第五章复习提升-2022版数学选择性必修第一册 北师大版（2019） 同步练习 （Word含解析）

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本章复习提升
易混易错练
易错点1　利用两个基本计数原理解题时考虑不周致错
1.(2020安徽合肥一中高二开学考试,)将四棱锥S-ABCD的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端异色,如果恰有5种颜色可供使用,则不同的染色方法有 (　　)

A.480种　　　　B.360种　　　　C.420种　　　　D.320种
2.(2020江西南昌第二中学高二下期末,)某市VR大会展厅前广场改造,在人行道(斑马线)两侧划分5块区域(如图),现有4种不同颜色的花卉,要求每块区域随机种植一种颜色的花卉,且相邻区域(有公共边的区域)所选花卉颜色不能相同,则不同的种植方式共有　　　种. 

易错点2　忽略特殊元素与特殊位置改错
3.(2020广东东莞高二期中,)四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4,每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是　　　　. 

4.(2019山东日照高二下期末,)用0,1,2,3,4这五个数字可以组成没有重复数字的:
(1)三位偶数有多少个?
(2)能被3整除的三位数有多少个?
(3)比210大的三位数有多少个?





5.(2020江西靖安中学高二月考,)在班级活动中,4名男生和3名女生站成一排表演节目.
(1)女生甲不能站在左端,女生乙不能站在右端,有多少种不同的站法?
(2)甲、乙、丙三人按高矮从左到右有多少种不同的站法?(甲、乙、丙三人身高互不相等)
(3)现在有7个座位连成一排,仅安排4个男生就坐,恰好有两个空座位相邻的不同坐法共有多少种?









易错点3　混淆展开式中项的系数与二项式系数
6.(2020天津静海高二月考,)在(2x-3y)10的展开式中,求:
(1)各二项式系数的和;
(2)各项系数的和;
(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;
(4)奇数项系数和与偶数项系数和;
(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.












思想方法练
一、分类讨论思想在排列组合中的应用
1.(2020重庆八中高三月考,)A,B,C,D,E,F六名同学参加一项比赛,决出第一到第六的名次.A,B,C三人去询问比赛结果,裁判对A说:你和B都不是第一名;对B说:你不是最差的;对C说:你比A,B的成绩都好.据此回答分析,六人的名次有　　　　种不同情况 (　　) 
A.720　　　　B.240　　　　C.180　　　　D.128
2.(2020北京高二期末,)某年级举办线上小型音乐会,由6个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前两位,节目丙必须排在节目乙的下一个,则该小型音乐会节目演出顺序的编排方案共有　　　　种.(用数字作答) 
3.(2020河北等五省高考解题能力,)“学习强国”学习平台是由中宣部主管,以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容,立足全体党员、面向全社会的优质平台,现日益成为老百姓了解国家动态、紧跟时代脉搏的热门APP,该款软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学习板块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题板块,某人在学习过程中,“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有　　　　种. 
二、转化与化归思想在二项式定理中的应用
4.(2020山东莱州一中高二期末,)设a∈Z,且0≤a≤13,若512020+a能被13整除,则a= (　　)
A.0　　　　B.1　　　　C.11　　　　D.12
5.(多选题)(2020江苏天一中学高二期中,)(1+ax+by)n的展开式中不含y的项的系数的绝对值的和为32,则a和n的值可能为 (　　)
A.a=2,n=5　　　　　　　B.a=1,n=6
C.a=-1,n=5　　　　　　　D.a=1,n=5
三、整体思想在排列组合中的应用
6.(2019山东烟台高二下期末联考,)6本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端,丙、丁两本书必须相邻,则不同的摆放方法有 (　　)
A.24种　　　　B.36种　　　　C.48种　　　　D.60种
7.()有两排座位,前排11个座位,后排12个座位,现安排2人坐下,规定前排中间的3个座位不能坐,并且这2人不左右相邻,那么不同排法的种数是 (　　)
A.234　　　　B.346　　　　C.350　　　　D.363
8.(2019山东菏泽高二下学期期末,)某电视台连续播放7个不同的广告,其中4个不同的商业广告和3个不同的公益广告,要求所有的公益广告必须连续播放,则不同的播放方式的种数为　　　　. 
四、函数与方程思想在排列组合、二项式定理中的应用
9.(2019辽宁鞍山高二下期末联考,)某学习小组有男、女生共8人,现从男生中选2人,女生中选1人分别去做3种不同的工作,共有90种不同的选法,则男、女生人数分别为 (　　)
A.2,6　　　　B.3,5　　　　C.5,3　　　　D.6,2
10.(2020陕西西安高三第二次教学质量检测,)在(x+1)(ax+1)5的展开式中,x2的系数为15,则a=　. 
11.(2020天津第一中学高二下期中,)在(3-x)20(x∈R,且x≠0)的展开式中,第2r项与第r+1项(r≠1,r∈N+)的二项式系数相等.
(1)求r的值;
(2)若该展开式的第r项是倒数第r项的1256,求x的值.










12.(2020北京清华大学附属中学高二下月考,)已知f(x)=(1+2x)m+(1+4x)n(m,n∈N+)的展开式中含x项的系数为36,求展开式中含x2项的系数的最小值.






答案全解全析
易混易错练
1.C　解法一:将5种颜色设为1,2,3,4,5,分两步,由题意知四棱锥的顶点S,A,B所染颜色互不相同,则共有5×4×3=60种染色方法,当S,A,B染好时,不妨设所染颜色依次为1,2,3,若C与A同色染2,则D可染3或4或5,共3种,若C染4,则D可染3或5,共2种,若C染5,则D可染3或4,共2种,即当S,A,B染好时,C,D有7种染法,所以共有60×7=420种染色方法,故选C.
解法二:利用分类加法计数原理求解.①用3种颜色时,A,C同色,B,D同色,不同的染色方法有A53=60种;②用4种颜色时,A,C同色,B,D不同色,则不同的染色方法有A54=120种;③用4种颜色时,A,C不同色,B,D同色,则不同的染色方法有A54=120种;④用5种颜色时,A,C不同色,B,D不同色,则不同的染色方法有A55=120种.所以共有60+120+120+120=420种不同的染色方法.
易错提示
本题主要考查两个基本计数原理的综合应用.两个原理的应用不是孤立的,往往是两个原理交叉应用才能解决问题,解答这类问题时,应理解题意,挖掘出隐含条件.解题过程中要分清“是分类还是分步”,在应用分类加法计数原理讨论时,既不能重复交叉讨论又不能遗漏,这样才能提高准确率.
2.答案　288
解析　对于区域①②,可以在4种颜色的花卉中任选2种种植,有A42=12种选法;对于区域③④⑤,可以在4种颜色的花卉中任选3种种植,有A43=24种选法,则不同的种植方式共有12×24=288种.
3.答案　12600
解析　问题等价于编号为1,2,3,…,10的10个小球排列,其中2,3号,4,5,6号,7,8,9,10号的排列顺序是固定的,据此可得,将这些气球都打破的不同打法数是A1010A22×A33×A44=12600.
易错提示
第二组2个小球,第三组3个小球,第四组4个小球被打破的顺序是固定的,所以要把重复的顺序去除.
4.解析　(1)当个位是0时,有A42=12个;当个位是2时,有3×3=9个;当个位是4时,有3×3=9个.故共有12+9+9=30个没有重复数字的三位偶数.
(2)没有重复数字的能被3整除的三位数的数字组成共有0,1,2;0,2,4;1,2,3;2,3,4四种情况,故共有C21×A22+C21×A22+A33+A33=20个.
(3)当百位是2时,共有A21×A31+2=8个;当百位是3时,共有A42=12个;当百位是4时,共有A42=12个,
故共有8+12+12=32个大于210的没有重复数字的三位数.
易错警示
在与数字有关的排列问题中,易忽略“0”对特殊位置的要求,造成错解.
5.解析　(1)根据题意,分2类:①女生甲站在右端,其余6人全排列,有A66=720种站法,②女生甲不站在右端,女生甲有5种站法,女生乙有5种站法,将剩余的5人全排列,安排在剩余的位置,有A55=120种站法,则此时有5×5×120=3000种站法,则一共有720+3000=3720种站法.
(2)根据题意,首先把7人全排列,共有A77种结果,甲、乙、丙三人内部的排列共有A33=6种结果,要使甲、乙、丙三人按照高矮从左到右排列,结果数只占6种结果中的一种,则有A77A33=840种站法.
(3)根据题意,恰好有两个空座位相邻分2类:①两个相邻空座位在两边,1、2或6、7上,第三个空座有4种选择;②两个相邻空座位在中间,可能是2、3,3、4,4、5,5、6中的一个,第三个空位有3种选择,4个男生全排列有A44=24种坐法,共(2×4+4×3)×24=480种坐法.
6.解析　(1)各二项式系数的和为C100+C101+C102+…+C1010=210=1024.
(2)令x=1,y=1,则(2×1-3×1)10=1=a0+a1+a2+…+a10,所以各项系数和为1.
(3)奇数项的二项式系数和为C100+C102+C104+…+C1010=29,偶数项的二项式系数和为C101+C103+…+C109=29.
(4)由(2)知,a0+a1+a2+…+a10=1①,取x=1,y=-1,则(2×1+3×1)10=510=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7+a8-a9+a10②,所以奇数项的系数和为a0+a2+…+a10=①+②2=1+5102,偶数项的系数和为a1+a3+…+a9=①-②2=1-5102.
(5)由(4)知,x的奇次项系数和为a1+a3+…+a9=①-②2=1-5102,x的偶次项系数和为a0+a2+…+a10=①+②2=1+5102.
易错提示
设(2x-3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+…+a10y10.各项系数和为a0+a1+a2+…+a10,奇数项系数和为a0+a2+…+a10,偶数项系数和为a1+a3+…+a9,x的奇次项系数和为a1+a3+…+a9,x的偶次项系数和为a0+a2+…+a10,注意x的奇次项系数和刚好是(4)中偶数项系数和.
思想方法练
1.C　C为特殊位置要优先考虑,从C排第几
名进行分类讨论.
C比A、B的成绩都好且A、B不是第一名,所以C不可能是第六名,第五名,当C是第四名时,B只能是第五名,A只能是第六名,共A33=6种;当C是第三名时,共C21C21A33=24种;当C是第二名时,共C31C31A33=54种;当C是第一名时,共C41C41A33=96种.
综上,总共有6+24+54+96=180种,故选C.
2.答案　42
解析　甲的位置影响乙的排列,所以甲的位
置比较特殊,从甲入手进行分类讨论.
由题意,设6个节目的顺序为下图中1,2,3,4,5,6.
1
2
3
4
5
6
①甲排在第一位,乙与丙挨着,可以在2、3,3、4,4、5,5、6中任选一个,剩余的3个全排列,共有C41A33=24种,②甲排在第二位,乙、丙可以在3、4,4、5,5、6中任选一个,剩余的3个全排列,共有C31A33=18种,故编排方案共有24+18=42种.
故答案为42.
3.答案　432
解析　按照两大学习板块之间间隔一个答
题板块和不间隔答题板块进行合理分类讨论.分两类,一类是在“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间间隔一个答题板块,这样的学习方法数为A22·A41·A44=192;另一类是在“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间不间隔答题板块,这样的学习方法数为A22·A55=240,因此某人在学习过程中,“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法数为192+240=432,故答案为432.
思想方法
分类与整合思想是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法,从具体出发,选取适当的分类标准,划分只是手段,分类研究才是目的,有分有合,先分后合,是分类与整合思想的本质属性.分类的时候要注意合理分类,做到有序分类.
4.D　将复杂的整除问题转化为二项式展开问题.
因为51=52-1,所以512020=(52-1)2020=522020-C20201522019+…-C20202019521+1,又因为52能被13整除,所以只需1+a能被13整除,因为a∈Z,0≤a≤13,所以a=12,故选D.
5.CD　将(1+ax+by)n的展开式中不含y的
项的系数问题转化为二项展开式问题.(1+ax+by)n的展开式中不含y的项为Cn0·(1+ax)n(by)0=(1+ax)n,其系数的绝对值的和为32,即Cn0+Cn1|a|+Cn2|a|2+…+Cnn·|a|n=32,即(1+|a|)n=32,结合四个选项可知a,n的值可能为a=-1,n=5,或a=1,n=5,故选CD.
思想方法
转化思想就是将复杂问题转化为简单问题,排列组合部分经常转化为常用排列组合模型,将隐含条件转化为明朗的条件,有利于提高解题的准确性、灵巧性.将抽象的排列、组合问题转化或构造为与之等价的数学模型,然后恰当地运用模型加以处理,会有利于问题的解决.常见的排列组合问题经常转化为球盒模型,定序模型等.一些整除和项的系数等复杂问题转化成二项展开式问题.
6.A　甲、乙两本书必须摆放在两端,有A22种排法;
丙、丁两本书必须相邻,将其视为整体与另外两本书全排列,有A22A33种排法,
由分步乘法计数原理可得,不同的摆放方法有A22A22A33=24种.
丙、丁两本书必须相邻,即这两本书可看成一
个整体,再与其他两个无限制的元素全排列,
体现了整体思想.
7.B　易知一共可坐的位子有20个,2个人坐的方法数为A202,还需排除两人左右相邻的情况.把可坐的20个座位排成连续一行,将其中两个相邻座位看成一个整体,则相邻的坐法有A191A22,还应再加上2A22,所以不同坐法的种数为A202-A191A22+2A22=346.故选B.
20个座位排列,任意两个相邻的座位可以看
成一个整体,注意看成整体的两个座位内部
也需要排列,体现了整体思想.
8.答案　720
解析　第一步,将所有的公益广告“捆绑”在一起当成一个元素和其他4个不同的商业广告进行排列,不同的安排方式有A55=120种,
第二步,对3个不同的公益广告进行排列,不同的安排方式有A33=6种,
故不同的播放方式有A55A33=120×6=720种.
公益广告连续播出,即排列时要把3个公益
广告看成一个整体,再与其他4个元素全排
列,体现了整体思想.
思想方法
整体思想作为一种数学方法,在解题过程中起到了至关重要的作用.整体思想是从宏观上来审视问题,让视线跳出细节的遮掩,从而迅速找到解题方法.
整体思想在排列组合中的应用主要体现在有特殊元素、特殊位置的题目中,我们可以把要求相邻的元素看成一个整体,再和其他元素进行排列或组合.需要注意的是,看成一个整体的元素内部是否还有顺序的要求,若有,则还要考虑内部排列或组合的情况.
9.B　设男生人数为n,则女生人数为8-n,其中(1