高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册第一章 直线与圆2 圆与圆的方程2.2 圆的一般方程同步测试题

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册第一章 直线与圆2 圆与圆的方程2.2 圆的一般方程同步测试题，共13页。试卷主要包含了已知圆C等内容，欢迎下载使用。

题组一 圆的一般方程的理解
1.(2020江苏徐州高一下期末)圆x2+y2-4x+6y-1=0的圆心坐标为( )
A.(-2,3) B.(2,-3)
C.(-2,-3) D.(2,3)
2.(2020湖南岳阳高一下教学质量监测)x2+y2-x+y+r=0表示一个圆,则r的取值范围是( )
A.(-∞,2] B.(-∞,2)
C.-∞,12 D.-∞,12
3.方程x2+y2+2ax-b2=0表示的图形是( )
A.一个圆
B.只有当a=0时,才能表示一个圆
C.一个点
D.a,b不全为0时,才能表示一个圆
4.(2020河北邢台一中高二上期末)若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2,-4)为圆心,4为半径的圆,则F的值为( )
A.2 B.4 C.3 D.5
5.(多选题)(2020江苏南京秦淮中学高一下期中)已知圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0,则下列说法正确的是( )
A.圆M的圆心为(4,-3)
B.x轴被圆M截得的弦长为8
C.圆M的半径为5
D.圆M经过点(1,-1)
题组二 求圆的一般方程
6.(2020湖北荆门高二上期末)圆心为C(-1,1),半径为2的圆的一般方程为( )
A.x2+y2+2x-2y-2=0 B.x2+y2-2x+2y-2=0
C.x2+y2+2x-2y=0 D.x2+y2-2x+2y=0
7.(2021福建厦门一中高二月考)求经过三点A(-1,0),B(3,0),C(1,2)的圆的一般方程.
8.(2020湖南长沙浏阳高一上期末)已知圆C经过点O(0,0),A(8,-4),且圆心C在直线l:x-y-7=0上,求圆C的一般方程.
9.(2020湖北武汉新洲一中高一月考)已知圆C:x2+y2+mx+ny+4=0关于直线x+y+1=0对称,圆心C在第四象限,半径为1,求圆C的一般方程.
题组三 圆的一般方程的应用
10.(2020辽宁丹东高三上期末教学质量监测)圆x2+y2-2x-2y-7=0的圆心到直线x+y=0的距离为( )
A.2 B.3 C.2 D.3
11.(多选题)(2020江西师大附中高二上月考)若点A(a,a)在圆x2+y2-2ax+a2+2a-3=0外,则实数a的值可以是( )
A.-5 B.-4 C.4 D.5
12.(2020北京第四中学高二上期中)圆x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线3x+4y+8=0的最大距离是 .
13.(2021湖北武汉第一中学高二上联考)已知圆C:x2+y2-6x-8y=0,求x2+y2的最大值与最小值的和.
能力提升练
题组一 求圆的方程
1.(2021天津第二十中学高二上第一次月考,)已知圆与两坐标轴均相切,且圆心在直线2x-3y+5=0上,求圆的方程.
2.(2020江西玉山一中高一下第一次联考,)已知直线l:(k-1)x-2y+5-3k=0(k∈R)恒过定点P,圆C经过点A(4,0)和点P,且圆心在直线x-2y+1=0上.
(1)求定点P的坐标;
(2)求圆C的方程.
3.(2021江西南昌第二中学高二上第一次考试,)已知圆C过点A(4,2),B(1,3),它与x轴的交点为(x1,0),(x2,0),与y轴的交点为(0,y1),(0,y2),且x1+x2+y1+y2=6,求圆C的一般方程.
题组二 圆的方程的应用
4.(2021黑龙江鹤岗第一中学高二月考,)若圆x2+y2-2ax+3by=0的圆心位于第三象限,那么直线x+ay+b=0一定不经过( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5.(2020陕西渭南高一上期末,)若直线mx+2ny-4=0始终平分圆x2+y2-4x+2y-4=0,则m、n的关系是( )
A.m-n-2=0 B.m+n-2=0
C.m+n-4=0 D.m-n+4=0
6.(2021山东滕州第一中学高二月考,)当方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆取得最大面积时,直线y=(k-1)x+2的倾斜角α等于( )
A.135° B.45° C.60° D.120°
7.(2021黑龙江肇东第四中学高二上第一次月考,)圆x2+y2+2x-2y-2=0上到直线l:x+y+2=0的距离为1的点共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8.(2020河北石家庄第二中学高一下期末,)已知两点A(0,3),B(-4,0),若点P是圆x2+y2-2y=0上的动点,求△ABP面积的最大值.
9.(2020山东枣庄高三模拟考试,)已知P(m,n)是函数y=-x2-2x图象上的动点,求|4m+3n-21|的最小值.
10.(2020陕西渭南高二上竞赛,)已知平面直角坐标系中的点P(x,y)的坐标x,y满足x2+y2-6x+4y+4=0,记μ=x2+y2+2x-4y的最大值为M,最小值为m.
(1)请说明点P的轨迹是怎样的图形;
(2)求M+m的值.
答案全解全析
基础过关练
1.B x2+y2-4x+6y-1=0可化为(x-2)2+(y+3)2=14,所以圆心坐标为(2,-3),故选B.
2.C 因为x2+y2-x+y+r=0表示一个圆,所以(-1)2+12-4r>0,解得r<12,即x2+y2-x+y+r=0表示一个圆时,r的取值范围是-∞,12,故选C.
3.D 方程x2+y2+2ax-b2=0可化为(x+a)2+y2=a2+b2,所以当a=b=0时,方程表示一个点;当a,b不全为0时,方程表示一个圆.
故选D.
4.B 因为方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2,-4)为圆心,4为半径的圆,
所以-D2=2,-E2=-4,D2+E2-4F2=4,解得D=-4,E=8,F=4,
经检验符合题意,所以F的值为4.故选B.
5.ABC 因为圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0,所以圆M的标准方程为(x-4)2+(y+3)2=52,故圆心为(4,-3),半径为5,故A、C正确;令y=0,得x=0或x=8,故x轴被圆M截得的弦长为8,故B正确;把点(1,-1)代入圆M的方程,可知其不满足方程,所以点(1,-1)不在圆上,故D错.故选ABC.
6.A 圆心为C(-1,1),半径为2的圆的方程为(x+1)2+(y-1)2=4,即x2+y2+2x-2y-2=0.故选A.
7.解析 设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由于圆经过三点A(-1,0),B(3,0),C(1,2),故1-D+F=0,9+3D+F=0,1+4+D+2E+F=0,
解得D=-2,E=0,F=-3.
故圆的一般方程为x2+y2-2x-3=0.
8.解析 设圆C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则F=0,64+16+8D-4E+F=0,-D2--E2-7=0,
解得D=-6,E=8,F=0,
所以圆C的一般方程为x2+y2-6x+8y=0.
9.解析 将圆C化为标准方程,得x+m22+y+n22=m2+n2-164,∴圆心C-m2,-n2,半径r=m2+n2-162,由已知得-m2-n2+1=0,m2+n2-162=1⇒m=-2,n=4或m=4,n=-2,又圆心C在第四象限,∴C(1,-2),∴圆C的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=1,一般方程为x2+y2-2x+4y+4=0.
10.A 将圆x2+y2-2x-2y-7=0化为标准方程,可得(x-1)2+(y-1)2=9,则圆心为(1,1),由点到直线的距离公式可得d=|1+1|2=2.故选A.
11.AB 解法一:由题意得(-2a)2+02-4(a2+2a-3)>0,解得a<32.
又点A(a,a)在圆x2+y2-2ax+a2+2a-3=0外,所以a2+a2-2a2+a2+2a-3>0,
即a2+2a-3>0,解得a<-3或a>1.
综上所述,a的取值范围为(-∞,-3)∪1,32,故选AB.
解法二:把圆的方程化为标准方程为(x-a)2+y2=3-2a,设圆心为P,则P(a,0),半径r=3-2a,易知3-2a>0,所以a<32.若点A(a,a)在圆x2+y2-2ax+a2+2a-3=0外,则|AP|=(a-a)2+(a-0)2>r=3-2a,即有a2>3-2a,整理可得a2+2a-3>0,即(a+3)(a-1)>0,计算可得a<-3或a>1,又a<32,所以实数a的取值范围是(-∞,-3)∪1,32.
故选AB.
12.答案 4
解析 由题意可得,圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,所以圆心的坐标为(1,1),半径r=1,则圆心到直线的距离d=|3+4+8|32+42=3,所以最大距离是3+1=4.
13.解析 把圆的一般方程化为标准方程为(x-3)2+(y-4)2=25,可知圆心C(3,4),半径r=5,由d=(x-0)2+(y-0)2可知x2+y2表示圆上的点与原点距离的平方,又圆心到原点的距离为32+42=5,所以圆上的点到原点距离的最大值为10,最小值为0(圆过原点),即x2+y2的最大值为100,最小值为0,故x2+y2的最大值与最小值的和为100.
能力提升练
1.解析 由圆心在直线2x-3y+5=0上,设圆心的坐标为a,2a+53,因为圆与两坐标轴均相切,所以|a|=2a+53,解得a=5或a=-1.当a=5时,圆心为(5,5),半径为5,则圆的方程为(x-5)2+(y-5)2=25;当a=-1时,圆心为(-1,1),半径为1,则圆的方程为(x+1)2+(y-1)2=1.故所求圆的方程为(x-5)2+(y-5)2=25或(x+1)2+(y-1)2=1.
2.解析 (1)直线l:(k-1)x-2y+5-3k=0(k∈R),变形得k(x-3)-(x+2y-5)=0,令x-3=0,x+2y-5=0,解得x=3,y=1,
即直线l恒过定点P(3,1).
(2)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由条件可得16+4D+F=0,9+1+3D+E+F=0,-D2-2×-E2+1=0,
解得D=-14,E=-8,F=40,
即圆C的方程为x2+y2-14x-8y+40=0.
3.解析 设圆C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
令y=0,得x2+Dx+F=0,
所以x1+x2=-D;
令x=0,得y2+Ey+F=0,所以y1+y2=-E,
所以x1+x2+y1+y2=-(D+E)=6,
所以D+E=-6.①
又圆C过点A(4,2),B(1,3),
所以有42+22+4D+2E+F=0,②
12+32+D+3E+F=0,③
由①②③得D=-4,E=-2,F=0,
所以圆C的一般方程为x2+y2-4x-2y=0.
4.D 易知圆x2+y2-2ax+3by=0的圆心为a,-32b,则a<0,b>0.直线x+ay+b=0可化为y=-1ax-ba,其斜率k=-1a>0,在y轴上的截距为-ba>0,所以直线一定不经过第四象限,故选D.
5.A 圆x2+y2-4x+2y-4=0的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=9,圆心为(2,-1),∵直线mx+2ny-4=0始终平分圆x2+y2-4x+2y-4=0,∴圆心在直线上,即m×2+2n×(-1)-4=0,即m-n-2=0.故选A.
6.A 方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆的标准方程为x+k22+(y+1)2=1-3k24,则r2=1-3k24,当此圆取得最大面积时,k=0,此时r=1,则直线y=(k-1)x+2即为y=-x+2,所以tanα=-1,因为0°≤α<180°,所以α=135°,故选A.
7.C 圆x2+y2+2x-2y-2=0可化为(x+1)2+(y-1)2=4,所以圆心为(-1,1),半径r=2,圆心(-1,1)到直线l:x+y+2=0的距离d=|-1+1+2|1+1=1,所以d=12r,所以圆x2+y2+2x-2y-2=0上到直线l:x+y+2=0的距离为1的点共有3个.故选C.
8.解析 由已知得直线AB的方程为x-4+y3=1,即3x-4y+12=0.
圆x2+y2-2y=0的标准方程为x2+(y-1)2=1,所以圆心为(0,1),半径r=1,则圆心到直线的距离d=|3×0-4×1+12|32+(-4)2=85,|AB|=5,要使△ABP的面积最大,则圆上的点P到直线AB的距离最大,最大距离为d+r=135,所以△ABP面积的最大值为12×5×135=132.
9.解析 将y=-x2-2x整理得(x+1)2+y2=1(y≥0),可知其图象是半圆,记圆心为C,则C(-1,0),半径r=1,如图,作直线4x+3y-21=0,则C到直线4x+3y-21=0的距离d=|-4+0-21|42+32=5,P(m,n)到直线4x+3y-21=0的距离d'=|4m+3n-21|5,其最小值为5-1=4,∴|4m+3n-21|的最小值为5×4=20.
10.解析 (1)x2+y2-6x+4y+4=0可化为(x-3)2+(y+2)2=9.因此,点P的轨迹是以(3,-2)为圆心,3为半径的圆.
(2)μ=x2+y2+2x-4y=(x+1)2+(y-2)2-5,设C1(3,-2),C2(-1,2),则μ=|C2P|2-5,|C2C1|=(-1-3)2+(2+2)2=42.
易知|C2P|max=|C2C1|+3=42+3,
|C2P|min=|C2C1|-3=42-3,
∴M=(42+3)2-5,m=(42-3)2-5,
∴M+m=72.