高中数学人教版新课标A必修3第三章 概率综合与测试习题

这是一份高中数学人教版新课标A必修3第三章 概率综合与测试习题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．同时抛掷两枚均匀的骰子，事件“都不是5点且不是6点”的对立事件为 ( C )
A．一个是5点，另一个是6点
B．一个是5点，另一个是4点
C．至少有一个是5点或6点
D．至多有一个是5点或6点
[解析] 设两枚骰子分别为甲、乙，则其点数共有以下四种可能：甲是5点且乙是6点，甲是5点且乙不是6点，甲不是5点且乙是6点，甲不是5点且乙不是6点，事件“都不是5点且不是6点”为第四种情况，故其对立事件是前三种情况，故选C．
2．2019年高考某题的得分情况如下：
其中众数是( C )
A．37.0% B．20.2%
C．0 D．4
[解析] 因为0出现的频率最大，所以众数为0.
3．某村有旱地与水田若干，现在需要估计平均亩产量．用按5%分层抽样的方法抽取15亩旱地和45亩水田进行调查，则这个村的旱地与水田的亩数分别为( B )
A．150,450 B．300,900
C．660,600 D．75,225
[解析] 分层抽样就是按比例抽样，设旱地x亩，水田y亩，则有eq \f(15,x)＝eq \f(45,y)＝eq \f(5,100)，∴x＝300，y＝900，故选B．
4．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
根据上表可得回归直线方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))，其中eq \(b,\s\up6(^))＝0.76，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up6(^))eq \x\t(x)，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为( B )
A．11.4万元 B．11.8万元
C．12.0万元 D．12.2万元
[解析] 由已知得eq \x\t(x)＝eq \f(8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.9,5)＝10(万元)，
eq \x\t(y)＝eq \f(6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.8,5)＝8(万元)，故eq \(a,\s\up6(^))＝8－0.76×10＝0.4，
所以回归直线方程为eq \(y,\s\up6(^))＝0.76x＋0.4，当社区一户收入为15万元家庭年支出为eq \(y,\s\up6(^))＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)，故选B．
5．从分别写有数字1,2,3,4,5,6的6张卡片中，任意取出2张，观察上面的数字，则这两个数字之和是3的倍数的概率为( C )
A．eq \f(2,9) B．eq \f(4,15)
C．eq \f(1,3) D．eq \f(4,9)
[解析] 由题意可得从6张卡片中任意取出2张，一共有15种取法，这两个数字之和是3的倍数的有(1,5)，(2,4)，(3,6)，(1,2)，(4,5)，共5种取法，故这两个数字之和是3的倍数的概率为eq \f(5,15)＝eq \f(1,3).
6．已知地铁列车每10 min一班，在车站停1 min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( A )
A．eq \f(1,10) B．eq \f(1,9)
C．eq \f(1,11) D．eq \f(1,8)
[解析] 试验的所有结果构成的区域长度为10 min，而构成事件A的区域长度为1 min，故P(A)＝eq \f(1,10).
7．已知有两组样本数据，{x1，x2，…，xn}的平均数为h，{y1，y2，…，ym}的平均数为k，若把两组数据合并成一组，则合并后这组样本的平均数为( B )
A．eq \f(h＋k,2) B．eq \f(nh＋mk,m＋n)
C．eq \f(nk＋mh,m＋n) D．eq \f(h＋k,m＋n)
[解析] ∵x1＋x2＋…＋xn＝nh，y1＋y2＋…＋ym＝mk，
∴eq \f(x1＋x2＋…＋xn＋y1＋y2＋…＋ym,m＋n)＝eq \f(nh＋mk,m＋n).
故选B．
8．2019年某高校进行自主招生，先从报名者中筛选出400人参加笔试，再按笔试成绩择优选出100人参加面试，现随机调查了24名笔试者的成绩，如下表所示：
据此估计允许参加面试的分数线大约是( B )
A．75 B．80 C．85 D．90
[解析] 400人参加笔试，择优选出100人参加面试，随机调查了24名笔试者的成绩，则24×eq \f(100,400)＝6，观察表格，分数在[80,85)有5人，[85,90)有1人，所以估计参加面试的分数线为80.
9．已知一组数据m,4,2,5,3的平均数为n，且m、n是方程x2－4x＋3＝0的两根，则这组数据的方差为( C )
A．10 B．eq \r(10)
C．2 D．eq \r(2)
[解析] ∵eq \f(1,5)(m＋4＋2＋5＋3)＝n，
即m＝5n－14 ①
又m＋n＝4 ②，联立①②，
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝1,n＝3)).
∴s2＝eq \f(1,5)×[(1－3)2＋(4－3)2＋(2－3)2＋(5－3)2＋(3－3)2]
＝eq \f(1,5)×(4＋1＋1＋4＋0)＝2.
10．在《周易》中，长横“——”表示阳爻，两个短横“— —”表示阴爻，有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有23＝8种组合方法，这便是《系辞传》所说：“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”，有放回地取阳爻和阴爻一次有2种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有四种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻三次有八种不同的情况，即为八卦，在一次卜卦中，恰好出现两个阳爻一个阴爻的概率是( C )
A．eq \f(1,8) B．eq \f(1,4)
C．eq \f(3,8) D．eq \f(1,2)
[解析] 在一次所谓“算卦”中得到六爻，基本事件总数n＝23＝8，这六爻恰好有2个阳爻1个阴爻包含的基本事件m＝3，所以这六爻恰好有2个阳爻1个阴爻的概率是P＝eq \f(m,n)＝eq \f(3,8).
11．从甲、乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)．设甲乙两组数据的平均数分别为eq \x\t(x)甲，eq \x\t(x)乙，中位数分别为m甲，m乙，则( B )
A．eq \x\t(x)甲＜eq \x\t(x)乙，m甲＞m乙 B．eq \x\t(x)甲＜eq \x\t(x)乙，m甲＜m乙
C．eq \x\t(x)甲＞eq \x\t(x)乙，m甲＞m乙 D．eq \x\t(x)甲＞eq \x\t(x)乙，m甲＜m乙
[解析] eq \x\t(x)甲＝eq \f(345,16)，eq \x\t(x)乙＝eq \f(457,16)，m甲＝20，m乙＝29.
12．某工厂对一批产品进行了抽样检测．下图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是( A )
A．90 B．75
C．60 D．45
[解析] 设样本容量是n，产品净重小于100克的概率为(0.050＋0.100)×2＝0.300，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则eq \f(36,n)＝0.300，所以n＝120.净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75.
所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.75＝90.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)
13．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取__18__件．
[解析] 抽样比为eq \f(60,200＋400＋300＋100)＝eq \f(3,50)，
∴应从丙种型号的产品中抽取eq \f(3,50)×300＝18(件)．
14．为了研究某班学生的脚长x(单位：cm)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))，已知eq \i\su(i＝1,10,x)i＝225，eq \i\su(i＝1,10,y)i＝1 600，eq \(b,\s\up6(^))＝4.该班某学生的脚长为24 cm，据此估计其身高为__166__ cm.
[解析] 由eq \i\su(i＝1,10,x)i＝225，eq \i\su(i＝1,10,y)i＝1600，利用平均值公式求得eq \x\t(x)＝22.5eq \x\t(，)y＝160，因为eq \(b,\s\up6(^))＝4，所以eq \(a,\s\up6(^))＝160－4×22.5＝70，从而当x＝24时，y＝4×24＋70＝166 cm.
15．已知在大小相同的5个球中，2个是红球，3个是白球，若从中任取2个，则所取的2个球中至少有1个红球的概率是__eq \f(7,10)__.
[解析] 记大小相同的2个红球分别为H1，H2,3个白球分别为B1，B2，B3，则基本事件为(H1，H2)，(H1，B1)，(H1，B2)，(H1，B3)，(H2，B1)，(H2，B2)，(H2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10个，其中至少有一个红球的事件有7个，所以所求事件的概率为eq \f(7,10).
16．某人向边长分别为5,12,13的三角形区域内随机丢一粒芝麻，假设芝麻落在区域内的任意一点是等可能的，则其恰落在离三个顶点距离都大于2的地方的概率为__eq \f(15－π,15)__.
[解析] 由题意，与三个顶点的距离都大于2的区域的面积为30－2π，由几何概型的概率公式知其恰落在与三个顶点的距离都大于2的地方的概率为eq \f(15－π,15).
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)为了了解工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A、B、C三个区中抽取7个工厂进行调查，已知A、B、C区中分别有18,27,18个工厂．
(1)求从A、B、C区中分别抽取的工厂个数；
(2)若从抽取的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率．
[解析] (1)工厂总数为18＋27＋18＝63，样本容量与总体中的个体数的比为eq \f(7,63)＝eq \f(1,9)，所以从A、B、C三个区中应分别抽取的工厂个数为2、3、2.
(2)设A1、A2为在A区中抽得的2个工厂，B1、B2、B3为在B区中抽得的3个工厂，C1、C2为在C区中抽得的2个工厂，从这7个工厂中随机抽取2个，全部的可能结果有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A2，C2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B2，B3)，(B3，C1)，(B3，C2)，(C1，C2)共21种，随机抽取的2个工厂至少有一个来自A区的结果有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)，一共有11种，所以所求的概率为eq \f(11,21).
18．(本小题满分12分)某医院一天内派出医生下乡医疗的人数及其概率如下：
求：(1)派出医生至多2人的概率；
(2)派出医生至少2人的概率．
[解析] 设事件A为“不派出医生”；事件B为“派出1名医生”；事件C为“派出2名医生”；事件D为“派出3名医生”；事件E为“派出4名医生”；事件F为“派出5名及以上医生”．
易知事件A、B、C、D、E、F彼此互斥，且P(A)＝0.1，P(B)＝0.16，P(C)＝0.2，P(D)＝0.3，P(E)＝0.2，P(F)＝0.04，
(1)“派出医生至多2人”的概率为
P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.2＝0.46.
(2)“派出医生至少2人”的概率为
P(C∪D∪E∪F)＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.2＋0.3＋0.2＋0.04＝0.74
19．(本小题满分12分)某县共有90间农村淘宝服务站，随机抽取5间，统计元旦期间的网购金额(单位：万元)的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．
(1)根据茎叶图计算样本均值．
(2)若网购金额(单位：万元)不小于18的服务站定义为优秀服务站，其余为非优秀服务站，根据茎叶图推断90间服务站中有几间优秀服务站？
(3)从随机抽取的5间服务站中再任取2间作网购商品的调查，求恰有1间是优秀服务站的概率．
[解析] (1)用eq \x\t(X)表示样本均值，
则eq \x\t(X)＝eq \f(4＋6＋12＋18＋20,5)＝12.
(2) 5个样本中网购金额(单位：万元)不小于18的服务站有2个，占比为eq \f(2,5)，
即优秀服务站的占比为eq \f(2,5)，
则90间服务站中优秀服务站间数可能为90×eq \f(2,5)＝36.
(3)将抽取的5间服务站标记为A，B，C，D，E，假设2间优秀服务站为A，B，
从随机抽取的5间服务站中再任取2间有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10种可能情况，
由(2)知这5间服务站中有2间优秀服务站，
则恰有1间是优秀服务站有AC，AD，AE，BC，BD，BE，共6种可能情况，
所以恰有1间是优秀服务站的概率为eq \f(6,10)＝eq \f(3,5).
20．(本小题满分12分)某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表：
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19.
(1)求x的值．
(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？
(3)已知y≥245，z≥245，求初三年级中女生比男生多的概率．
[解析] (1)∵eq \f(x,2 000)＝0.19，∴x＝380.
(2)初三年级学生的人数为y＋z＝2 000－(373＋377＋370＋380)＝500.
现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，
应在初三年级抽取的人数为eq \f(48,2 000)×500＝12.
(3)设“初三年级女生比男生多”为事件A，初三年级女生、男生数记为(y，z)．
由(2)知y＋z＝500，y，z∈N，且y≥245，z≥245，
则基本事件有(245,255)，(246,254)，(247,253)，…，(255,245)，共11个．
事件A包含的事件有(251,249)，(252,248)，(253,247)，(254,246)，(255,245)，共5个，∴P(A)＝eq \f(5,11).
21．(本小题满分12分)某个体服装店经营某种服装在某周内获纯利润y(单位：元)与该周每天销售这种服装件数x之间有如下一组数据：
已知eq \(∑,\s\up6(7),\s\d4(i＝1))xeq \\al(2,i)＝280，eq \(∑,\s\up6(7),\s\d4(i＝1))xiyi＝3 487.
(1)求eq \x\t(x)、eq \x\t(y)；
(2)求纯利润y与每天销售件数x的回归方程；
(3)估计每天销售10件这种服装时，纯利润是多少元．
[解析] (1)eq \x\t(x)＝eq \f(1,7)(3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)＝6，
eq \x\t(y)＝eq \f(1,7)(66＋69＋73＋81＋89＋90＋91)≈79.86.
(2)设回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))，则
eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\(,\s\up6(7),\s\d4(i＝1))xiyi－7\(x,\s\up6(－))\x\t(y),\(,\s\up6(7),\s\d4(i＝1))－7\(x,\s\up6(－))2)≈eq \f(3 487－7×6×79.86,280－7×62)≈4.75，
eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up6(^))eq \x\t(x)≈79.86－4.75×6＝51.36.
所以所求回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝4.75x＋51.36.
(3)当x＝10时，eq \(y,\s\up6(^))＝98.86，估计每天销售10件这种服装，可获纯利润98.86元．
22．(本小题满分12分)某高校在2016年的自主招生考试成绩中随机抽取100位学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下所示．
(1)请先求出频率分布表中①②位置相应的数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图(如图)；
(2)为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6位学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少位学生进入第二轮面试．
(3)在(2)的前提下，学校决定在6位学生中随机抽取2位学生接受A考官进行面试，求第4组至少有一位学生被考官A面试的概率．
[解析] (1)由题可知，第2组的频数为0.35×100＝35(人)，第3组的频率为eq \f(30,100)＝0.300，频率分布直方图如下图．
(2)因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为第3组：eq \f(30,60)×6＝3(人)，第4组：eq \f(20,60)×6＝2(人)，第5组：eq \f(10,60)×6＝1(人)，所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．
(3)设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C1，则从六位同学中抽两位同学有15种可能，如下：
(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，
(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，
(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)．
第4组至少有一位同学入选的有：
(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(B1，B2)，(A3，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)．共9种可能．所以第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为eq \f(9,15)＝eq \f(3,5).
得分/ 分
0
1
2
3
4
百分率/%
37.0
8.6
6.0
28.2
20.2
收入x(万元)
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y(万元)
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
分数段
[60,65)
[65,70)
[70,75)
[75,80)
[80,85)
[85,90)
人数
2
3
4
9
5
1
医生人数
0
1
2
3
4
5人及以上
概率
0.1
0.16
0.2
0.3
0.2
0.04
初一年级
初二年级
初三年级
女生
373
x
y
男生
377
370
z
x
3
4
5
6
7
8
9
y
66
69
73
81
89
90
91
组号
分组
频数
频率
第1组
[160,165)
5
0. 050
第2组
[165,170)
①
0. 350
第3组
[170,175)
30
②
第4组
[175,180)
20
0.200
第5组
[180,185]
10
0. 100
合计
100
1.000