高中数学4.2 等差数列示范课课件ppt

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第4章 数列
4.2　等差数列
第一课时　等差数列的概念与通项公式
4.2.1　等差数列的概念
4.2.2　等差数列的通项公式
课标要求
1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义.2.体会等差数列与一次函数的关系.3.掌握等差数列的判定方法.
素养要求
在根据实例抽象出等差数列的概念并归纳出等差数列的通项公式的过程中，发展学生的数学抽象和逻辑推理素养.
问题导学预习教材必备知识探究
内容索引
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1
一、等差数列的概念1.思考　观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题. ①在过去的300多年里，人们记下了哈雷慧星出现的时间：1682，1758，1834，1910，1986. ②我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用的确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为：275，270，265，260，255，250，…. ③为增强体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了班内5名男生1分钟内引体向上的个数：10，10，10，10，10.
以上数列有什么共同特征？你能预测一下哈雷慧星下一次出现的时间吗？
提示　对于①，我们发现1 758－1 682＝76，1 834－1 758＝76，1 910－1 834＝76，1 986－1 910＝76，也就是说该数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，于是我们可以大胆预测下一次哈雷慧星出现的时间应该是1 986＋76＝2 062.对于②有270－275＝－5…；对于③，10－10＝0，有同样的取值规律.
2.填空　
二
前一项
同一个常数
常数
d
温馨提醒　(1)“从第二项起”是因为首项没有“前一项”.(2)一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差即使等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为当这些常数不同时，该数列不是等差数列，因此定义中强调“同一个常数”，注意不要漏掉这一条件.
3.做一做　思考辨析，判断正误(1)常数列是等差数列.( )(2)若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.( )提示　差都是同一个常数时，才是等差数列.(3)数列{an}满足an＋1－an＝1(n＞1)，则数列{an}是等差数列.( )提示　{an}不一定是等差数列，忽略了第1项.(4)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列.( )
√
×
×
√
二、等差数列的通项公式1.思考　你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？提示　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则由等差数列的定义可知，an－an－1＝d(n≥2).思路一：an＝an－1＋d，故有a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝a1＋3d，…，归纳可得，an＝a1＋(n－1)d(n≥2).当n＝1时，上式为a1＝a1＋(1－1)d＝a1，公式仍然成立.所以等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d.
思路二：a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，…an－an－1＝d(n≥2)，左右两边分别相加可得，an－a1＝(n－1)d，即an＝a1＋(n－1)d(n≥2).当n＝1时，上式为a1＝a1＋(1－1)d＝a1，公式仍然成立.所以等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d.
2.填空　等差数列的通项公式(1)以a1为首项，d为公差的等差数列{an}的通项公式an＝_________________.(2)从函数角度认识等差数列{an}若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d).①点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上；②这些点的横坐标每增加1，函数值增加____.
a1＋(n－1)d
d
温馨提醒　等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个量(首项a1，公差d，项数n和第n项an)，如果知道了其中的任意三个，就可以由通项公式求出第四个.
3.做一做　等差数列－3，－1，1，…的通项公式为an＝________.
2n－5
解析　由题知，a1＝－3，d＝2，an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5.
三、等差中项1.思考　若5，x，y，z，21成等差数列，则y的值为多少？提示　由题知，y－5＝21－y，∴2y＝26，∴y＝13.
2.填空　(1)条件：如果a，A，b成等差数列.(2)结论：那么A叫作a与b的等差中项.(3)满足的关系式是______________.
a＋b＝2A
3.做一做　已知实数m是1和5的等差中项，则m＝(　　)
C
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
2
例1 在等差数列{an}中，
题型一　等差数列的通项公式及相关计算
(1)已知a1＝2，d＝3，n＝10，求an；(2)已知a1＝3，an＝21，d＝2，求n；
解　(1)an＝a10＝a1＋(10－1)d＝2＋9×3＝29.(2)由an＝a1＋(n－1)d得3＋2(n－1)＝21，解得n＝10.
解　(3)由a6＝a1＋5d得12＋5d＝27，解得d＝3.(4)由a7＝a1＋6d得a1－2＝8，解得a1＝10，
思维升华　等差数列通项公式中的四个参数及其关系
训练1 (1)已知{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝(　　)
B
B
例2 在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列.
题型二　等差中项及其应用
A
(2)已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是(　　)A.2 B.3 C.6 D.9
B
解析　由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.两式相加，得3m＋3n＝18，即m＋n＝6.
题型三　等差数列的判定
例3 (1)已知数列{an}是等差数列，设bn＝2an＋3，求证：数列{bn}也是等差数列.
证明　∵数列{an}是等差数列，可设其公差为d，则an＋1－an＝d.从而bn＋1－bn＝(2an＋1＋3)－(2an＋3)＝2(an＋1－an)＝2d，它是一个与n无关的常数，∴数列{bn}是等差数列.
角度2　等差数列的探究
例4 已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N*). (1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；
解　∵an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N*)及a1＝2，a2＝－1，∴a2＝(λ－3)a1＋2，
(2)是否存在λ，使数列{an}为等差数列？若存在，求其通项公式；若不存在，说明理由.
(2)求数列{an}的通项公式.
课堂小结
1.牢记3个知识点(1)等差数列的概念.(2)等差数列的通项公式.(3)等差中项.2.掌握2种方法(1)运用通项公式求基本量法.
课堂小结
(2)判断一个数列是不是等差数列的常用方法：①an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列；②2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列；③an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列.但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可.3.注意1个易错点 判断等差数列时忽视n的取值而致误.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
3
1.设数列{an}(n∈N*)是公差为d的等差数列，若a2＝4，a4＝6，则d等于(　　) A.4 B.3 C.2 D.1
D
解析　由a2＝a1＋d＝4，a4＝a1＋3d＝6，解得d＝1.
2.已知等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5等于(　　)A.15 B.22 C.7 D.29
A
解得a1＝47，d＝－8.所以a5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.
3.已知等差数列{an}的公差d<0，且a2a4＝12，a2＋a4＝8，则公差d＝(　　)A.－2 B.2 C.±2 D.－4
A
解析　等差数列{an}中，a2a4＝12，a2＋a4＝8，所以可将a2，a4看作是方程x2－8x＋12＝0的两个实数根，解该方程得x1＝6，x2＝2.因为公差d<0，所以a2>a4，则a2＝6，a4＝2，所以a4－a2＝2d＝－4，解得d＝－2.
4.(多选)已知an＋1－an＝0，则数列{an}一定是(　　)A.等差数列 B.常数列C.递增数列 D.递减数列
AB
解析　因为an＋1－an＝0，所以由等差数列的定义得：数列{an}是等差数列. 因为公差为0，所以是常数列.
AB
6.在△ABC中，若B是A和C的等差中项，则cos B＝________.
7.已知等差数列{an}中，a1＋a2＝a4，a10＝11，则a12＝________.
13
8.现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3 升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升.
9.在等差数列{an}中， (1)若a5＝15，a17＝39，试判断91是否为此数列中的项；
所以an＝7＋2(n－1)＝2n＋5.令2n＋5＝91，得n＝43.因为43为正整数，所以91是此数列中的项.
(2)若a2＝11，a8＝5，求a10.
所以an＝12＋(n－1)×(－1)＝13－n，所以a10＝13－10＝3.
10.在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7.
(1)求数列的第10项；
(2)112是数列{an}的第几项？(3)在80到110之间有多少项？
解　(2)an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5，由112＝3n－5，解得n＝39.所以112是数列{an}的第39项.
11.《九章算术》有如下问题：“今有金棰，长五尺.斩本一尺，重四斤.斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”意思是：“现在有一根金棰，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少？”按这一问题的题设，假设金棰由粗到细各尺质量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的质量是(　　)
B
A
(2)求an.
14.意大利数学家斐波那契于1202年在他撰写的《算盘全书》中提出一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，这个数列称为斐波那契数列，该数列与自然界的许多现象有密切关系，在科学研究中有着广泛的应用.该数列{an}满足a1＝a2＝1，an＋2＝an＋an＋1(n∈N*)，则该数列的前1 000项中，为奇数的项共有(　　) A.333项 B.334项 C.666项 D.667项
D
解析　因为a1＝a2＝1为奇数，a3＝2为偶数，a4＝3，a5＝5为奇数，a6＝8为偶数，依此类推，a9，a12，…，a999为偶数.由999＝3＋3(n－1)＝3n，可得为偶数的项共有333项，那么为奇数的项共有667项.