苏教版 (2019)选择性必修第一册1.5 平面上的距离复习练习题

这是一份苏教版 (2019)选择性必修第一册1.5 平面上的距离复习练习题，共5页。
1．点P(1，－1)到直线l：3y＝2的距离是( )
A．3 B.eq \f(5,3)
C．1 D.eq \f(\r(2),2)
解析：选B 点P(1，－1)到直线l的距离d＝eq \f(|3×（－1）－2|,\r(02＋32))＝eq \f(5,3)，选B.
2．已知点M(1，4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m＝( )
A．0 B.eq \f(3,4)
C．3 D．0或eq \f(3,4)
解析：选D 点M到直线l的距离d＝eq \f(|m＋4－1|,\r(m2＋1))＝eq \f(|m＋3|,\r(m2＋1))，所以eq \f(|m＋3|,\r(m2＋1))＝3，解得m＝0或m＝eq \f(3,4)，选D.
3．(多选)已知A(－2，－4)，B(1，5)两点到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值可能为( )
A．－3 B．3
C．－2 D．1
解析：选AB 由题意得eq \f(|－2a－4＋1|,\r(a2＋1))＝eq \f(|a＋5＋1|,\r(a2＋1))，解得a＝－3或a＝3.
4．(多选)与直线l：2x＋y＋1＝0平行且到l的距离等于eq \f(\r(5),5)的直线方程为( )
A．2x＋y＝0 B．2x＋y＋2＝0
C．2x＋y－2＝0 D．2x＋y＋1＝0
解析：选AB 设所求直线方程为2x＋y＋c＝0，由题意得eq \f(|c－1|,\r(22＋12))＝eq \f(\r(5),5)，解得c＝0或c＝2.
5．已知点A(1，3)，B(3，1)，C(－1，0)，则△ABC的面积等于( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选C 设AB边上的高为h，则S△ABC＝eq \f(1,2)|AB|·h.|AB|＝ eq \r(（3－1）2＋（1－3）2)＝2eq \r(2)，AB边上的高h就是点C到直线AB的距离．AB边所在的直线方程为eq \f(y－3,1－3)＝eq \f(x－1,3－1)，即x＋y－4＝0.点C到直线x＋y－4＝0的距离为eq \f(|－1＋0－4|,\r(2))＝eq \f(5,\r(2))，因此，S△ABC＝eq \f(1,2)×2eq \r(2)×eq \f(5,\r(2))＝5.
6．若点(2，k)到直线5x－12y＋6＝0的距离是4，则k的值是________．
解析：∵eq \f(|5×2－12k＋6|,\r(52＋122))＝4，
∴|16－12k|＝52，∴k＝－3或k＝eq \f(17,3).
答案：－3或eq \f(17,3)
7．已知直线3x＋y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则m＝________，它们之间的距离是________．
解析：∵3x＋y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，∴m＝2.直线6x＋2y＋1＝0可以化为3x＋y＋eq \f(1,2)＝0，由两条平行直线间的距离公式，得d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋3)),\r(32＋12))＝eq \f(7\r(10),20).
答案：2 eq \f(7\r(10),20)
8．经过点P(－3，4)，且与原点的距离等于3的直线l的方程为________．
解析：(1)当直线l的斜率不存在时，原点到直线l：x＝－3的距离等于3，满足题意；
(2)当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y－4＝k(x＋3)，
即kx－y＋3k＋4＝0.
原点到直线l的距离d＝eq \f(|3k＋4|,\r(k2＋（－1）2))＝3，
解得k＝－eq \f(7,24).
直线l的方程为7x＋24y－75＝0.
综上可知，直线l的方程为x＝－3或7x＋24y－75＝0.
答案：x＝－3或7x＋24y－75＝0
9．求过点P(0，2)且与点A(1，1)，B(－3，1)等距离的直线l的方程．
解：法一：∵点A(1，1)与B(－3，1)到y轴的距离不相等，∴直线l的斜率存在，设为k.
又直线l在y轴上的截距为2，则直线l的方程为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0.
由点A(1，1)与B(－3，1)到直线l的距离相等，
得eq \f(|k－1＋2|,\r(k2＋1))＝eq \f(|－3k－1＋2|,\r(k2＋1))，解得k＝0或k＝1.
∴直线l的方程是y＝2或x－y＋2＝0.
法二：当直线l过线段AB的中点时，直线l与点A，B的距离相等．
∵AB的中点是(－1，1)，又直线l过点P(0，2)，
∴直线l的方程是x－y＋2＝0；
当直线l∥AB时，直线l与点A，B的距离相等．
∵直线AB的斜率为0，
∴直线l的斜率为0，∴直线l的方程为y＝2.
综上所述，满足条件的直线l的方程是x－y＋2＝0或y＝2.
10．已知直线l过点P(0，1)，且分别与直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0交于B，A两点，线段AB恰被点P平分．
(1)求直线l的方程；
(2)设点D(0，m)，且AD∥l1，求△ABD的面积．
解：(1)∵点B在直线l1上，∴可设B(a，8－2a)．
又P(0，1)是AB的中点，∴A(－a，2a－6)．
∵点A在直线l2上，∴－a－3(2a－6)＋10＝0，
解得a＝4，即B(4，0)．
故直线l的方程是x＋4y－4＝0.
(2)由(1)，知A(－4，2)．
又AD∥l1，∴kAD＝eq \f(2－m,－4－0)＝－2，∴m＝－6.
点A到直线l1的距离d＝eq \f(|2×（－4）＋2－8|,\r(22＋12))＝eq \f(14\r(5),5)，
|AD|＝ eq \r(（－4－0）2＋（2＋6）2)＝4eq \r(5)，
∴S△ABD＝eq \f(1,2)|AD|·d＝eq \f(1,2)×4eq \r(5)×eq \f(14\r(5),5)＝28.
[B级 综合运用]
11．已知两平行直线l1，l2分别过点P(－1，3)，Q(2，－1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．[0，5]
C．(0，5] D．[0，eq \r(17)]
解析：选C 当直线l1，l2与直线PQ垂直时，它们之间的距离d达到最大，此时d＝eq \r([2－（－1）]2＋（－1－3）2)＝5，∴0＜d≤5.
12．(多选)已知在△ABC中，A(3，2)，B(－1，5)，点C在直线3x－y＋3＝0上．若△ABC的面积为10，则点C的坐标可以为( )
A．(－1，0) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，8))
C．(1，6) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)，－2))
解析：选AB 由|AB|＝5，△ABC的面积为10，得点C到直线AB的距离为4.设C(x，3x＋3)，利用点到直线的距离公式可求得x＝－1或x＝eq \f(5,3).故点C坐标为(－1，0)或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，8)).
13．已知5x＋12y＝60，则 eq \r(x2＋y2)的最小值是________．
解析： eq \r(x2＋y2)表示直线5x＋12y＝60上的点到原点的距离，在所有这些点到原点距离中，过原点且垂直于直线5x＋12y＝60的垂线段的长最小，故最小值为d＝eq \f(60,\r(52＋122))＝eq \f(60,13).
答案：eq \f(60,13)
14．如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形的面积为4，求直线l2的方程．
解：设l2的方程为y＝－x＋b(b>1)，
则A(1，0)，D(0，1)，B(b，0)，C(0，b)．
∴|AD|＝eq \r(2)，|BC|＝eq \r(2)b.
梯形的高h就是A点到直线l2的距离，
故h＝eq \f(|1＋0－b|,\r(2))＝eq \f(|b－1|,\r(2))＝eq \f(b－1,\r(2))(b>1)，
由梯形的面积公式得eq \f(\r(2)＋\r(2)b,2)×eq \f(b－1,\r(2))＝4，
∴b2＝9，b＝±3.
又b>1，∴b＝3.
从而得直线l2的方程是x＋y－3＝0.
[C级 拓展探究]
15．已知实数x，y满足x＋y＋1＝0，试探究S＝eq \r(（x－1）2＋（y－1）2)的最小值．
解：设M(x，y)，N(1，1)，则点M在直线x＋y＋1＝0上，
又因为S＝eq \r(（x－1）2＋（y－1）2)的几何意义是M，N两点间的距离，即S＝|MN|，
∴S＝|MN|的最小值应为点N(1，1)到直线l的距离，
即|MN|min＝d＝eq \f(|1＋1＋1|,\r(2))＝eq \f(3\r(2),2)，
故S的最小值为eq \f(3\r(2),2).