高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.2 直线的倾斜角、斜率及其关系测试题

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.2 直线的倾斜角、斜率及其关系测试题，共15页。试卷主要包含了1　一次函数的图象与直线的方程，直线x=π3的倾斜角为　　　　等内容，欢迎下载使用。

§1 直线与直线的方程
1.1 一次函数的图象与直线的方程
1.2 直线的倾斜角、斜率及其关系
基础过关练
题组一 直线的倾斜角
1.下列关于直线倾斜角的说法中,正确的是( )
A.任意一条直线都有唯一的倾斜角
B.一条直线的倾斜角可以为-π6
C.倾斜角为0的直线只有一条,即x轴
D.若直线的倾斜角为α,则sinα∈(0,1)
2.已知直线l的倾斜角为θ-5π36,则角θ的取值范围为( )
A.5π36,35π36 B.-5π36,35π36
C.[0,π) D.5π36,41π36
3.如图,有三条直线l1,l2,l3,其倾斜角分别是α1,α2,α3,则下列关系正确的是( )
A.α1>α2>α3 B.α1>α3>α2
C.α2>α3>α1 D.α3>α2>α1
4.(多选题)若直线l与x轴交于点A,其倾斜角为α,直线l绕点A顺时针旋转45°后得到直线l1,则直线l1的倾斜角可能为( )
A.α+45°
B.α+135°
C.α-45°
D.135°-α
5.(2020江苏扬州中学高一下月考)直线x=π3的倾斜角为 .
6.已知M(2m+3,m),N(m-2,1),则当m= 时,直线MN的倾斜角为直角.
题组二 过两点的直线的斜率
7.以下两点确定的直线的斜率不存在的是( )
A.(4,1)与(-4,-1) B.(0,1)与(1,0)
C.(1,4)与(-1,4) D.(-4,1)与(-4,-1)
8.(2020安徽淮南第一中学高一下第一次段考)已知直线经过点A(1,1),B(2,3),则该直线的斜率为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
9.(2021天津武清天和城实验中学高二上月考)若点A(3,1),B(-2,b),C(8,11)在同一条直线上,则实数b等于 ( )
A.2 B.3
C.9 D.-9
10.若经过点A(2,1),B(1,m2)的直线l的倾斜角为锐角,则实数m的取值范围是 .
11.(2020浙江杭州七县(市)高一上期末)某棵果树前n年的总产量f(n)与n之间的关系如图所示,从目前记录的结果看,若前m年的年平均产量最高,则m= .
12.如果直线l过点(1,2),且不经过第四象限,求直线l的斜率的取值范围.
题组三 直线的斜率与倾斜角的关系
13.已知直线l的倾斜角为120°,则直线l的斜率为( )
A.3 B.33 C.-33 D.-3
14.(多选题)(2020河北石家庄元氏第一中学高一下第三次月考)在下列四个命题中,正确的是( )
A.若直线的倾斜角α为锐角,则其斜率一定大于0
B.任意直线都有倾斜角α,且α≠90°时,斜率为tanα
C.若一条直线的斜率为tanα,则此直线的倾斜角为α
D.直线的倾斜角越大,则其斜率越大
15.(2020安徽合肥一中高二上期中)直线x=1的倾斜角和斜率分别是( )

A.45°,1 B.135°,-1
C.90°,不存在D.180°,不存在
16.(2020广东云浮高二上期末)已知直线l经过点O(0,0)和A(1,1),则直线l的倾斜角为( )
A.30° B.45° C.60° D.120°
17.(2020河北邯郸永年第一中学高一下期末)设直线l的斜率为k,且k∈-3,33,则该直线的倾斜角α的取值范围是( )
A.π3,5π6 B.π6,2π3
C.0,π3∪5π6,π D.0,π6∪2π3,π
18.在平面直角坐标系中,正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0,则AC,AB边所在直线的斜率之和为( )
A.-23 B.0 C.3 D.23
19.(2020陕西咸阳高一上期末)在平面直角坐标系中,已知点A(-2,0),B(0,t),如果直线AB的倾斜角为45°,那么实数t的值为 .
20.(2020黑龙江鹤岗第一中学高二月考)若直线l的倾斜角的变化范围为π6,π3,则直线l的斜率的取值范围是 .
21.已知直线l1,l2,l3,l4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4,直线l2的斜率为34,求直线l1,l3,l4的斜率.
22.如图所示,菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合,且OB在x轴的正半轴上.已知∠BOD=60°,求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角及斜率.
题组四 直线的斜率与方向向量的关系
23.已知直线l的一个方向向量为(cs45°,-sin45°),则直线l的倾斜角为( )
A.45° B.-45°
C.135° D.315°
24.过A(4,y),B(2,-3)两点的直线的一个方向向量为n=(-1,-1),则y=( )
A.-32 B.32
C.-1 D.1
25.若直线l的一个方向向量为d=(1,3),则直线l的倾斜角为 .
26.(1)已知点A(1,2),在坐标轴上求一点P,使直线PA的倾斜角为60°;
(2)已知直线l1的方向向量为n=(2,1),直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍,求直线l2的斜率.
能力提升练
题组 直线的倾斜角、斜率及其应用
1.(2020黑龙江伊春伊美第二中学高二上第一次月考,)已知直线的倾斜角的正弦值是32,则此直线的斜率是( )
A.3 B.-3 C.32 D.±3
2.(多选题)(2020广东惠州高一下期末,)如图,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,倾斜角分别为α1,α2,α3,则下列结论正确的是( )
A.k1C.α1<α3<α2 D.α3<α2<α1
3.(2020湖南长沙长郡中学高一下联考,)直线l经过A(2,1),B(1,m2)(m∈R)两点,那么直线l的倾斜角的取值范围为( )
A.[0,π) B.0,π4∪3π4,π
C.0,π4 D.0,π4∪π2,π
4.(2021四川宜宾第四中学高二上开学考试,)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,-1),B(2,0),过点A的直线交x轴于点C(a,0),若直线AC的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍,则a=( )
A.14 B.34 C.1 D.43
5.(多选题)()已知点A(2,4),B(3,3),点P(a,b)是线段AB(包括端点)上的动点,则ba的值可能是( )
A.-1 B.12 C.1 D.32
6.(2020重庆巴蜀中学高考适应性月考,)已知抛物线y=12x2上一点P,过点P作倾斜角互补的两条直线PA,PB分别交抛物线于不同的两点A,B,已知直线AB的斜率为-2,则点P的横坐标为( )
A.2 B.2 C.1 D.-2
7.(2021新高考八省(市)1月联考,)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2,则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为 , .
8.()已知直线AB过点A(3,-5),B(0,-9),倾斜角为α.
(1)若直线CD的倾斜角为2α,则斜率kCD= ;
(2)若直线EF的倾斜角为α2,则斜率kEF= .
9.(2021湖北孝感应城第一高级中学高二上暑期拓展摸底测试,)已知两点A(-1,2),B(m,3),且m∈-33-1,3-1,求直线AB的倾斜角α的取值范围.
10.()已知A(3,3),B(-4,2),C(0,-2)三点.
(1)求直线AB和直线AC的斜率;
(2)若点D在线段BC(包括端点)上运动,求直线AD的斜率的变化范围.
答案全解全析
基础过关练
1.A 任意一条直线都有唯一的倾斜角,故A正确;若直线的倾斜角为α,则α的取值范围是[0,π),所以sinα∈[0,1],故B错误,D错误;倾斜角为0的直线不唯一,所有与x轴平行或重合的直线的倾斜角都是0,故C错误.
2.D 因为直线的倾斜角的取值范围是[0,π),所以θ-5π36∈[0,π),
所以θ∈5π36,41π36.
3.D 由倾斜角的定义知α2=90°,α1<90°,α3>90°,所以α3>α2>α1.故选D.
4.BC 因为直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°,
所以当45°≤α<180°时,直线l1的倾斜角为α-45°,
当0°≤α<45°时,直线l1的倾斜角为180°-(45°-α)=135°+α.
故选BC.
5.答案 π2
解析 因为直线x=π3与x轴垂直,所以其倾斜角为π2.
6.答案 -5
解析 因为直线MN的倾斜角为直角,
所以2m+3=m-2,解得m=-5.
7.D 选项A,B,C,D中,只有D选项中的两点的横坐标相同,所以这两点确定的直线与x轴垂直,即它们确定的直线的斜率不存在.
8.B 因为直线经过点A(1,1),B(2,3),
所以该直线的斜率k=3-12-1=2.故选B.
9.D 因为点A,B,C在同一条直线上,所以kAB=kAC,即b-1-2-3=11-18-3,解得b=-9,故选D.
10.答案 (-1,1)
解析 因为直线l的倾斜角为锐角,
所以其斜率k=m2-11-2>0,解得-111.答案 9
信息提取 ①总产量f(n)与n之间的关系(观察图象);②前m年的年平均产量为f(m)m;③当f(m)m最大时,求m.
数学建模 由前m年的年平均产量为f(m)m,即f(m)-0m-0,联想到过两点的直线的斜率公式,于是可建立关于斜率的数学模型,通过研究斜率的最大值来研究前m年的年平均产量最高问题.结合题图分析哪一点与原点连线的斜率最大.
解析 由题意知,前m年的年平均产量为f(m)m,它表示点(m,f(m))与原点(0,0)连线的斜率,由题图可知,当m=9时,f(9)9最大.
12.解析 如图,当直线l过点(1,2)且平行于x轴时,斜率最小,为0,当直线l过点(1,2)且过原点时,斜率最大,为2,所以过点(1,2),且不经过第四象限的直线l的斜率的取值范围是[0,2].
13.D 因为直线l的倾斜角为120°,所以直线l的斜率为tan120°=-3,故选D.
14.AB 因为当0°<α<90°时,其斜率k=tanα>0,所以A正确;
根据直线倾斜角的定义以及斜率的定义,知B正确;
若一条直线的斜率为tanα,则此直线的倾斜角为β=α+k×180°,k∈Z,且0°≤β<180°,故C不正确;
直线的倾斜角α为锐角时,斜率大于0,直线的倾斜角α为钝角时,斜率小于0,故D不正确.
故选AB.
15.C ∵直线x=1与y轴平行,∴其倾斜角为90°,斜率不存在.
16.B 因为直线l经过点O(0,0)和A(1,1),所以其斜率k=1-01-0=1,则由k=tanα,0°≤α<180°得直线l的倾斜角为45°.
故选B.
17.D 因为k∈-3,33,
所以-3所以α∈0,π6∪2π3,π.故选D.
误区警示
斜率为正时,倾斜角随斜率的增大而增大;斜率为负时,倾斜角也随斜率的增大而增大.由斜率范围求倾斜角范围时,注意分斜率大于0和小于0两种情况讨论.
18.B 由BC边所在直线的斜率是0,知直线BC与x轴平行或重合,又三角形ABC为正三角形,所以∠ABC=∠ACB.所以直线AC,AB的倾斜角互为补角.根据直线斜率的定义,知直线AC,AB的斜率之和为0.故选B.
19.答案 2
解析 由已知得直线AB的斜率为t2,
∵直线AB的倾斜角为45°,∴直线AB的斜率为1,即t2=1,即t=2.
20.答案 33,3
解析 设直线l的倾斜角为α,斜率为k.因为π6≤α<π3,∴tanπ6≤tanα21.解析 设直线l1,l2,l3,l4的倾斜角分别为α,2α,3α,4α.
由0≤4α<π,得0≤α<π4.
由tan2α=2tanα1-tan2α=34,解得tanα=13(tanα=-3舍去),
所以tan3α=tan(α+2α)=tanα+tan2α1-tanαtan2α=139,tan4α=2tan2α1-tan22α=247.
所以直线l1,l3,l4的斜率分别为13,139,247.
22.解析 因为OD∥BC,∠BOD=60°,所以直线OD,BC的倾斜角都是60°,斜率kOD=kBC=tan60°=3.
因为OB在x轴的正半轴上,DC∥OB,
所以直线OB,DC的倾斜角都是0°,斜率kOB=kDC=tan0°=0.
由菱形的性质知,∠COB=30°,∠OBD=60°,
所以直线OC的倾斜角为30°,斜率kOC=tan30°=33,直线BD的倾斜角为∠DBx=180°-60°=120°,斜率kBD=tan120°=-3.
23.C 因为直线l的一个方向向量为(cs45°,-sin45°),所以直线l的斜率为k=-sin45°cs45°=-1,所以直线l的倾斜角为135°.故选C.
24.C 解法一:由直线上的两点A(4,y),B(2,-3),得AB=(-2,-3-y),
又直线AB的一个方向向量为n=(-1,-1),因此n∥AB,
∴(-2)×(-1)-(-3-y)×(-1)=0,
解得y=-1,故选C.
解法二:由直线的一个方向向量为n=(-1,-1),得直线的斜率为-1-1=1,
所以-3-y2-4=1,解得y=-1.故选C.
25.答案 π3
解析 因为直线l的一个方向向量为d=(1,3),
所以直线l的斜率为3,则倾斜角为π3.
26.解析 (1)①当点P在x轴上时,设点P(a,0).
又A(1,2),∴直线PA的斜率k=2-01-a=21-a.
又直线PA的倾斜角为60°,
∴tan60°=21-a,解得a=1-233,
∴点P的坐标为1-233,0.
②当点P在y轴上时,设点P(0,b),同理可得b=2-3,
∴点P的坐标为(0,2-3).
故所求点P的坐标为1-233,0或(0,2-3).
(2)设直线l1的倾斜角为α,则直线l2的倾斜角为2α.
因为直线l1的方向向量为n=(2,1),
所以直线l1的斜率为tanα=12,
所以直线l2的斜率为tan2α=2tanα1-tan2α=43.
能力提升练
1.D 设直线的倾斜角为α(α∈[0,π)),
则sinα=32,所以csα=±12,
所以tanα=sinαcsα=±3,
所以此直线的斜率是±3.故选D.
2.AD 由题图知π>α1>π2>α2>α3>0,
所以k2>k3>0>k1,故选AD.
3.D 直线l的斜率为k=m2-11-2=1-m2,因为m∈R,所以k∈(-∞,1],所以直线l的倾斜角的取值范围为0,π4∪π2,π.故选D.
温馨提示
若直线斜率k不存在,则其倾斜角α=π2;若直线斜率k存在,则当k≥0时,α∈0,π2,当k<0时,α∈π2,π.
4.B 设直线AB的倾斜角为α,则直线AC的倾斜角为2α,且tan2α=2tanα1-tan2α,
由题可知tan2α=kAC=1a,tanα=kAB=12,所以1a=2×121-122,解得a=34,故选B.
5.CD 设k=ba,则k可以看成点P(a,b)与坐标原点O连线的斜率.
当点P在线段AB上由B点运动到A点时,直线OP的斜率由kOB增大到kOA,
如图所示.
又kOB=3-03-0=1,kOA=4-02-0=2,所以1≤k≤2,即ba的取值范围是[1,2].故选CD.
6.A 设P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),易知x1≠x2.
则kAB=y2-y1x2-x1=x222-x122x2-x1=x1+x22=-2,
故x1+x2=-4,
同理,kPA=x0+x12,kPB=x2+x02.
因为直线PA,PB的倾斜角互补,
所以kPA=-kPB,即x0+x12=-x2+x02⇒x1+x2=-2x0,
所以-2x0=-4,x0=2,故选A.
7.答案 -3;13
解析 设正方形的对角线所在直线的倾斜角为α,则tanα=2,且正方形的两条邻边所在直线的倾斜角分别为α+π4,α-π4,
∴tanα+π4=tanα+tanπ41-tanαtanπ4=-3,
tanα-π4=tanα-tanπ41+tanαtanπ4=13,
∴正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为-3,13.
8.答案 (1)-247 (2)12
解析 由已知得tanα=-9+50-3=43.
(1)若直线CD的倾斜角为2α,则斜率kCD=tan2α=2×431-169=-247.
(2)由α∈[0,π),得α2∈0,π2,
所以kEF>0,由2kEF1-kEF2=43,
得kEF=12(kEF=-2舍去).
9.解析 ①当m=-1时,α=π2.
②当m≠-1时,kAB=1m+1∈(-∞,-3]∪33,+∞,∴α∈π6,π2∪π2,2π3.
综合①②可知,直线AB的倾斜角α的取值范围是π6,2π3.
10.解析 (1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB=2-3-4-3=17,直线AC的斜率kAC=-2-30-3=53.故直线AB的斜率为17,直线AC的斜率为53.
(2)如图所示,当点D由点B运动到点C时,直线AD的斜率由kAB增大到kAC,所以直线AD的斜率的变化范围是17,53.