2021学年1.5 平面上的距离巩固练习

这是一份2021学年1.5 平面上的距离巩固练习，共13页。试卷主要包含了直线l1等内容，欢迎下载使用。

基础过关练
题组一 两点间的距离公式及应用
1.已知点A(3,4),B(-1,1),则线段AB的长度是( )
A.5 B.25 C.29 D.29
2.设A(3,4),在x轴上有一点P(x,0),使得PA=5,则x等于( )
A.0 B.6
C.0或6 D.0或-6
3.(2019福建漳州平和第一中学高三月考)已知点A(0,1),点B在直线x+y+1=0上运动.当AB最小时,点B的坐标是( )
A.(-1,1) B.(-1,0) C.(0,-1) D.(-2,1)
4.已知点M(-1,3)和点N(5,1),点P(x,y)到点M,N的距离相等,则x,y满足的条件是 .
5.已知两点P(m,1)和Q(1,2m)之间的距离大于10,则实数m的取值范围是 .
6.如图,已知△ABC的三个顶点A(-3,1),B(3,-3),C(1,7).
(1)判断△ABC的形状;
(2)求△ABC的面积.
题组二 中点坐标公式的应用
7.在平面直角坐标系中,已知A(1,-2), B(3,0),那么线段AB中点的坐标为( )
A.(2,-1) B.(2,1)
C.(4,-2) D.(-1,2)
8.直线l1:kx-y-2k+4=0与x轴交于点M,直线l2:x+ky-4k-2=0与y轴交于点N,线段MN的中点为P,则点P的坐标(x,y)满足的方程为( )
A.2x-y=0 B.x+2y-5=0
C.2x+y=0 D.2x+y-4=0
9.点A在x轴上,点B在y轴上,线段AB的中点M的坐标是(3,4),则AB的长为 .
10.已知菱形的三个顶点的坐标分别为(0,0),(a,b),(-b,a),求第四个顶点的坐标.
题组三 与对称有关的问题
11.(2020宁夏大学附属中学高一期末)若点P(3,4)和点Q(a,b)关于直线x-y-1=0对称,则( )
A.a=5,b=2 B.a=2,b=-1
C.a=4,b=3 D.a=1,b=-2
12.某光线l从P(2,1)射出,经x轴反射后,通过点Q(4,3),则入射光线l所在直线的方程为( )
A.y=0 B.x-2y+5=0
C.2x+y-5=0 D.2x-y+5=0
13.点A(2,2)关于直线2x-4y+9=0的对称点的坐标为 .
14.已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2).求:
(1)点A关于直线l的对称点A'的坐标;
(2)直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m'的方程;
(3)直线l关于点A对称的直线l'的方程.
能力提升练
题组一 两点间的距离及中点坐标公式的应用
1.(2020江苏靖江第一高级中学高二月考,)已知点A(1,2),B(3,1),则线段AB的垂直平分线的方程是( )
A.4x+2y=5 B.4x-2y=5
C.x+2y=5 D.x-2y=5
2.(2020四川成都高三月考,)已知P(cs α,sin α),Q(cs β,sin β),则PQ的最大值为( )
A.2 B.2 C.4 D.22
3.()已知点A(-1,2),B(3,4).P是x轴上一点,且PA=PB,则△PAB的面积为 .
4.()若P(-1,6),Q(3,0),延长QP到点A,使AP=13PQ,则点A的坐标为 .
5.()直线l过点P(1,4),且分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A,B两点,O为坐标原点.
(1)当OA+OB最小时,求l的方程;
(2)当PA·PB最小时,求l的方程.
题组二 与对称有关的问题
6.()若点(a,b)关于直线y=2x的对称点在x轴上,则a,b满足的条件为( )
A.4a+3b=0 B.3a+4b=0
C.2a+3b=0 D.3a+2b=0
7.()将一张画了直角坐标系(两坐标轴单位长度相同)的纸折叠一次,使点(2,0)与点(-2,4)重合,则与点(5,8)重合的点是( )
A.(6,7) B.(7,6) C.(-5,-4) D.(-4,-5)
8.()已知A(3,0),B(0,3),从点P(0,2)射出的光线经x轴反射到直线AB上,又经过直线AB反射到P点,则光线所经过的路程为( )
A.210 B.6 C.26 D.26
9.()直线3x-y+3=0关于x-y-2=0对称的直线方程为 .
10.(2020江西南昌新建一中高二月考,)已知直线l1:3x-y-1=0及点A(1,7)和B(0,4),Q为l1上一动点.
(1)求AQ+BQ的最小值,并求出此时点Q的坐标;
(2)在(1)的条件下,直线l2经过点Q且与x轴、y轴的正半轴分别交于C、D两点,当直线l2与两坐标轴围成的三角形面积取得最小值时,求直线l2的方程.
题组三 运用坐标法解决平面几何问题
11.(2020山东潍坊一中高二月考,)函数f(x)=x2+1+x2-4x+8的最小值等于 .
12.()在△ABC中,AD是BC边上的中线,求证:AB2+AC2=2(AD2+DC2).
答案全解全析
基础过关练
1.5 平面上的距离
1.5.1 平面上两点间的距离
基础过关练
1.A 因为A(3,4),B(-1,1),
所以AB=(3+1)2+(4-1)2=5.故选A.
2.C 由PA=5,得(3-x)2+(4-0)2=25,解得x=6或x=0.
3.B 因为点B在直线x+y+1=0上运动,所以设点B的坐标为(x,-x-1),由两点间的距离公式可知AB=(x-0)2+(-x-1-1)2=2x2+4x+4=2(x+1)2+2,显然x=-1时,AB有最小值,最小值为2,此时点B的坐标是(-1,0),故选B.
4.答案 3x-y-4=0
解析 由PM=PN,得(x+1)2+(y-3)2=(x-5)2+(y-1)2,即3x-y-4=0.
5.答案 -∞,-45∪(2,+∞)
解析 由题意及两点间的距离公式可得PQ=(m-1)2+(1-2m)2=5m2-6m+2>10.
∴5m2-6m-8>0,∴m<-45或m>2.
6.解析 (1)解法一:
∵AB=(3+3)2+(-3-1)2=52,
AC=(1+3)2+(7-1)2=52,
BC=(1-3)2+(7+3)2=104,
∴AB2+AC2=BC2,且AB=AC,
∴△ABC是等腰直角三角形.
解法二:∵kAC=7-11-(-3)=32,
kAB=-3-13-(-3)=-23,
∴kAC·kAB=-1,∴AC⊥AB.
又AC=(1+3)2+(7-1)2=52,
AB=(3+3)2+(-3-1)2=52,
∴AC=AB,∴△ABC是等腰直角三角形.
(2)S△ABC=12AC·AB=12×(52)2=26,
∴△ABC的面积为26.
7.A 因为A(1,-2),B(3,0),则线段AB中点的坐标为(2,-1).故选A.
8.B 由题意得M2-4k,0,N0,4+2k,因此P1-2k,2+1k,满足x+2y-5=0,故选B.
9.答案 10
解析 设A(x,0),B(0,y),
因为AB的中点M的坐标是(3,4),
所以由中点坐标公式得x=6,y=8,
所以点A(6,0),B(0,8),
则由两点间的距离公式得AB=(0-6)2+(8-0)2=100=10.
10.解析 设第四个顶点的坐标为(x0,y0),
令A(a,b),B(-b,a),C(0,0),D(x0,y0).
由菱形的相邻两边长度相等和AC=BC,AC⊥BC,
可知AB为对角线,则AB的中点和CD的中点重合.
由中点坐标公式得a-b2=x0+02,a+b2=y0+02,解得x0=a-b,y0=a+b,
所以第四个顶点的坐标为(a-b,a+b).
11.A 由题意得b-4a-3=-1,a+32-b+42-1=0,解得a=5,b=2.故选A.
12.C 记Q(4,3)关于x轴的对称点为Q',则Q'(4,-3),
所以直线PQ':y-1x-2=-3-14-2,即2x+y-5=0.
因此入射光线l所在直线的方程为2x+y-5=0.
故选C.
13.答案 (1,4)
解析 设点A(2,2)关于直线2x-4y+9=0的对称点为B(a,b),
则AB中点坐标为2+a2,2+b2,且中点在直线2x-4y+9=0上,
直线AB与直线2x-4y+9=0垂直,斜率之积为-1,
所以2×2+a2-4×2+b2+9=0,b-2a-2×12=-1,解得a=1,b=4,
所以所求对称点的坐标为(1,4).
14.解析 (1)设A'(x,y),
则y+2x+1×23=-1,2×x-12-3×y-22+1=0,解得x=-3313,y=413,
即A'-3313,413.
(2)在直线m上任取一点,如取M(2,0),则M(2,0)关于直线l的对称点必在直线m'上.
设对称点为M'(a,b),
则2×a+22-3×b+02+1=0,b-0a-2×23=-1,
解得a=613,b=3013,即M'613,3013.
设直线m与l的交点为N,
联立2x-3y+1=0,3x-2y-6=0,得N(4,3).
又m'经过点N(4,3),
∴由直线的两点式方程得y-33013-3=x-4613-4,即9x-46y+102=0.
(3)解法一:在直线l上任取两点,如取P(1,1),N(4,3),则P,N关于点A的对称点P',N'均在直线l'上.
易知P'(-3,-5),N'(-6,-7),由直线的两点式方程可得l'的方程为y+5-7+5=x+3-6+3,即2x-3y-9=0.
解法二:设Q(x,y)为l'上任意一点,
设Q(x,y)关于点A(-1,-2)的对称点为Q',则Q'(-2-x,-4-y),
∵Q'在直线l上,∴2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,即2x-3y-9=0.
能力提升练
1.B 线段AB的中点坐标为2,32,因为直线AB的斜率k=1-23-1=-12,所以线段AB的垂直平分线的斜率为2.由直线的点斜式方程,可得所求垂直平分线的方程为y-32=2(x-2),即4x-2y=5.
2.B ∵P(cs α,sin α),Q(cs β,sin β),
∴PQ=(csα-csβ)2+(sinα-sinβ)2
=cs 2α+cs 2β-2csαcsβ+sin 2α+sin 2β-2sinαsinβ
=(cs 2α+sin 2α)+(cs 2β+sin 2β)-2(csαcsβ+sinαsinβ)
=2-2cs(α-β).
∵cs(α-β)∈[-1,1],∴PQ∈[0,2].
故选B.
3.答案 152
解析 设AB的中点为M,则M(1,3),
kAB=4-23-(-1)=12,
所以AB的中垂线方程为y-3=-2(x-1),即2x+y-5=0.
令y=0,得x=52,即P点的坐标为52,0,
AB=(-1-3)2+(2-4)2=25,
点P到直线AB的距离为PM=1-522+32=352,
所以S△PAB=12AB·PM=12×25×352=152.
4.答案 -73,8
解析 设A(x0,y0),则kPQ=6-0-1-3=-32,kAP=y0-6x0-(-1)=y0-6x0+1,因为P,Q,A在同一条直线上,所以y0-6=-32(x0+1).
由AP=13PQ,得(x0+1)2+(y0-6)2=13(-1-3)2+(6-0)2,
所以12+-322|x0+1|=2133,
得|x0+1|=43,解得x0=-73或x0=13,
易知,点A在点P的左上方,
所以x0=-73,从而y0=-32×-73+1+6=8.
故点A的坐标为-73,8.
5.解析 依题意知,l的斜率存在,且斜率为负,
设直线l的斜率为k(k<0),
则直线l的方程为y-4=k(x-1).
令y=0,可得A1-4k,0;
令x=0,可得B(0,4-k).
(1)OA+OB=1-4k+(4-k)=5-k+4k=5+-k+4-k≥5+4=9,
当且仅当-k=4-k且k<0,即k=-2时,等号成立,
这时OA+OB取最小值,l的方程为2x+y-6=0.
(2)PA·PB=4k2+16·1+k2=41-k+(-k)≥8,
当且仅当1-k=-k且k<0,即k=-1时,等号成立,
这时PA·PB取最小值,l的方程为x+y-5=0.
6.A 设点(a,b)关于直线y=2x的对称点为(t,0),则有b-0a-t×2=-1,b+02=2×a+t2,解得4a+3b=0.
故选A.
7.A 记A(2,0),B(-2,4).由已知得折线为线段AB的垂直平分线,
AB的中点C的坐标为(0,2),AB所在直线的斜率为4-0-2-2=-1,
故折线的斜率为1,故折线的方程为y=x+2,
设点(5,8)关于直线y=x+2的对称点为P(x0,y0),
则y0+82=x0+52+2,y0-8x0-5=-1,解得x0=6,y0=7.
故选A.
8.C 直线AB的方程为x+y=3,
点P(0,2)关于x轴的对称点为P1(0,-2),
设点P1(0,-2)关于直线AB的对称点为P2(a,b),在x轴上的反射点记为点Q,在AB上的反射点记为点M,如图,
则kAB·kP1P2=-1·b+2a=-1①,且P1P2的中点a2,b-22在直线x+y=3上,
所以a2+b-22=3②,联立①②,解得a=5,b=3,即P2(5,3),
根据反射原理的对称性,光线所经过的路程为
PQ+QM+MP=P1Q+QM+MP=P1M+MP=MP2+MP=P2P=(5-0)2+(3-2)2
=26.
故选C.
9.答案 x-3y-11=0
解析 设M(x,y)是所求直线上的任一点,点M关于直线x-y-2=0的对称点为N(m,n),
则y-nx-m×1=-1,x+m2-y+n2-2=0,解得m=y+2,n=x-2,
即N(y+2,x-2).
因为N点在直线3x-y+3=0上,所以将(y+2,x-2)代入3x-y+3=0,
得3(y+2)-(x-2)+3=0,
整理得 x-3y-11=0.
10.解析 (1)设B关于直线l1的对称点为B'(x0,y0),
则y0-4x0×3=-1,3×x02-y0+42-1=0,
解得x0=3,y0=3,即B'(3,3),
∴(AQ+BQ)min=(AQ+B'Q)min=AB'=(1-3)2+(7-3)2=25,
此时,kAB'=7-31-3=-2,
∴AB'的方程为y-3=-2(x-3),
即2x+y-9=0,
联立2x+y-9=0,3x-y-1=0,
解得x=2,y=5,即Q(2,5).
(2)由(1)及题意可设直线l2的方程为y-5=k(x-2)(k<0),
令y=0,则x=-5k+2,
令x=0,则y=5-2k,
所以S△OCD=12×-5k+2×|5-2k|=1220-4k-25k,
S△OCD取得最小值时,4k=25k且k<0,即k=-52,
∴直线l2的方程为y-5=-52(x-2),即5x+2y-20=0.
解题模板
若两点在直线同侧,则求直线上一点与此两点距离和的最小值时,一般作一点关于直线的对称点,连接对称点与另一点的线段长即为最小值;求直线与坐标轴围成三角形的面积的最值时,一般需要利用直线的截距表示面积,根据基本不等式求最值.
11.答案 13
解析 由于f(x)=x2+1+x2-4x+8=(x-0)2+(0+1)2+(x-2)2+(0-2)2,因此f(x)表示点P(x,0)到两点A(0,-1),B(2,2)的距离的和,当P,A,B三点共线时,f(x)取得最小值,最小值为AB=(0-2)2+(-1-2)2=13,故函数f(x)的最小值为13.
12.证明 以BC边所在直线为x轴,D为坐标原点,建立平面直角坐标系,如图所示,设A(b,c),C(a,0),则B(-a,0).
∵AB2=(a+b)2+c2,AC2=(a-b)2+c2,
AD2=b2+c2,DC2=a2,
∴AB2+AC2=2(a2+b2+c2),
AD2+DC2=a2+b2+c2,
∴AB2+AC2=2(AD2+DC2).
解题模板
利用坐标法解决平面几何问题常见的步骤:
(1)建立平面直角坐标系,尽可能将有关元素放在坐标轴上.
(2)用坐标表示有关的量.
(3)将几何关系转化为坐标运算.
(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系.