第二章复习提升-2022版数学选择性必修第一册 苏教版（2019） 同步练习 （Word含解析）

这是一份第二章复习提升-2022版数学选择性必修第一册 苏教版（2019） 同步练习 （Word含解析），共14页。

 本章复习提升
易混易错练
易错点1　忽视圆的一般方程表示圆的条件致错
1.()若圆C:x2+y2-2(m-1)x+2(m-1)y+2m2-6m+4=0过坐标原点,则实数m的值为 (　　)
A.2或1　　　　B.-2或-1　　　　C.2　　　　D.1
2.(2020辽宁六校协作体高二上联考,)已知圆x2+y2+2k2x+2y+4k=0关于直线y=x对称,则k的值为 (　　)
A.1　　　　B.-1　　　　C.-1或1　　　　D.0
3.()已知定点A(1,2)在圆x2+y2+kx+2y+k2-15=0的外部,求k的取值范围.






易错点2　忽视特殊点、特殊直线致错
4.(2020江苏淮安清江中学高二阶段测试,)从点A(1,1)作圆(x-2)2+(y-3)2=1的切线l,求切线l的方程.







5.(2020江苏扬州中学高二期中,)等腰三角形ABC的顶点是A(4,2),底边的一个端点是B(3,5),求另一个端点C的轨迹方程,并描述它的轨迹.







6.()已知圆C:x2+y2-4x+3=0.
(1)求过点M(3,2)的圆的切线方程;
(2)直线l过点N32,12且被圆C截得的弦长为m,求m的取值范围;
(3)已知圆E的圆心在x轴上,与圆C相交所得的弦长为3,且与圆x2+y2=16内切,求圆E的标准方程.






易错点3　忽视隐含条件致错
7.(2020江苏常州横林高级中学高二期中,)圆心在直线y=13x上的圆C与y轴的正半轴相切,圆C截x轴所得的弦长为42,则圆C的标准方程为 (　　)
A.(x-3)2+(y-1)2=9
B.(x+3)2+(y+1)2=9
C.(x-4)2+y-432=16
D.(x-6)2+(y-2)2=9
8.(2020江苏南通启东汇龙中学高二月考,)方程4-x2=k(x-2)+3有两个不等实根,则k的取值范围是(　　)
A.0,512　　　　B.13,34
C.512,+∞　　　　D.512,34
9.(2020江苏如皋搬经中学高二月考,)若直线y=x+b与曲线y=4-x2有公共点,求b的取值范围.












思想方法练
一、数形结合思想在圆的方程中的应用
1.()若直线y=kx+1与圆x2+y2=1交于P、Q两点,且∠POQ=120°,其中O为原点,则k的值为 (　　)
A.±3　　　　B.3
C.±2　　　　D.2
2.(2020江苏南京大厂高级中学高二期中,)已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,求x2+(y-2)2的最大值和最小值.












二、函数与方程思想在圆的方程中的应用
3.(2020江苏常州溧阳高级中学高二期中,)直线l经过点P(5,5),且和圆C:x2+y2=25交于A,B两点,若直线l被圆C截得的弦长为45,则直线l的方程为 (　　)
A.x-2y+5=0
B.2x-y-5=0
C.x-2y+5=0或2x-y-5=0
D.2x-y+5=0
4.()已知圆C:x2+y2=1与直线l:3x-y+m=0交于不同的两点A、B.
(1)求实数m的取值范围;
(2)若AB=3,求实数m的值.










5.()已知圆M:x2+(y-6)2=16,点P是直线l:x-2y=0上的一个动点,过点P作圆M的切线PA,PB,切点分别为A,B.
(1)当切线PA的长度为43时,求线段PM的长度;
(2)若△PAM的外接圆为圆N,试问:当点P在直线l上运动时,圆N是否过定点?若过,求出所有定点的坐标;若不过,请说明理由;
(3)求线段AB的长度的最小值.




三、分类讨论思想在圆的方程中的应用
6.(2020江苏南通如东高二期中,)若圆C1:(x-1)2+y2=1与圆C2:x2+y2-8x+8y+m=0相切,则m的值为 (　　)
A.16　　　　B.7
C.16或-4　　　　D.-7
7.()已知圆C的圆心在直线2x-y-1=0上,且经过点A(4,2),B(0,2).
(1)求圆C的标准方程;
(2)直线l过点P(1,1)且与圆C相交,所得弦长为4,求直线l的方程.





四、转化与化归思想在圆的方程中的应用
8.(2020山东淄博桓台第一中学高二期中,)已知O为坐标原点,直线l:y=kx+3,圆C:x2+(y-23)2=4.若直线l与圆C交于A,B两点,则△OAB面积的最大值为 (　　)
A.4　　　　B.23　　　　C.2　　　　D.3
9.(2020江苏泰州泰兴中学高二期中,)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若a=6,b=8,c=10,点P是△ABC内切圆上任意一点,求点P到顶点A,B,C的距离的平方和S的最大值与最小值.






答案全解全析
基础过关练
易混易错练
1.C　∵x2+y2-2(m-1)x+2(m-1)y+2m2-6m+4=0表示圆,∴[-2(m-1)]2+[2(m-1)]2-4(2m2-6m+4)>0,∴m>1.又圆C过原点,∴2m2-6m+4=0,解得m=2或m=1(舍去),∴m=2.
2.B　圆的方程可化为(x+k2)2+(y+1)2=k4-4k+1.
依题意得-1=-k2,k4-4k+1>0,解得k=-1,故选B.
易错警示
　　关于圆的一般方程问题,解题时易忽视D2+E2-4F>0,从而导致错误,如本题易忽视k4-4k+1>0.
3.解析　由题意得k2+22-4(k2-15)>0,12+22+k+4+k2-15>0,
解得-833 4.解析　(1)当切线l垂直于x轴时,切线l:x=1与圆相切,符合题意.
(2)当切线l不垂直于x轴时,可设切线l的方程为y-1=k(x-1),即kx-y+1-k=0.
因为切线l与圆相切,所以圆心(2,3)到切线l的距离等于圆的半径,即|2k-3+1-k|k2+1=1,解得k=34,此时切线l的方程是3x-4y+1=0.
综上所述,所求切线l的方程为x=1或3x-4y+1=0.
5.解析　设另一个端点C的坐标为(x,y),依题意得AC=AB,即(x-4)2+(y-2)2=(3-4)2+(5-2)2,化简得(x-4)2+(y-2)2=10.
因为C是三角形ABC的顶点,A、B、C三点不共线,所以B、C不能为圆A的直径的两端点,故点C的轨迹方程为(x-4)2+(y-2)2=10(x≠3,x≠5),其轨迹是以点A(4,2)为圆心,10为半径的圆,但去掉(3,5)和(5,-1)两点.
6.解析　(1)圆C:x2+y2-4x+3=0,即(x-2)2+y2=1,其圆心为(2,0),半径为1.
当切线的斜率不存在时,切线方程为x=3,符合题意.
当切线的斜率存在时,设切线斜率为k,则切线方程为 y-2=k(x-3),即kx-y-3k+2=0,由圆心到切线的距离等于半径,得|-k+2|k2+1=1,解得k=34,此时切线方程为3x-4y-1=0.
综上可得,圆的切线方程为x=3或3x-4y-1=0.
(2)当直线l⊥CN时,弦长m最短,此时直线l的方程为x-y-1=0,
所以mmin=21-12=2;
当直线l经过圆心时,弦长最长,mmax=2.
所以m∈[2,2].
(3)设圆E:(x-a)2+y2=r2(r>0),与圆C相交于A,B两点(A在第一象限),∵AB=3,∴A,B两点的纵坐标分别为32,-32,将y2=34代入圆C的方程,得x2+34-4x+3=0,解得x=32或x=52,
∴32,±32或52,±32在圆E上.
∵圆E内切于圆x2+y2=16,
∴圆E经过点(4,0)或(-4,0).
若圆E经过32,±32和(4,0),则其标准方程为x-1352+y2=4925;
若圆E经过52,±32和(4,0),则其标准方程为(x-3)2+y2=1;
若圆E经过32,±32和(-4,0),则其标准方程为x+13112+y2=961121;
若圆E经过52,±32和(-4,0),则其标准方程为x+9132+y2=1 849169.
易错警示
　　对于切线问题,不要忽略了斜率不存在的情况.当直线l垂直于x轴时,也可能成为一条切线.而对于圆的方程的求解,求得的结论要注意检验正确性,要关注一些特殊点是否符合.
7.A　由题意可设圆心为(3t,t),半径r=|3t|,
∵圆C截x轴所得的弦长为42,
∴t2+8=9t2,∴t=±1.
∵圆C与y轴的正半轴相切,
∴t=-1不符合题意,舍去,
∴t=1,∴3t=3,
∴圆C的标准方程为(x-3)2+(y-1)2=9.
8.D　由题意知,等式左边是一段圆弧,其方程为x2+y2=4(y≥0),
右边是直线y=kx+3-2k,直线恒过定点(2,3),
∵圆心到直线的距离小于半径时,直线和圆弧所在的圆有两个交点,
∴k>512.
当直线过点(-2,0)时,k=34,
所以方程4-x2=k(x-2)+3有两个不等实根时,512 9.解析　如图,在平面直角坐标系内作出曲线y=4-x2,
设直线l1:y=x-2,l2:y=x+22,作出直线l1,l2.
当直线l:y=x+b夹在l1与l2之间(包括l1,l2)时,l与已知曲线y=4-x2有公共点,所以b的取值范围为[-2,22].

易错警示
　　审题不严,对题中的隐含条件处理不当,常会造成解题错误,如直线与圆相交时,要在有交点的情况下研究其他问题,圆与圆只有一个交点时,要考虑两圆是内切还是外切等.

思想方法练
1.A　根据直线方程的特征,可知直线y=kx+1过定点P(0,1)且P在圆上.
(因为直线过定点P(0,1),且点P在圆上,所以可以考虑通过数形结合,作出符合题意的图形,得到相关角之间的关系)

∵∠POQ=120°,∴∠OPQ=30°,
∴∠1=120°,∠2=60°,
∴k=±3.故选A.
2.解析　方程x2+y2-4x+1=0可化为(x-2)2+y2=3,它表示以(2,0)为圆心,3为半径的圆.
(直接对式子x2+(y-2)2求解比较棘手,思路也不容易找到,而利用其几何意义,根据两点间距离公式进行变式,作出图形辅助求解,则比较简单易行,体现了数形结合思想)

x2+(y-2)2可看作圆上一点与点(0,2)的距离的平方,由图可知,此式在点(0,2)与圆心(2,0)的连线与圆的两个交点B、A处分别取得最大值与最小值,
又圆心到点(0,2)的距离为22+(-2)2=22,
所以[x2+(y-2)2]max=(22+3)2=11+46,
[x2+(y-2)2]min=(22-3)2=11-46.
思想总结
　　“数形结合”是把代数中的“数”与几何中的“形”结合起来认识问题、理解问题并解决问题的思维方法.与圆有关的最值问题、直线与圆的交点问题、圆与圆的位置关系等都可能用到数形结合思想.利用数形结合解决问题,比传统的解法更形象、更巧妙,并且计算量小.
3.C　若直线l的斜率不存在,
则l:x=5与圆C相切,不符合题意,
则直线l的斜率存在.
设直线l的方程为y-5=k(x-5),A(x1,y1),B(x2,y2).
由y-5=k(x-5),x2+y2=25,消去y,
得(k2+1)x2+10k(1-k)x+25k(k-2)=0,
(根据题意,求直线和圆相交的弦长时,可以利用代数法,联立直线与圆的方程,并消元,通过根与系数的关系以及两点间的距离公式求解)
Δ=[10k(1-k)]2-4(k2+1)·25k(k-2)>0,解得k>0.
x1+x2=-10k(1-k)k2+1,x1x2=25k(k-2)k2+1,
所以AB=(x1-x2)2+(y1-y2)2
=(1+k2)(x1-x2)2
=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=45,
两边平方,整理得2k2-5k+2=0,
解得k=12或k=2,均符合题意,
所以直线l的方程为x-2y+5=0或2x-y-5=0.
4.解析　(1)(因为圆C:x2+y2=1与直线l:3x-y+m=0交于不同的两点A、B,所以可以考虑联立方程组消去y,得到关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系求解)
由x2+y2=1,3x-y+m=0,消去y,得4x2+23mx+m2-1=0,
由已知得,Δ=(23m)2-16(m2-1)>0,
解得-2 故实数m的取值范围是(-2,2).
(2)因为圆心C(0,0)到直线l:3x-y+m=0的距离d=|m|3+1=|m|2,
所以AB=21-|m|22=4-m2,
由已知得4-m2=3,
解得m=±1.
5.解析　(1)由题意知,圆M的半径r=AM=4,圆心M(0,6),
∵直线PA是圆M的一条切线,∴∠MAP=90°,
∴PM=AM2+PA2=8.
(2)圆N过定点.
设P(2a,a),∵∠MAP=90°,∴经过A,P,M三点的圆N以MP为直径,
∴其圆心为Na,a+62,半径为PM2=5a2-12a+362,
∴圆N的方程为(x-a)2+y-a+622=5a2-12a+364,
即x2+y2-6y+a(-2x-y+6)=0,
(根据二元二次方程的特点,分别令x2+y2-6y=0,-2x-y+6=0,可得直线恒过的定点坐标)
令-2x-y+6=0,x2+y2-6y=0,
解得x=0,y=6或x=125,y=65,
∴圆N过定点(0,6)和125,65.
(3)由(2)知,圆N的方程为(x-a)2+y-a+622=5a2-12a+364,
即x2+y2-2ax-ay-6y+6a=0,①
圆M:x2+(y-6)2=16,
即x2+y2-12y+20=0,②
②-①得2ax+(a-6)y+20-6a=0,
此方程即为直线AB的方程.
又圆心M(0,6)到直线AB的距离d=|(a-6)×6+20-6a|(2a)2+(a-6)2=165a2-12a+36,
∴AB=216-d2=81-165a-652+1445,
(把AB的长度表示为a的函数,利用二次函数的最值可得AB长度的最小值)
∴当a=65时,线段AB的长度取得最小值,最小值为163.
思想总结
　　函数思想就是用联系与变化的观点提出数学对象,抽象其数学特征,建立函数关系,并利用函数的特质来研究、解决问题的一种数学思想方法.函数与方程思想是分析和解决解析几何问题的一种非常重要的数学思想.求圆的方程、直线与圆的交点及个数判断、弦长的求解、圆与圆的交点等都需要用到函数与方程思想.
6.C　圆C2的方程可化为(x-4)2+(y+4)2=32-m(m<32),
所以圆C2的圆心为C2(4,-4),半径r2=32-m(m<32),
圆C1的圆心为C1(1,0),半径r1=1,
(因为题目中没有明确说明两个圆相切的类型,所以需要分两圆内切和外切两种情况进行讨论并求解)
C1C2=(1-4)2+[0-(-4)]2=5,
由两圆相切,可得1+32-m=5或|1-32-m|=5,
解得m=16或m=-4.故选C.
7.解析　(1)易知点C在线段AB的中垂线上,其方程为x=2,
由x=2,2x-y-1=0,解得x=2,y=3,即圆心C的坐标为(2,3),
又半径CA=(4-2)2+(2-3)2=5,
所以圆C的标准方程为(x-2)2+(y-3)2=5.
(2)点P(1,1)在圆上,且弦长4<25,故有两条直线符合题意,
此时圆心到直线l的距离d=5-4=1.
(因为不清楚直线l的斜率是否存在,所以需要分类讨论)
①当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=1,此时圆心到直线l的距离为1,符合题意.
②当直线l的斜率存在时,设其斜率为k,则直线l的方程为y-1=k(x-1),
整理得kx-y-k+1=0,则圆心到直线l的距离d=|2k-3-k+1|k2+1=1,解得k=34,所以直线l的方程为3x-4y+1=0.
综上,直线l的方程为x=1或3x-4y+1=0.
思想总结
　　分类讨论又称逻辑划分,分类讨论的关键是逻辑划分标准的确定,从而对问题依次分类求解(或证明).本章中,在直线和圆的位置关系的判断中需要对直线斜率是否存在、圆与圆的位置关系的判断中两圆心的距离和半径之间的大小关系以及圆心的位置等进行分类讨论.
8.C　由圆的方程x2+(y-23)2=4可知其圆心为C(0,23),半径r=2,
由直线y=kx+3,可知直线过定点(0,3),设D(0,3),即点D为线段OC的中点,
所以S△OAB=S△ABC,设∠ACB=θ,又CA=CB=r=2,
(利用三角形的面积公式转化为求正弦函数的最值问题,利用正弦函数的性质来解决)
所以S△ABC=12CA·CB·sin θ=12×2×2sin θ=2sin θ,
当k=0时,直线为y=3,此时θ最小,为π3,则θ∈π3,π.
当θ=π2时,S△ABC=2sin θ取得最大值,最大值为2.故选C.

9.解析　由题意知,△ABC是直角三角形,设△ABC的内切圆圆心为O',切点分别为D,E,F,
则AD+DB+EC=12×(10+8+6)=12,
又AD+DB=c=10,
所以内切圆半径r=EC=2.
(分析题意,考虑以C为坐标原点,CA,CB所在直线分别为x轴,y轴,建立平面直角坐标系,设出动点坐标,建立函数关系求解)
如图,建立平面直角坐标系,则内切圆方程为(x-2)2+(y-2)2=4.
设圆上动点P的坐标为(x,y),
则S=|PA|2+|PB|2+|PC|2
=(x-8)2+y2+x2+(y-6)2+x2+y2
=3x2+3y2-16x-12y+100
=3[(x-2)2+(y-2)2]-4x+76
=3×4-4x+76=88-4x.
(将问题转化为函数的最值问题来处理)
因为点P在内切圆上,所以0≤x≤4,
故S最大值=88-0=88,
S最小值=88-16=72.

思想总结
　　转化思想是包含在化归思想中的一种比较具体的数学思想,即以充要条件为基础,把同一种数学意义的内容从一种数学语言形式等价转化为另一种数学语言形式,从而使复杂问题简单化、具体化.本章主要体现在圆上的点到直线的距离的最值问题、直线与圆构成的三角形面积的范围问题等.