高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册1.3 两条直线的平行与垂直课时训练

这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册1.3 两条直线的平行与垂直课时训练，共13页。试卷主要包含了已知直线l1，下列说法中正确的有等内容，欢迎下载使用。

题组一 两条直线平行
1.(多选)l1,l2为两条不同的直线,下列说法中正确的是( )
A.若直线l1与l2的斜率相等,则l1∥l2
B.若直线l1∥l2,则两直线的斜率相等
C.若直线l1,l2的斜率均不存在,则l1∥l2
D.若两直线的斜率都存在且不相等,则两直线不平行
2.(2021安徽合肥六中高三上月考)已知A(-1,2),B(2,0),C(x,3),且A,B,C三点共线,则x= .
3.若过点P(3,2m)和点Q(-m,2)的直线与过点M(2,-1)和点N(-3,4)的直线平行,则m的值是 .
4.根据下列条件,判断直线l1与直线l2是否平行.
(1)l1经过点A(-1,1),B(2,3),l2经过点C(1,0),D(-2,-2);
(2)l1的斜率为2,l2经过点A(1,1),B(2,2);
(3)l1的倾斜角为60°,l2经过点M(1,3),N(-2,-23);
(4)l1经过点E(-3,2),F(-3,10),l2经过点P(5,-2),Q(5,5).
5.(2020江苏无锡锡山高级中学高二月考)求与直线3x+4y+9=0平行,并且和两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积是24的直线方程.
题组二 两条直线垂直
6.(2020湖北武汉外国语学校高二期中)已知直线l1:x+y+2=0与l2:x-y-1=0,则这两条直线的位置关系是( )
A.重合 B.平行
C.垂直 D.不能确定
7.(2020江苏无锡羊尖高级中学期中)过点(3,2)且与直线x-4y-5=0垂直的直线方程是( )
A.4x+y-5=0 B.x-4y+5=0
C.4x-y-10=0 D.4x+y-14=0
8.(2020江苏泰兴第一高级中学高二月考)下列说法中正确的有( )
①平行的两条直线的斜率一定存在且相等;
②平行的两条直线的倾斜角一定相等;
③垂直的两直线的斜率之积为-1;
④只有斜率相等的两条直线才平行.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
9.(2020江苏南京秦淮中学高二期中)直线y=x+1上一点P的横坐标是3,把已知直线绕点P按逆时针方向旋转90°后所得的直线方程是 .
10.已知直线l1,l2的方程分别是l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不全为0),l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全为0),且A1A2+B1B2=0,求证:l1⊥l2.
题组三 两条直线平行和垂直的应用
11.(2020山东德州第一中学月考)已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(5,-1),B(1,1),C(2,3),则该三角形为( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.无法判断
12.(2020山东临沂第一中学期中)如图,在平行四边形OABC中,A(3,0),C(1,3).
(1)求AB所在直线的方程;
(2)过点C作CD⊥AB于点D,求CD所在直线的方程.
能力提升练

题组一 两条直线平行
1.(2020江苏扬州仪征第二中学月考,)设a∈R,则“a=2”是“直线l1:x+2ay-1=0与直线l2:ax+4y+2=0平行”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
2.(多选)(2020广东肇庆实验中学高二期中,)直线l1:(a2-1)x+ay-1=0,l2:(a-1)x+(a2+a)y+2=0,l1∥l2,则a的值可能是( )
A.-1 B.0 C.1 D.-2
3.(2020河北保定高二期末,)已知过原点O的一条直线与函数y=lg8x的图象交于A,B两点,分别过点A,B作y轴的平行线与函数y=lg2x的图象交于C,D两点.
(1)证明:点C,D和原点O在同一条直线上;
(2)当直线BC平行于x轴时,求点A的坐标.
题组二 两条直线垂直
4.(2020江苏扬州宝应中学高二期中,)设向量a=(a,1),b=(1,b)(ab≠0),若a⊥b,则直线b2x+y=0与直线x-a2y=0的位置关系是( )
A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直 D.重合
5.(2020四川资阳高一期末,)已知直线l1:ax+y-2=0,l2:(a+3)x-2by+1=0(a>0,b>0)互相垂直,则ab的取值范围为( )
A.0,13 B.0,23 C.13,1 D.(3,+∞)
6.()在平面直角坐标系中,有一矩形OABC,其中O(0,0),A(2,0),C(0,1),将矩形折叠,使O点落在线段BC上,设折痕所在直线的斜率为k,则k的取值范围为 .
7.()如图,在平面直角坐标系xOy中,设三角形ABC的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0),点P(0,p)为线段AO上的一点(异于端点),这里a,b,c,p均为非零实数,设直线BP,CP分别与边AC,AB交于点E,F.若BE⊥AC,求证:CF⊥AB.
题组三 两条直线平行和垂直的应用
8.(2020山东东营第一中学高二月考,)若a,b为正实数,直线2x+(2a-3)y+2=0与直线bx+2y-1=0垂直,则1a+1b的最小值为( )
A.23 B.98+22
C.29 D.13(3+22)
9.(2020广东潮州高一期中,)已知倾斜角为α的直线l与直线x-2y-3=0垂直,则cs2 023π2-α的值为 .
10.()如图所示,一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路,已知矩形花园长AD=5 m,宽AB=3 m,其中一条小路定为AC,另一条小路过点D,问如何在BC上找到一点M,使得两条小路所在直线AC与DM垂直?
11.(2021山东枣庄八中高二上月考,)平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(-2,0),点B的坐标为(4,3),点C的坐标为(1,-3),且AM=tAB(t∈R).
(1)若CM⊥AB,求t的值;
(2)当0≤t≤1时,求直线CM的斜率k的取值范围.
答案全解全析
基础过关练
1.ACD 易知ACD正确;在B中,若直线l1∥l2,则两直线的斜率相等或斜率均不存在,因此B错误.
2.答案 -52
解析 因为A(-1,2),B(2,0),C(x,3),且A,B,C三点共线,所以kAB=0-22-(-1)=-23=kBC=3-0x-2,解得x=-52.
3.答案 -13
解析 由题意得kPQ=kMN,所以2-2m-m-3=4-(-1)-3-2,解得m=-13.
检验:直线MN为y=-x+1,当m=-13时,Q13,2不在直线上,所以m=-13时,两直线平行.
4.解析 (1)∵kl1=3-12-(-1)=23,kl2=-2-0-2-1=23,∴kl1=kl2,易验证l1与l2不重合,∴l1∥l2.
(2)∵kl2=2-12-1=1≠kl1=2,∴l1不平行于l2.
(3)∵kl1=tan 60°=3,kl2=3+231+2=3,
∴kl1=kl2,∴l1∥l2或l1,l2重合.
(4)∵l1,l2斜率均不存在且不重合,∴l1∥l2.
5.解析 解法一:∵直线3x+4y+9=0,即y=-34x-94的斜率为-34,
∴设所求直线方程为y=-34x+bb≠-94.
令x=0,得y=b;令y=0,得x=4b3.
由题意知,b>0且4b3>0,∴b>0,∴12×b×4b3=24,解得b=6(b=-6舍去),
∴所求直线方程为y=-34x+6,即3x+4y-24=0.
解法二:设所求直线方程为3x+4y+m=0(m≠9).令x=0,得y=-m4;
令y=0,得x=-m3.
由题意得-m4>0,-m3>0,解得m<0,
∴12×-m4×-m3=24,解得m=-24(m=24舍去),
∴所求直线方程为3x+4y-24=0.
6.C 因为直线l1:x+y+2=0的斜率k1=-1,直线l2:x-y-1=0的斜率k2=1,k1k2=-1,
所以这两条直线的位置关系是垂直.故选C.
易错警示
若直线l1⊥l2,则k1k2=-1或其中一条直线垂直于x轴,另一条直线垂直于y轴两种情况.若k1k2=-1,则一定有l1⊥l2.
7.D 易知直线x-4y-5=0的斜率k=14,
因为两直线垂直,所以所求直线的斜率为-4.
又所求直线过点(3,2),所以所求直线方程为y-2=-4(x-3),即4x+y-14=0.
故选D.
8.B 对于①,当两条直线都与x轴垂直且不重合时,两直线平行,但它们的斜率不存在,所以①错误;
对于②,由直线倾斜角定义可知②正确;
对于③,当一条直线平行于x轴,另一条直线平行于y轴时,两直线垂直,但斜率之积不为-1,所以③错误;
对于④,当两条直线斜率都不存在且不重合时,两直线平行,所以④错误.
故正确的有1个.故选B.
9.答案 x+y-7=0
解析 由题意得,所求直线过点P(3,4),且与直线y=x+1垂直,故所求直线的斜率为-1,
利用点斜式得所求直线的方程为y-4=-(x-3),即x+y-7=0.
10.证明 ①当B1=0时,A1≠0,由A1A2+B1B2=0得A2=0,则B2≠0,
这时,两直线分别变为l1:A1x+C1=0,l2:B2y+C2=0,显然l1⊥l2;
②当B2=0时,同理可证l1⊥l2;
③当B1B2≠0时,l1:y=-A1B1x-C1B1,l2:y=-A2B2x-C2B2,∵A1A2+B1B2=0,∴A1A2=-B1B2,即A1A2B1B2=-1,∴-A1B1·-A2B2=-1,∴l1⊥l2.
11.A 由题意得kAB=1+11-5=-12,kBC=3-12-1=2,∴kAB·kBC=-1,∴AB⊥BC,∴△ABC为直角三角形.
故选A.
方法技巧
已知点的坐标判断图形形状时,应先画出图形,由图形猜测其形状,然后根据形状的特征用代数方法进行验证.
12.解析 (1)平行四边形OABC中,点A(3,0),C(1,3),AB∥OC,
∴kAB=kOC=3-01-0=3,
∴AB所在直线的方程为y-0=3(x-3),
即3x-y-9=0.
(2)∵CD⊥AB,∴kCD·kAB=-1,
由(1)知kAB=3,∴kCD=-13,
∴CD所在直线的方程为y-3=-13(x-1),即x+3y-10=0.
能力提升练
1.C 直线l1:x+2ay-1=0与直线l2:ax+4y+2=0平行⇔1a=2a4≠-12,解得a=2,所以“a=2”是“直线l1:x+2ay-1=0与直线l2:ax+4y+2=0平行”的充要条件.故选C.
方法技巧
(1)若直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则l1∥l2⇔k1=k2且b1≠b2.
(2)若直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0且B1C2-C1B2≠0(或A2C1-A1C2≠0).
2.BCD 易得(a2-1)(a2+a)=a(a-1),整理得a2(a-1)(a+2)=0,解得a=0(二重根)或a=1或a=-2.
当a=0时,l1:x+1=0,l2:x-2=0,l1∥l2成立;
当a=1时,l1:y-1=0,l2:y+1=0,l1∥l2成立;
当a=-2时,l1:3x-2y-1=0,l2:3x-2y-2=0,l1∥l2成立.
综上所述,a的值可能为0,1,-2.
故选BCD.
3.解析 (1)证明:设A,B的横坐标分别为x1,x2(x1≠x2).由题意,知x1>1,x2>1,A(x1,lg8x1),B(x2,lg8x2),C(x1,lg2x1),D(x2,lg2x2),且lg8x1x1=lg8x2x2,
又kOC=lg2x1x1=3lg8x1x1,kOD=lg2x2x2=3lg8x2x2,所以kOC=kOD,
即点C,D和原点O在同一条直线上.
(2)由(1)知B(x2,lg8x2),C(x1,lg2x1).
由直线BC平行于x轴,得lg2x1=lg8x2,
所以x2=x13,将其代入lg8x1x1=lg8x2x2,得x13lg8x1=3x1lg8x1,
由x1>1,知lg8x1≠0,故x13=3x1,
所以x1=3,于是A(3,lg83).
4.B 向量a=(a,1),b=(1,b)(ab≠0),若a⊥b,则a·b=a+b=0,即b=-a,
直线b2x+y=0可化为y=-a2x,直线x-a2y=0可化为y=1a2x,
两直线斜率之积为-a2·1a2=-1,
所以两直线垂直.故选B.
5.B ∵直线l1:ax+y-2=0,l2:(a+3)x-2by+1=0(a>0,b>0)互相垂直,
∴a(a+3)-2b=0,∴ab=2a+3,
∵a>0,b>0,∴2a+3∈0,23,
∴ab的取值范围为0,23.
故选B.
6.答案 [-2,0]
解析 ∵O点折叠后落在线段BC上,设为D点,
∴O点与D点关于折痕对称,
∴OD所在直线与折痕所在直线垂直,
易得B(2,1),则kOB=12.
当D点落在线段BC(不含C点)上时,
OD所在直线的斜率的取值范围是12,+∞,
∴k的取值范围为[-2,0).
当D点与C点重合时,∵直线OC的斜率不存在,∴折痕所在直线的斜率为0,
∴k的取值范围为[-2,0].
7.证明 由点B(b,0)和点P(0,p)知直线BP的斜率为-pb,
由点A(0,a)和C(c,0)知直线AC的斜率为-ac,
因为BE⊥AC,所以-pb·-ac=-1,即pa=-bc.
由点C(c,0)和P(0,p)知直线CP的斜率为-pc,由点A(0,a)和B(b,0)知直线AB的斜率为-ab,
所以直线CP和直线AB的斜率之积为-pc·-ab=pabc=-bcbc=-1,
所以CP⊥AB,即CF⊥AB.
8.D 因为a,b为正实数,直线2x+(2a-3)y+2=0与直线bx+2y-1=0垂直,
所以2b+(2a-3)×2=0,即2a+b=3,
所以1a+1b=13×(2a+b)1a+1b
=133+ba+2ab≥133+2ba·2ab
=13(3+22),
当且仅当ba=2ab,即b=2a时,等号成立,
所以1a+1b的最小值为13(3+22).
故选D.
9.答案 -255
解析 ∵倾斜角为α的直线l与直线x-2y-3=0垂直,
∴tan α×12=-1,∴tan α=-2,
∵0≤α<π,∴π2<α<π.
∵sinαcsα=tan α=-2,∴cs α=-12sin α,代入sin 2α+cs 2α=1,解得sin α=255(负值舍去).
∴cs2 023π2-α=cs1 011π+π2-α
=-csπ2-α=-sin α=-255.
10.解析 如图所示,以点B为坐标原点,BC、BA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系.
由AD=5 m,AB=3 m,可得C(5,0),D(5,3),A(0,3).
设点M的坐标为(x,0),
因为AC⊥DM,所以kAC·kDM=-1,
即0-35-0·0-3x-5=-1,解得x=3.2,
即BM=3.2 m时,两条小路所在直线AC与DM垂直.
解题模板
利用解析法解决几何问题时,首先建立平面直角坐标系,求出点的坐标,再利用题设中的条件,列出方程(组)解决问题.
11.解析 (1)由题意可得AB=(4+2,3-0)=(6,3),AM=tAB=(6t,3t),AC=(1+2,-3-0)=(3,-3),
∴CM=AM-AC=(6t-3,3t+3),
∵CM⊥AB,∴CM·AB=6(6t-3)+3(3t+3)=45t-9=0,解得t=15.
(2)由0≤t≤1,AM=tAB,可得点M在线段AB上(含端点),由题中A、B、C三点坐标,可得经过A、C两点的直线的斜率k1=-1,经过C、B两点的直线的斜率k2=2,
则由图可知,直线CM的斜率k的取值范围为k≤-1或k≥2.