数学选择性必修第一册4.2 等差数列巩固练习

这是一份数学选择性必修第一册4.2 等差数列巩固练习，共28页。
基础过关练
题组一 等差数列中基本量的计算
1.(2020湖南娄底高二期末)记等差数列{an}的前n项和为Sn.若a6=4,S19=114,则S15=( )
A.45 B.75 C.90 D.95
2.在等差数列{an}中,已知a1=10,d=2,Sn=580,则n=( )
A.10 B.15 C.20 D.30
3.(多选)(2021江苏盐城响水中学高二月考)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S3=0,a4=8,则( )
A.Sn=2n2-6n B.Sn=n2-3n
C.an=4n-8 D.an=2n
4.(2021江苏南通平潮高级中学高二期中)设Sn为等差数列{an}的前n项和,已知S2=2,S4=16,则a6= .
5.(2021江苏宿迁桃州中学高二月考)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S9=72,则a5= .
题组二 数列的前n项和Sn与an的关系
6.(2021吉林第二中学高二月考)已知Sn为数列{an}的前n项和,且满足Sn=n2+4n+2,则a3+a4+a5=( )
A.10 B.11 C.33 D.34
7.在各项均大于零的数列{an}中,首项a1=1,前n项和Sn满足SnSn-1-Sn-1Sn=2SnSn-1(n∈N*且n≥2),则a81=( )
A.638 B.639 C.640 D.641
8.(2021山西朔州怀仁一中月考)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2+4,则an= .
9.(2021江苏南京高三一模)已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,且2Sn=anan+1,n∈N*,则a4= ;若a1=2,则S20= .
10.(1)已知数列{bn}的前n项和Tn=2n2+n+3,求数列{bn}的通项公式;
(2)设各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足Sn=14(an+1)2,求an.
题组三 求等差数列的前n项和
11.在数列{an}中,an=1n+1+2n+1+…+nn+1(n∈N*),又bn=1anan+1,则数列{bn}的前n项和Sn为( )
A.4nn+1 B.2nn+1 C.n2n-1 D.2n2n+1
12.(2021江苏南通平潮高级中学高二期中)谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家,在他的《好玩的数学》一书中,有一篇文章《五分钟挑出埃及分数》,文章告诉我们,古埃及人喜欢使用分子为1的分数(称为埃及分数).则下列埃及分数11×3,13×5,15×7,…,12 019×2 021的和是( )
A.2 0202 021 B.1 0102 021
C.1 0092 019 D.2 0182 019
13.已知数列{an}的通项公式为an=lgn+1n,则其前n项和Sn= .
14.(2021河北邯郸高三摸底考试)已知各项均不为0的数列{an}满足a1=23,an-an+1=32anan+1(n∈N*).
(1)求证:数列1an为等差数列,并求数列{an}的通项公式;
(2)设Sn为数列{anan+1}的前n项和,证明:SnS7,则S5>S6
4.(多选)(2021江苏南通高三一模)设{an}是等差数列,公差为d,Sn是其前n项和,且S5S8,则下列结论正确的是( )
A.dS5
D.S6与S7均为Sn的最大值
题组二 等差数列的综合问题
5.数列{an}的首项为3,{bn}为等差数列,且bn=an+1-an(n∈N*),若b3=-2,b10=12,则a8=( )
A.0 B.3 C.8 D.11
6.在小于100的自然数中,所有被7除余2的数的和为( )
A.765 B.665
C.763 D.663
7.(2021湖南长沙长郡、雅礼、一中、附中高三联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn,S5=23,Sn=360,当n>5时,Sn-5=183,则n= .
8.(2021陕西咸阳百灵中学高二月考)已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,且SnTn=7n+5n+3,则a7b7= .
9.(2021四川成都名校联盟高三联考)已知数列{an}对任意m,n∈N*都满足am+n=am+an,且a1=1,若对于任意的正整数n,都有λan≤an2+12,则实数λ的最大值为 .
10.(2020湖南长沙一中高二期末)已知等差数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,且满足a1+a5=27a32,S7=63.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足b1=a1,且bn+1-bn=an+1,求数列1bn的前n项和Tn.
题组三 等差数列前n项和的实际应用
11.“嫦娥”奔月,举国欢庆.据科学计算,运载“嫦娥”飞船的“长征三号甲”火箭点火1 min内通过的路程为2 km,以后每分钟通过的路程都增加2 km,在到达离地面240 km的高度时,火箭与飞船分离,则这一过程需要的时间是( )
A.10 min B.13 min
C.15 min D.20 min
12.现有200根相同的钢管,把它们堆成正三角形垛,要使剩余的钢管数最少,那么剩余钢管的根数为 .
13.某人用分期付款的方式购买一件家电,价格为1 150元,购买当天先付150元,以后每月的这一天都交付50元,并加付欠款利息,月利率为1%.若交付150元后的一个月为分期付款的第一个月,则分期付款的第10个月应付款多少元?付清全部贷款后,买这件家电实际花费多少元?
能力提升练
题组一 等差数列的综合问题
1.(2020河南濮阳高二上期末,)已知数列{an}的各项均为正数,且a1+a2+…+an=n2+n(n∈N*),则数列ann的前n项和为( )
A.n2+2n+1 B.2n2+2n
C.3n2+n D.2n2+n
2.(2020安徽阜阳高二上期末,)将正偶数排成如图所示的三角形数阵,其中第i行(从上向下)第j个(从左向右)数表示为aij(i,j∈N*),例如a32=10.若aij=2 020,则i-j=( )
A.21 B.22 C.23 D.25
3.(多选)(2021江苏宿迁桃州中学高二月考,)设等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d.已知a3=12,S12>0,a70
B.-24718,n∈N*时,Tn+1Tn=9101+2na9>…,故S6与S7均为Sn的最大值,即选项D正确.
故选ABD.
5.B 设数列{bn}的公差为d.
∵b3=-2,b10=12,∴b1+2d=-2,b1+9d=12,
解得b1=-6,d=2,∴bn=-6+(n-1)×2=2n-8,
∴an+1-an=2n-8,又a1=3,
∴a2-a1=2×1-8,
a3-a2=2×2-8,
a4-a3=2×3-8,
……
a8-a7=2×7-8,
以上各式相加得,a8-a1=2×(1+2+3+…+7)-8×7=0,∴a8=a1=3.
6.B 被7除余2的自然数构成等差数列,设该等差数列为{an},an∈N,其首项a1=2,公差d=7,则an=a1+(n-1)d=7n-5,n∈N*,又an0,且a1+a1+4d=27(a1+2d)2,7a1+21d=63,
∴a1=3,d=2,
故an=2n+1.
解法二:设等差数列{an}的公差为d.
∵{an}是等差数列,且a1+a5=27a32,
∴2a3=27a32.又an>0,∴a3=7.
∵S7=7(a1+a7)2=7a4=63,∴a4=9,
∴d=a4-a3=2,∴an=a3+(n-3)d=2n+1.
(2)∵bn+1-bn=an+1,且an=2n+1,
∴bn+1-bn=2n+3,b1=a1=3.
∴当n≥2时,
bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1=(2n+1)+(2n-1)+…+5+3=n(n+2),
当n=1时,b1=3,满足此式,
∴bn=n(n+2),
∴1bn=1n(n+2)=121n-1n+2,
∴Tn=1b1+1b2+…+1bn-1+1bn
=121-13+12-14+13-15+…+1n-1-1n+1+1n-1n+2
=121+12-1n+1-1n+2
=34-2n+32(n+1)(n+2).
11.C 由题设条件知,火箭每分钟通过的路程数构成以2为首项,2为公差的等差数列,设其前n项和为Sn,则Sn=2n+n(n-1)2×2=n2+n=n(n+1),令Sn=240,解得n=15或n=-16(舍去).
12.答案 10
解析 由题意可知,从上到下各层钢管数构成了一个等差数列,最上面一层的钢管数为1,逐层增加1.设该等差数列为{an},其前n项和为Sn,
则Sn=1+2+3+…+n=n(n+1)2,n∈N*.
当n=19时,S19=190;
当n=20时,S20=210>200.
所以当n=19时,剩余钢管的根数最少,最少为10.
13.解析 购买家电时支付150元,则欠款为1 000元,每月付50元,则需20次付清,设交付150元后的每个月的交款数额依次构成数列{an},
则a1=50+1 000×1%=60,
a2=50+(1 000-50)×1%=59.5,
……
a10=50+(1 000-9×50)×1%=55.5,
即分期付款的第10个月应付款55.5元.
故{an}是以60为首项,-0.5为公差的等差数列,且1≤n≤20,n∈N*,
所以a1+a2+…+a20=60+(60-19×0.5)2×20=1 105,
所以付清全部贷款后,买这件家电实际花费1 105+150=1 255(元).
所以分期付款的第10个月应付款55.5元,付清全部贷款后,买这件家电实际花费1 255元.
能力提升练
1.B ∵a1+a2+…+an=n2+n,①
∴当n=1时,a1=2,
当n≥2时, a1+a2+…+an-1=(n-1)2+(n-1),②
①-②并整理,得an=2n(n≥2),
经检验,当n=1时也满足,
∴an=2n,n∈N*,即an=4n2,n∈N*.
∴ann=4n,∵an+1n+1-ann=4(n+1)-4n=4,a11=4,∴ann是首项为4,公差为4的等差数列,它的前n项和为n(4+4n)2=2n2+2n.故选B.
易错警示
本题考查了由数列的前n项和求通项公式以及等差数列的前n项和公式.在由数列的前n项和Sn求{an}的通项公式时,要注意a1=S1,an=Sn-Sn-1,n≥2,n∈N*,求出{an}的通项公式后必须检验a1是否适合此式.
2.D 由题意知,这个数阵的第一行有1个偶数,第二行有2个偶数,……,第n行有n个偶数,所以前n行的偶数的总个数为n(n+1)2,
又由题图可知,数阵中的数依次构成以2为首项,2为公差的等差数列,所以第n行的最后一个偶数为2+n(n+1)2-1×2=n(n+1).
当n=44时,44×45=1 980,当n=45时,45×46=2 070,所以aij=2 020在第45行,
又aij=2 020=1 980+2×20,
所以2 020是第45行的第20个偶数,
即2 020这个数位于第45行第20列,
所以i-j=45-20=25,故选D.
3.ABC 根据题意,等差数列{an}中,S12>0,即S12=(a1+a12)×122=(a6+a7)×122=6(a6+a7)>0,由a70,A正确;
因为a3=12,且a6>0,a70,
所以a6=12+3d>0,a7=12+4d0,解得-2471,符合;
当n=5时,c5=15165,n∈N*时,cn+1-cn=(n+1)(n+2)2n+1-n(n+1)2n=(n+1)(2-n)2n+15,n∈N*时均不符合.
综上所述,n∈{2,3,4}.
6.答案 4;1 0071 008
解析 若对任意的m,n∈N*,都有am+n=am+an,则令m=n=2,得a4=a2+a2=4.
令m=n=1,得a2=a1+a1=2,所以a1=1,
令m=1,则an+1=a1+an=an+1,
∴an+1-an=1,
∴数列{an}是以1为首项,1为公差的等差数列,∴an=n,
∴a1+a3+a5+…+a2 013a2+a4+a6+…+a2 014=(1+2 013)×1 0072(2+2 014)×1 0072=2 0142 016=1 0071 008.
7.答案 n;-n+2n+1,n为奇数,n∈N*-nn+1,n为偶数,n∈N*
解析 因为2Sn=n2+n(n∈N*),
所以当n≥2,n∈N*时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)2=n,
当n=1时,S1=a1=1+12=1,符合此式,所以an=n.
因为bn=(-1)na2n+1an·an+1=(-1)n(2n+1)n(n+1)=(-1)n1n+1n+1.
当n为偶数,n∈N*时,Tn=-1+12+12+13-13+14+…-1n-1+1n+1n+1n+1,
所以Tn=1n+1-1=-nn+1,n为偶数,n∈N*;
当n为奇数,n∈N*时,Tn=Tn-1+bn,所以Tn=-n-1n-1n+1n+1=-n+2n+1,n为奇数,n∈N*.
综上,Tn=-n+2n+1,n为奇数,n∈N*,-nn+1,n为偶数,n∈N*.
8.答案 230
解析 由题意,设An(m,y),则m2-y2=4n+4,
双曲线En:x2-y2=4n+4(n∈N*)的渐近线方程为y=±x.
因为点An在En的两条渐近线上的投影分别为点Bn,Cn(不妨设点Bn在直线y=x上,点Cn在直线y=-x上),
所以|AnBn|=|m-y| 2,|AnCn|=|m+y| 2,
由两条渐近线相互垂直,可得AnBn⊥AnCn,所以△AnBnCn的面积an=12·AnBn·AnCn=12·|m-y| 2·|m+y| 2=14|m2-y2|=n+1,
因此数列{an}的前20项和为a1+a2+…+a20=2+3+…+21=20×(2+21)2=230.
9.B 根据题意,小李同学每天跑的路程数依次构成等差数列,设为{an},
则a1+a2+a3=3a2=3 600,故a2=1 200,a13+a14+a15=3a14=10 800,故a14=3 600,
则这15天小李同学总共跑的路程数为12×(a1+a15)×15=12(a2+a14)×15=36 000.故选B.
10.答案 A
信息提取 (1)棉花的总斤数为996;(2)分别赠送给8个子女;(3)从第1个孩子开始,以后每人依次多17斤,直到第8个孩子为止.
数学建模 本题以我国古代数学名著《算法统宗》中的八子分棉花问题为背景,构建等差数列模型,利用数列知识求解.利用等差数列的前n项和公式,先求出a1,再求a8即可.
解析 依题意得,8个子女所分得的棉花斤数依次构成等差数列,设该等差数列为{an},1≤n≤8,n∈N*,公差为d,前n项和为Sn,第1个孩子所分得的棉花斤数为a1,则由题意得d=17,S8=8a1+8×72×17=996,解得a1=65,则a8=a1+(8-1)d=184.故选A.
11.D 由题意得Sn+1是以an+1为宽,an+2为长的矩形的面积,即Sn+1=an+1an+2=an+1(an+1+an)=an+12+an+1·an,故A正确;a1+a2+…+an=(a3-a2)+(a4-a3)+(a5-a4)+…+(an+1-an)+(an+2-an+1)=an+2-a2=an+2-1,故B正确;
4(cn+2-cn+1)=4π4an+22-π4an+12=π(an+2+an+1)·(an+2-an+1)=πan+3·an,故C正确;
a1+a3+a5+…+a2n-1=a1+(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n-3+a2n-2)=a1+a3-a2+a4-a3+a5-a4+a6-a5+…+a2n-1-a2n-2+a2n-a2n-1=a2n-a2+a1=a2n≠a2n-1,
所以D错误.故选D.
12.信息提取 (1)用180万元购买一套新设备;(2)该套设备预计平均每年能给企业带来100万元的收入;(3)第一年需要各种维护费用10万元;(4)从第二年开始,每年所需的维护费用比上一年增加10万元.
数学建模 本题是以企业生产利润为情境的实际问题,由题中信息“每年所需的维护费用比上一年要增加10万元”,可构建等差数列模型求解.企业总利润等于总收入减去总支出,其中维护费用逐年构成等差数列,利用等差数列的前n项和公式求出x年的总维护费用,建立总利润y(万元)与使用年数x(x∈N*)的函数关系,再利用基本不等式求其最大值.
解析 (1)由题意知,x年的总收入为100x万元,x年的总维护费用为10(1+2+3+…+x)=5x(x+1)万元,
∴y=100x-5x(x+1)-180=-5x2+95x-180,x∈N*.
(2)由(1)知,年平均利润为yx万元,yx=-5x+36x+95,x∈N*,∵x+36x≥2x·36x=12,当且仅当x=36x,即x=6时等号成立,
∴当x=6时,yx有最大值,yxmax=35.
∴这套设备使用6年,可使年平均利润最大,最大年平均利润为35万元.2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
……