋0.2a＋100×0.3)．

依题意得100×(50×0.5＋0.2a＋100×0.3)≤7 000，

解得a≤75，

所以a的最大值为75.

3．(本题满分12分)如图，在四棱锥P­ABCD中，PC＝AD＝CD＝AB＝2，AB∥DC，AD⊥CD，PC⊥平面ABCD.

(1)求证：BC⊥平面PAC；

(2)若M为线段PA的中点，且过C，D，M三点的平面与线段PB交于点N，确定点N的位置，说明理由；并求三棱锥A­CMN的高．

解：(1)在直角梯形ABCD中，AC＝＝2，

BC＝ ＝2，所以AC2＋BC2＝AB2，即AC⊥BC.

又PC⊥平面ABCD，所以PC⊥BC.又AC∩PC＝C，故BC⊥平面PAC.

(2)取N为PB的中点(图略)．

因为M为PA的中点，N为PB的中点，所以MN∥AB，且MN＝AB＝2.

又AB∥CD，所以MN∥CD，所以M，N，C，D四点共面，

所以点N为过C，D，M三点的平面与线段PB的交点．

因为BC⊥平面PAC，N为PB的中点，所以点N到平面PAC的距离d＝BC＝.

又S△ACM＝S△ACP＝××AC×PC＝，所以VN­ACM＝××＝.

由题意可知，在直角三角形PCA中，PA＝＝2，CM＝，

在直角三角形PCB中，PB＝＝2，CN＝，所以S△CMN＝.

设三棱锥A­CMN的高为h，VN­ACM＝VA­CMN＝××h＝，解得h＝，

故三棱锥A­CMN的高为.

选考题：共10分．请考生在第4、5题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

4．(本题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．

(1)求圆C的极坐标方程；

(2)直线l的极坐标方程是2ρsin＝2，曲线C1的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，曲线C1与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．

解：(1)圆C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1，又x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.

(2)设(ρ1，θ1)为点P的极坐标，则有

解得

设(ρ2，θ2)为点Q的极坐标，则有

解得

由于θ1＝θ2，所以|PQ|＝|ρ1－ρ2|＝，所以线段PQ的长为.

5．(本题满分10分)[选修4－5：不等式选讲]

已知函数f(x)＝|2x－1|.

(1)求不等式f(x)＋|x＋1|＜2的解集；

(2)若函数g(x)＝f(x)＋f(x－1)的最小值为a，且m＋n＝a(m＞0，n＞0)，求＋的最小值．

解：(1)f(x)＋|x＋1|＝|2x－1|＋|x＋1|＝

当x≤－1时，－3x＜2，得x＞－，无解；

当－1＜x＜时，－x＋2＜2，得x＞0，即0＜x＜；

当x≥时，3x＜2，得x＜，即≤x＜.

综上，不等式的解集为.

(2)由条件得g(x)＝|2x－1|＋|2x－3|≥|(2x－1)－(2x－3)|＝2，当且仅当x∈时，其最小值a＝2，

即m＋n＝2.

又＋＝(m＋n)＝≥

＝，

所以＋的最小值为，当且仅当m＝，n＝时等号成立．

大题规范练(二)

解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

1．(本题满分12分)设公差不为零的等差数列{an}的前5项和为55，且a2，，a4－9成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝，数列{bn}的前n项和为Sn，求证：Sn＜.

解：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，

则

⇒或(舍去)．

故数列{an}的通项公式为an＝7＋2(n－1)，即an＝2n＋5.

(2)证明：由an＝2n＋5，得

bn＝＝

＝.

所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋

＝＜.

2．(本题满分12分)某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获得利润30元，未售出的产品，每盒亏损10元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示．该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以x(单位：盒，100≤x≤200)表示这个开学季内的市场需求量，y(单位：元)表示这个开学季内经销该产品的利润．

(1)根据直方图估计这个开学季内市场需求量x的众数和平均数；

(2)将y表示为x的函数；

(3)根据直方图估计利润y不少于4 000元的概率．

解：(1)由频率分布直方图得，这个开学季内市场需求量x的众数是150盒，

需求量在[100，120)内的频率为0.005 0×20＝0.1，

需求量在[120，140)内的频率为0.010 0×20＝0.2，

需求量在[140，160)内的频率为0.015 0×20＝0.3，

需求量在[160，180)内的频率为0.012 5×20＝0.25，

需求量在[180，200]内的频率为0.007 5×20＝0.15.

则平均数x＝110×0.1＋130×0.2＋150×0.3＋170×0.25＋190×0.15＝153(盒)．

(2)因为每售出1盒该产品获得利润30元，未售出的产品，每盒亏损10元，

所以当100≤x＜160时，y＝30x－10×(160－x)＝40x－1 600，

当160≤x≤200时，y＝160×30＝4 800，

所以y＝

(3)因为利润y不少于4 000元，所以当100≤x＜160时，由40x－1 600≥4 000，解得160＞x≥140.

当160≤x≤200时，y＝4 800＞4 000恒成立，所以200≥x≥140时，利润y不少于4 000元．

所以由(1)知利润y不少于4 000元的概率P＝1－0.1－0.2＝0.7.

3．(本题满分12分)如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为菱形，E为AC与BD的交点，PA⊥平面ABCD，M为PA中点，N为BC中点，连接MN.

(1)证明：直线MN∥平面PCD；

(2)若点Q为PC中点，∠BAD＝120°，PA＝，AB＝1，求三棱锥A­QCD的体积．

解：(1)取PD中点R，连接MR，RC(图略)，∵MR∥AD，NC∥AD，MR＝AD，NC＝AD，∴MR∥NC，MR＝NC，

∴四边形MNCR为平行四边形，

∴MN∥RC，又RC⊂平面PCD，MN⊄平面PCD，

∴直线MN∥平面PCD.

(2)由已知条件得AC＝AD＝CD＝1，∴S△ACD＝，

∴VA­QCD＝VQ­ACD＝×S△ACD×PA＝.

选考题：共10分．请考生在第4、5题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

4．(本题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)．以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos θ＝tan θ.

(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；

(2)若C1与C2交于A，B两点，点P的极坐标为，求＋的值．

解：(1)由曲线C1的参数方程消去参数t可得，曲线C1的普通方程为4x＋3y－2＝0；

由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得，曲线C2的直角坐标方程为y＝x2.

(2)由点P的极坐标为可得点P的直角坐标为(2，－2)．曲线C1的参数方程为(t为参数)，代入y＝x2得9t2－80t＋150＝0，

设t1，t2是点A，B对应的参数，则t1＋t2＝，t1t2＝＞0.

∴＋＝＝＝.

5．(本题满分10分)[选修4－5：不等式选讲]

已知函数f(x)＝|2x－1|＋|x＋1|，g(x)＝|x－a|＋|x＋a|.

(1)解不等式f(x)＞9；

(2)∀x1∈R，∃x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)，求实数a的取值范围．

解：(1)f(x)＝

f(x)＞9等价于或或

综上，原不等式的解集为{x|x＞3或x＜－3}．

(2)∵|x－a|＋|x＋a|≥2|a|.

由(1)知f(x)≥f＝，

所以2|a|≤，

所以实数a的取值范围是.