高中苏教版 (2019)2.3 圆与圆的位置关系同步练习题

这是一份高中苏教版 (2019)2.3 圆与圆的位置关系同步练习题，共15页。试卷主要包含了已知圆C1，圆C1等内容，欢迎下载使用。

题组一 圆与圆的位置关系的判断
1.(2020江苏泰兴黄桥中学高二期中)圆(x-4)2+y2=9与圆x2+(y-3)2=4的位置关系是( )
A.内含 B.内切 C.相交 D.外切
2.(2020江苏南通田家炳中学高二月考)圆x2+(y-1)2=1与圆(x-1)2+y2=1的公共点的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
3.(2020江苏无锡高一期中)已知圆C1:x2+y2=1,圆C2:x2+y2-2x-2y+1=0,则圆C1与圆C2的位置关系为 .
4.已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆C2:x2+y2+2x=0.
(1)当m=1时,判断圆C1与圆C2的位置关系;
(2)是否存在实数m,使得圆C1与圆C2内含?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
题组二 圆与圆的相切问题
5.(2020江苏无锡江阴第一中学高二月考)圆C1:x2+y2+4x-4y+7=0与圆C2:x2+y2-4x+10y+13=0的公切线的条数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6.(2020江苏南京六合高级中学高二期中)已知半径为25的圆M与圆x2+y2=5外切于点P(1,2),则点M的坐标为( )
A.(3,6) B.(-6,3)
C.(-3,-6) D.(6,3)
7.(2020江苏无锡太湖高级中学高二期中)已知圆C1:x2+y2=1,圆C2:(x-4)2+y2=25,则两圆公切线的方程为 .
8.(2020江苏苏州第一中学月考)已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0和x2+y2-10x-12y+m=0.
(1)当两圆外切时,m为何值?
(2)当两圆内切时,m为何值?
题组三 圆与圆的相交弦问题
9.(2020湖北武汉外国语学校高二期中)圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2-2x+y2+4y=0的公共弦所在直线的方程为( )
A.2x+4y-1=0 B.2x+4y+1=0
C.2x-4y-1=0 D.2x-4y+1=0
10.(2020江苏南京第九中学高二期中)圆C1:x2+y2=16与圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9的公共弦长为( )
A.125 B.165 C.245 D.325
11.(2020山东青岛第二中学高二月考)圆x2+y2+x=0与圆x2+y2-2y=0的公共弦所在直线的方程为 .
12.(2020江苏南京航空航天大学附属高级中学高二期中)已知圆C1:x2+y2-4x+2y=0与圆C2:x2+y2-2y-4=0.
(1)求证:两圆相交;
(2)求两圆公共弦所在直线的方程.
题组四 圆与圆的位置关系的综合运用
13.(2020江苏无锡辅仁高级中学高二期中)若圆(x-a)2+(y-a)2=4上有且仅有两个点到原点的距离为2,则实数a的取值范围为( )
A.(-22,0)
B.(-22,0)∪(0,22)
C.(-22,-1)∪(1,22)
D.(0,22)
14.(2020辽宁大连高二月考)若点A(1,0)和点B(4,0)到直线l的距离分别为1,2,则这样的直线有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
15.(2020湖北宜昌高三调研)已知两点A(-1,0),B(1,0)及圆C:(x-3)2+(y-4)2=r2(r>0),若圆C上存在点P,满足AP·PB=0,则r的取值范围是( )
A.[3,6] B.[3,5] C.[4,5] D.[4,6]
能力提升练
题组一 圆与圆的位置关系
1.(2020江苏淮安中学高二期中,)已知圆C1的标准方程是(x-4)2+(y-4)2=25,圆C2:x2+y2-4x+my+3=0关于直线x+3y+1=0对称,则圆C1与圆C2的位置关系为( )

A.外离 B.相切
C.相交 D.内含
2.(多选)(2020山东聊城高二期中,)点P在圆C1:x2+y2=1上,点Q在圆C2:x2+y2-6x+8y+24=0上,则( )
A.PQ的最小值为0
B.PQ的最大值为7
C.两个圆心所在直线的斜率为-43
D.两个圆的相交弦所在直线的方程为6x-8y-25=0
3.(2020江苏连云港高级中学月考,)已知圆C1:x2+y2-2ax-2y+a2-15=0,圆C2:x2+y2-4ax-2y+4a2=0(a>0).试求a为何值时,两圆C1、C2:
(1)相切;(2)相交;(3)外离;(4)内含.
题组二 圆与圆的相切问题
4.(2020山东潍坊寿光一中高二期中,)圆C1:x2+y2-4x+3=0与圆C2:(x+1)2+(y-a)2=16恰有两条公切线,则实数a的取值范围是( )
A.[-4,4] B.(-4,4)
C.(-4,0)∪(0,4) D.[-4,0)∪(0,4]
5.(2020福建漳州平和第一中学高二期中,)已知☉O1:x2+(y-1)2=1与☉O2:(x-a)2+(y-2)2=9有且仅有3条公切线,则a的取值范围是( )
A.(-∞,-15)∪(15,+∞)
B.(-15,-3)∪(3,15)
C.{-15,15}
D.{-3,3}
6.(多选)(2020江苏南通第一中学高二月考,)已知两圆方程分别为x2+y2=16与(x-4)2+(y+3)2=r2(r>0),则下列说法正确的是( )
A.若两圆外切,则r=1
B.若两圆公共弦所在直线的方程为8x-6y-37=0,则r=2
C.若两圆在交点处的切线互相垂直,则r=3
D.若两圆有三条公切线,则r=2
7.(2019湖南长沙长郡中学高三一模,)已知圆C1:(x-2)2+(y-2)2=r12(r1>0),圆C2:(x+1)2+(y+1)2=r22(r2>0),若圆C1与圆C2相切,并且两圆的一条公切线的斜率为7,则r1r2= .
8.(2020江苏泰州中学高二月考,)已知圆O:x2+y2=144与圆O1:x2+30x+y2+216=0,试判断两圆的位置关系,并求两圆公切线的方程.
题组三 圆与圆的相交弦问题
9.(多选)(2020江苏如皋江安高级中学高二期中,)圆x2+y2-2x+2y-2=0与圆x2+y2-2ax-2ay+2a2-9=0的公共弦长为372,则a的值为( )
A.±2 B.±178 C.±1 D.±344
10.(2020安徽蚌埠第三中学高二月考,)已知圆C1:x2+y2+2x=0,圆C2:x2+y2-2x-2y-2=0,C1,C2分别为两圆的圆心.
(1)求圆C1和圆C2的公共弦长;
(2)过点C1的直线l交圆C2于A,B两点,且AB=14,求直线l的方程.
题组四 圆与圆的位置关系的综合应用
11.(多选)(2020江苏南京宁海中学高二期中,)在平面上有相异两点A,B,设点P在同一平面上且满足PA=λPB(其中λ>0,且λ≠1),则点P的轨迹是一个圆,这个圆称为阿波罗尼斯圆.设A(-a,0),B(a,0),a为正实数,则下列说法正确的是( )
A.当λ=2时,此阿波罗尼斯圆的半径r=43a
B.当λ=12时,以AB为直径的圆与该阿波罗尼斯圆相切
C.当0<λ<1时,点B在阿波罗尼斯圆圆心的左侧
D.当λ>1时,点A在阿波罗尼斯圆外,点B在阿波罗尼斯圆内
12.(2020山东青岛胶州一中高二期中,)已知圆C1:x2+y2-kx+2y=0与圆C2:x2+y2+ky-4=0的公共弦所在的直线恒过定点P,且点P在直线mx-ny-2=0上,则mn的取值范围是 .
13.(2020江苏苏州高二期中,)如图,已知圆C1:(x+2)2+(y-1)2=1和圆C2:(x-4)2+(y-4)2=4.
(1)求两圆所有公切线的斜率;
(2)设P为平面上一点,若存在过点P的无穷多条直线l与圆C1和圆C2相交,且直线l被圆C2截得的弦长是被圆C1截得的弦长的2倍,试求所有满足条件的点P的坐标.
答案全解全析
基础过关练
1.D 圆(x-4)2+y2=9与圆x2+(y-3)2=4的圆心距为(4-0)2+(0-3)2=5,
两圆的半径之和为3+2=5,
所以两圆外切,故选D.
2.C 圆x2+(y-1)2=1的圆心为(0,1),半径r1=1,圆(x-1)2+y2=1的圆心为(1,0),半径r2=1,圆心距为(0-1)2+(1-0)2=2,
∵r1-r2<2∴两圆的公共点的个数为2.
故选C.
3.答案 相交
解析 设圆C1的半径为r1,圆C2的半径为r2,由题意得C1(0,0),r1=1,C2(1,1),r2=1,故C1C2=(0-1)2+(0-1)2=2,
因为r1-r2=0<|C1C2|<2=r1+r2,所以圆C1与圆C2的位置关系为相交.
4.解析 (1)当m=1时,两圆的方程分别可化为C1:(x-1)2+(y+2)2=9,C2:(x+1)2+y2=1.
两圆的圆心距d=(1+1)2+(-2-0)2=22.
设圆C1的半径为r1,圆C2的半径为r2,
则r1=3,r2=1,
∵r1+r2=3+1=4,r1-r2=3-1=2,
∴r1-r2(2)假设存在实数m,使得圆C1与圆C2内含,则C1与C2的圆心距d=(m+1)2+(-2-0)2<3-1,
即(m+1)2<0,显然此不等式无解.
故不存在实数m,使得圆C1与圆C2内含.
解题模板
判断两圆的位置关系及交点个数的方法:设两圆的圆心分别为O1,O2,半径分别为R,r,且R>r.当O1O2>R+r时,两圆外离,没有交点;当O1O2=R+r时,两圆外切,有一个交点;当R-r5.D 两圆的圆心分别为C1(-2,2),C2(2,-5),则两圆的圆心距d=(-2-2)2+(2+5)2=65,
又圆C1,圆C2的半径分别为1,4,d>1+4=5,所以两圆外离,因此它们有4条公切线.
故选D.
6.A 设点M的坐标为(a,b),
圆x2+y2=5的圆心为(0,0),半径为5,
由圆M的半径为25,且圆M与圆x2+y2=5外切于点P(1,2),
得(a-1)2+(b-2)2=25,a2+b2=35,所以a=3,b=6,
所以点M的坐标为(3,6).
故选A.
7.答案 x=-1
解析 圆C1:x2+y2=1,圆心为C1(0,0),半径为1;
圆C2:(x-4)2+y2=25,圆心为C2(4,0),半径为5.
易知两圆内切,切点为(-1,0),
又两圆圆心都在x轴上,
所以两圆公切线的方程为x=-1.
8.解析 设圆x2+y2-2x-6y-1=0的圆心为M,半径为r1,圆x2+y2-10x-12y+m=0的圆心为N,半径为r2,易知两圆的标准方程分别为(x-1)2+(y-3)2=11,(x-5)2+(y-6)2=61-m,
则M(1,3),N(5,6),r1=11,r2=61-m,圆心距MN=(5-1)2+(6-3)2=5.
(1)当两圆外切时,圆心距MN=r1+r2,即5=11+61-m,解得m=25+1011.
(2)当两圆内切时,因为r1=119.C 由圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2-2x+y2+4y=0,得圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程为x2+y2-1-(x2-2x+y2+4y)=0,
即2x-4y-1=0.故选C.
10.C 两圆方程相减,得公共弦所在直线方程为3x+4y-16=0,圆心(0,0)到公共弦所在直线的距离d=|-16|32+42=165,所以所求弦长为242-1652=245.
11.答案 x+2y=0
解析 两圆的方程相减得公共弦所在直线的方程为x2+y2+x-(x2+y2-2y)=0,即x+2y=0.
12.解析 (1)证明:圆C1的方程可化为(x-2)2+(y+1)2=5,圆C2的方程可化为x2+(y-1)2=5,∴C1(2,-1),C2(0,1),两圆的半径均为5,
∴C1C2=(0-2)2+(1+1)2=22,∵22∈(0,25),∴两圆相交.
(2)将两圆的方程相减,得公共弦所在直线的方程为(x2+y2-4x+2y)-(x2+y2-2y-4)=0,即x-y-1=0.
13.B 由题意可得已知圆与圆x2+y2=4相交,
∴2-2∴0解得-22故选B.
14.C 以点A为圆心,1为半径的圆的方程为(x-1)2+y2=1,以点B为圆心,2为半径的圆的方程为(x-4)2+y2=4,则直线l为两圆的公切线,
∵AB=3=1+2,
∴圆A与圆B外切,
∴两圆的公切线有3条,即满足题意的直线有3条,故选C.
15.D 因为AP·PB=0,所以点P在以AB为直径的圆上,该圆的方程为x2+y2=1,又点P在圆C上,所以两圆有公共点.又两圆的圆心距d=5,所以|r-1|≤5≤r+1,解得4≤r≤6.
能力提升练
1.C 由题意可得,圆C1:(x-4)2+(y-4)2=25的圆心为C1(4,4),半径为5.
因为圆C2:x2+y2-4x+my+3=0关于直线x+3y+1=0对称,
所以2+3×-m2+1=0,解得m=23,
所以圆C2:(x-2)2+(y+3)2=4,其圆心为(2,-3),半径为2,
则C1C2=(4-2)2+(4+3)2
=23+83,
因为5-22.BC 设圆C1、C2的半径分别为r、R.由已知得C1(0,0),半径r=1,C2(3,-4),半径R=1,则C1C2=5.
故PQmin=5-1-1=3,A错误;
PQmax=5+1+1=7,B正确;
kC1C2=-43=-43,C正确;
C1C2>R+r,两圆相离,无公共弦,D错误.
故选BC.
3.解析 设圆C1、C2的半径分别为r1、r2.易得C1:(x-a)2+(y-1)2=16,
C2:(x-2a)2+(y-1)2=1,
∴C1(a,1),r1=4,C2(2a,1),r2=1,
∴C1C2=(a-2a)2+(1-1)2=a.
(1)当C1C2=r1+r2=5,即a=5时,两圆外切;
当C1C2=r1-r2=3,即a=3时,两圆内切.
(2)当3(3)当C1C2>5,即a>5时,两圆外离.
(4)当04.C 将方程x2+y2-4x+3=0变形为(x-2)2+y2=1,
所以圆C1的圆心为C1(2,0),半径r1=1,
易知圆C2的圆心为C2(-1,a),半径r2=4,
因为圆C1与圆C2恰有两条公切线,
所以圆C1与圆C2相交,
则|r1-r2|即3<(-1-2)2+a2<5,
解得-4故选C.
5.C 由题意得☉O1的圆心为O1(0,1),半径为1,☉O2的圆心为O2(a,2),半径为3.
因为☉O1:x2+(y-1)2=1与☉O2:(x-a)2+(y-2)2=9有且仅有3条公切线,
所以两圆外切,
所以(a-0)2+(2-1)2=1+3,
解得a=15或a=-15,
所以a的取值范围是{-15,15}.
故选C.
6.ABC 由圆的方程可知,两圆圆心分别为(0,0),(4,-3),半径分别为4,r,
所以圆心距为5.
若两圆外切,则4+r=5,解得r=1,此时两圆有三条公切线,故A正确,D错误;
当两圆相交时,两圆公共弦所在直线的方程为8x-6y-41+r2=0,
所以-41+r2=-37,解得r=2(负值舍去),故B正确;
因为两圆在交点处的切线互相垂直,所以一个圆的切线必过另一个圆的圆心,
所以两圆圆心连线与两圆半径所在直线必围成一个直角三角形,故52=42+r2,解得r=3(负值舍去),故C正确.
故选ABC.
7.答案 7225
解析 根据题意作出如下图形:
直线AB为圆C1和C2的公切线,切点分别为B,A.
当公切线AB与直线C1C2平行,即r1=r2时,AB的斜率不为7,所以r1≠r2.
不妨设r1过C1作AB的平行线交AC2于点E,则EC2=r2-r1,AB=EC1且AB∥EC1,
易知C1(2,2),C2(-1,-1),则C1C2=(2+1)2+(2+1)2=32=r1+r2,
直线C1C2的斜率为2+12+1=1,
所以直线AB与直线C1C2的夹角的正切值为1-71+7=34.
在直角三角形EC1C2中,EC2EC1=34,
所以EC1=43(r2-r1),
又EC12+EC22=C1C22,所以43(r2-r1)2+(r2-r1)2=(r1+r2)2,
所以4r1=r2,又32=r1+r2,
所以r1=325,r2=1225.
所以r1r2=325×1225=7225.
8.解析 易知圆O:x2+y2=122,圆O1:(x+15)2+y2=32,O(0,0),O1(-15,0),
∴OO1=(-15-0)2+(0-0)2=15=12+3,
∴圆O与圆O1外切,
∴圆O与圆O1有3条公切线.
如图,设两圆的一条公切线AB切圆O于点A,切圆O1于点B,与x轴相交于点P(x,0),
由三角形相似得POPO1=OAO1B=123,
即-x-15-x=4,解得x=-20,
∴P(-20,0),∴AP=202-122=16,
∴公切线AB的斜率k=1216=34,
∴两圆的三条公切线方程分别为
y=34(x+20),y=-34(x+20),x=-12,
即3x-4y+60=0,3x+4y+60=0,x=-12.
9.CD 两圆方程相减,得两圆公共弦所在直线的方程为(2a-2)x+(2a+2)y+7-2a2=0,
因为两圆的公共弦长为372,圆x2+y2-2x+2y-2=0的圆心为(1,-1),半径为2,
所以(1,-1)到直线(2a-2)x+(2a+2)y+7-2a2=0的距离d=22-3742=14,
所以d=|2a-2-2a-2+7-2a2|8a2+8=14,
解得a=±1或a=±344,
故选CD.
10.解析 (1)两圆的方程相减,得公共弦所在直线的方程为2x+y+1=0,
圆C1:(x+1)2+y2=1,圆心C1(-1,0),半径为1,
则圆心C1(-1,0)到公共弦所在直线的距离为|-2+1|5=15,
则圆C1和圆C2的公共弦长为21-152=455.
(2)易知圆C2:(x-1)2+(y-1)2=4,圆心为C2(1,1),半径为2,
当直线l的斜率不存在时,方程为x=-1,此时直线l与圆C2相切,不符合题意.
设直线l的方程为y=k(x+1),
则圆心C2(1,1)到直线l的距离为|2k-1|k2+1=4-1422=22,
所以k=1或k=17,
所以直线l的方程为x-y+1=0或x-7y+1=0.
11.AD 设P(x,y),所以PA=(x+a)2+y2,PB=(x-a)2+y2,
因为PA=λPB,
所以(x+a)2+y2=λ(x-a)2+y2,
所以x-(λ2+1)aλ2-12+y2=4λ2a2(λ2-1)2.
A.当λ=2时,此阿波罗尼斯圆的半径r=2λaλ2-1=4a3,故正确;
B.当λ=12时,以AB为直径的圆的方程为x2+y2=a2,阿波罗尼斯圆的方程为x+53a2+y2=16a29,两圆圆心距为53a,两半径之和为73a,两半径之差的绝对值为13a,则两圆不相切,故错误;
C.当0<λ<1时,阿波罗尼斯圆圆心的横坐标为(λ2+1)aλ2-1=1+2λ2-1aD.当λ>1时,点A与阿波罗尼斯圆圆心的距离为(λ2+1)aλ2-1+a=2λ2aλ2-1>2λaλ2-1=r,故点A在阿波罗尼斯圆外,
点B与阿波罗尼斯圆圆心的距离为(λ2+1)aλ2-1-a=2aλ2-1<2λaλ2-1=r,故点B在阿波罗尼斯圆内,故正确.
故选AD.
12.答案 -∞,14
解析 将圆C1与圆C2的方程相减,得kx+(k-2)y-4=0,
即公共弦所在直线的方程为kx+(k-2)y-4=0,即k(x+y)-2(y+2)=0,
令x+y=0,y+2=0,解得x=2,y=-2,
则公共弦所在直线恒过定点(2,-2),
即P(2,-2),
又点P在直线mx-ny-2=0上,
所以2m+2n-2=0,即m+n=1,
则mn=m(1-m)=-m-122+14≤14,
则mn的取值范围是-∞,14.
13.解析 (1)由题意得公切线的斜率存在,设公切线的方程为y=kx+m,即kx-y+m=0,
则|-2k-1+m|k2+1=1,|4k-4+m|k2+1=2,
所以|2k+1-m|=k2+1,①|4k-4+m|=2k2+1,
所以|4k+2-2m|=|4k-4+m|.
当4k+2-2m=4k-4+m时,m=2,
代入①式,得|2k-1|=k2+1,解得k=0或k=43;
当4k+2-2m=-(4k-4+m)时,m=8k-2,
代入①式,
整理得|6k-3|=k2+1,
解得k=18±21135.
综上,两圆所有公切线的斜率分别为0,43,18±21135.
(2)设C1,C2到直线l的距离分别为d1,d2(d1,d2>0),
则4-d22=21-d12,即d22=4d12,所以d2=2d1.
设P(m,n),直线l的方程为y-n=k'(x-m),即k'x-y-mk'+n=0,
则2×|-2k'-1-mk'+n|1+k'2=|4k'-4-mk'+n|1+k'2,
因此-4k'-2-2mk'+2n=4k'-4-mk'+n或4k'+2+2mk'-2n=4k'-4-mk'+n,
所以(8+m)k'-2-n=0或mk'+2-n=0,
因为存在无穷多条直线l,所以8+m=0,-2-n=0或m=0,2-n=0,
解得m=-8,n=-2或m=0,n=2,
故点P的坐标为(-8,-2)或(0,2).
解题模板
(1)探索直线过定点问题时,可先设直线方程为y=kx+b,然后利用条件建立k,b的等量关系,再进行消元,借助直线系的思想找出定点.
(2)从特殊情况入手,先探求定点,再证明与变量无关.