北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.1 一次函数的图象与直线的方程课时作业

第一章　§1　1.1　1.2

A　组·素养自测

一、选择题

1．已知过点P(－2，m)，Q(m,4)的直线的倾斜角为45°，则m的值为(　A　)

A．1　　 B．2　　

C．3　　 D．4

[解析]　直线PQ的斜率k＝tan45°＝1，因此m≠－2，所以由过两点的直线斜率的计算公式得k＝＝1，解得m＝1.

2．若直线l的倾斜角为60°，则直线的法向量可以是n＝(　B　)

A．(1，)　　 B．(，－1)

C．(，－3)　　 D．(，1)

[解析]　∵直线的倾斜角为60°，∴斜率k＝tan 60°＝，∴方向向量a＝λ(1，)，∴直线的法向量可以是n＝(，－1)，故选B．

3．已知点A(1,2)、B(－2,3)、C(4，y)在同一条直线上，则y的值为(　C　)

A．－1　　 B．　　

C．1　　 D．

[解析]　由题意得，kAB＝kAC，∴＝，解得y＝1.

4．若某直线的斜率k∈(－∞，]，则该直线的倾斜角α的取值范围是(　C　)

A．　　 B．

C．∪　　 D．

[解析]　∵直线的斜率k∈(－∞，]，∴k≤tan，∴该直线的倾斜角α的取值范围是∪.故选C．

5．已知直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，如右图所示，则(　D　)

A．k1<k2<k3

B．k3<k1<k2

C．k3<k2<k1

D．k1<k3<k2

[解析]　由图可知直线l1的倾斜角为钝角，所以k1<0；直线l2与直线l3倾斜角均为锐角，且直线l2的倾斜角较大，所以k2>k3>0.∴k2>k3>k1.∴应选D．

6．(多选)下列说法中，不正确的有(　AB　)

A．任何一条直线都有唯一的斜率

B．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大

C．任何一条直线都有唯一的倾斜角

D．任何一条直线都能找出方向向量

[解析]　A错，因为倾斜角为90°的直线没有斜率；B错，因为当0°<α<90°时，k>0，当90°<α<180°时，k<0；C对，D对．

二、填空题

7．已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标为_(3,0)或(0，－3)__.

[解析]　若设点P的坐标为P(x,0)，

则k＝＝tan 45°＝1，∴x＝3，或P(3,0)．

若设点P的坐标为P(0，y)，

则k＝＝tan 45°＝1，

∴y＝－3，即P(0，－3)．

8．已知直线PQ的斜率为－，将直线绕点P顺时针旋转60°所得的直线的斜率是___.

[解析]　设直线PQ的倾斜角为θ，则0°≤θ<180°，

∵kPQ＝－，∴tan θ＝－，则θ＝120°.

将直线绕点P顺时针旋转60°，

所得直线的倾斜角60°，∴其斜率为tan 60°＝.

三、解答题

9．求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角．

(1)(1,1)、(2,4)；(2)(－3,5)、(0,2)；

(3)(4,4)、(4,5)；(4)(10,2)、(－10,2)．

[解析]　(1)k＝＝3>0，∴倾斜角是锐角．

(2)k＝＝－1<0，∴倾斜角是钝角．

(3)倾斜角是90°.

(4)k＝＝0，倾斜角为0°.

10．已知点A(2，－3)、B(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB相交，求直线l的斜率的取值范围．

[解析]　如图，直线l与线段AB相交，只需直线l绕点P按逆时针从PB转到PA，即为直线l的范围．因为kPB＝，kPA＝－4，但过P点且垂直于x轴的直线的斜率是不存在的，所以旋转过程中，l的斜率由kPB变化到无穷大，此时倾斜角在增大．当倾斜角转过90°时，斜率又由无穷小到kPA，所以直线l的斜率的取值范围是(－∞，－4]∪.

B　组·素养提升

一、选择题

1．若A(1,2)，B(3,5)，C(5，m)三点共线，则m＝(　C　)

A．6　　 B．7　　

C．8　　 D．9

[解析]　方法1：∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，

∴＝，∴m＝8.

方法2：＝(2,3)，＝(4，m－2)，

∵A，B，C三点共线，

∴与共线，

∵2(m－2)－12＝0，

∴m＝8.

2．若直线l的一个方向向量为v＝(2＋，)，直线l的倾斜角为(　B　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

[解析]　设直线l的倾斜角为α，则tan α＝＝－1，又α∈[0，π)，tan＝＝－1，所以α＝，故选B．

3．直线l过点A(2,1)，B(3，m2)(m∈R)，则直线l斜率的取值范围为(　A　)

A．[－1，＋∞)　　 B．(－1，＋∞)

C．(－∞，－1)　　 D．(－∞，－1]

[解析]　直线l的斜率k＝＝m2－1，

∵m∈R，∴m2－1≥－1，故选A．

4．如图，方程y＝ax＋表示的直线可能是(　B　)

[解析]　方程y＝ax＋可以看作一次函数，其斜率a和截距同号，只有B符合，其斜率和截距都为负，故选B．

二、填空题

5．已知直线l的倾斜角为2α－20°，则α的取值范围是_[10°，100°)__.

[解析]　由0°≤2α－20°<180°，得10°≤α<100°.故α的取值范围为[10°，100°)．

6．已知点M(x，y)在函数y＝－2x＋8的图象上，当x∈[2,5]时，的取值范围是___.

[解析]　方法1：＝的几何意义是过点M(x，y)，N(－1，－1)的直线的斜率．

∵点M在函数y＝－2x＋8的图象上，且x∈[2,5]，所以点M在以A(2,4)，B(5，－2)为端点的线段上，如图所示．

易知kNA＝，kNB＝－，所以－≤≤.

∴(x∈[2,5])的取值范围是.

方法2：由点M(x，y)在函数y＝－2x＋8的图象上，得＝＝＝－2＋(x∈[2,5])，

∴(x∈[2,5])的取值范围是.

三、解答题

7．(1)当且仅当m为何值时，经过两点A(－m,6)、B(1,3m)的直线的斜率为12?

(2)当且仅当m为何值时，经过两点A(m,2)、B(－m,2m－1)的直线的倾斜角是45°？

[解析]　(1)由题意，得＝12，

解得m＝－2.

(2)由题意，得＝1，解得m＝.

8．已知A(1,1)、B(3,5)、C(a,7)、D(－1，b)四点在同一条直线上，求直线的斜率k及a，b的值．

[解析]　∵A、B、C、D四点共线，

∴直线AB、AC、AD的斜率相等，即kAB＝＝2，

kAC＝，kAD＝，

∴2＝＝.解得a＝4，b＝－3.

∴所求直线的斜率k的值为2，a的值为4，b的值为－3.