数学选择性必修第一册1.3 两条直线的平行与垂直练习题

这是一份数学选择性必修第一册1.3 两条直线的平行与垂直练习题，共5页。
1．过点A(2，5)和点B(－4，5)的直线与直线y＝3的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．重合 D．以上都不对
解析：选B 斜率都为0且不重合，所以平行．
2．已知过A(－2，m)和B(m，4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值是( )
A．－8 B．0
C．2 D．10
解析：选A 由题意可知，kAB＝eq \f(4－m,m＋2)＝－2，所以m＝－8.
3．直线cx＋dy＋a＝0与dx－cy＋b＝0(c，d不同时为0)的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．斜交 D．与a，b，c，d的值有关
解析：选B d与c不能同时为0，当两者都不为0时，两条直线斜率的乘积为－eq \f(c,d)·eq \f(d,c)＝－1，故两条直线垂直；当其中之一为0时，两条直线也垂直．故两条直线垂直．
4．(多选)以A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的三角形，下列结论正确的有( )
A．kAB＝－eq \f(2,3)
B．kBC＝－eq \f(1,4)
C．以A点为直角顶点的直角三角形
D．以B点为直角顶点的直角三角形
解析：选AC kBC＝eq \f(4－（－1）,1－2)＝－5，kAB＝eq \f(1－（－1）,－1－2)＝－eq \f(2,3)，kAC＝eq \f(4－1,1－（－1）)＝eq \f(3,2)，
∵kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，
∴△ABC是以A点为直角顶点的直角三角形．
故A、C正确，B、D错误．
5．已知点A(2，3)，B(－2，6)，C(6，6)，D(10，3)，则以A，B，C，D为顶点的四边形是( )
A．梯形 B．平行四边形
C．菱形 D．矩形
解析：选B 如图所示，易知kAB＝－eq \f(3,4)，kBC＝0，kCD＝－eq \f(3,4)，kAD＝0，kBD＝－eq \f(1,4)，kAC＝eq \f(3,4)，所以kAB＝kCD，kBC＝kAD，kAB·kAD＝0，kAC·kBD＝－eq \f(3,16)，故AD∥BC，AB∥CD，AB与AD不垂直，BD与AC不垂直，所以四边形ABCD为平行四边形．
6．设a∈R，如果直线l1：y＝－eq \f(a,2)x＋eq \f(1,2)与直线l2：y＝－eq \f(1,a＋1)x－eq \f(4,a＋1)平行，那么a＝________．
解析：由l1∥l2得－eq \f(a,2)＝－eq \f(1,a＋1)且eq \f(1,2)≠－eq \f(4,a＋1)，解得a＝－2或a＝1.
答案：－2或1
7．已知A(2，3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，点D在x轴上，则当点D坐标为________时，AB⊥CD.
解析：设点D(x，0)，因为kAB＝eq \f(－1－3,1－2)＝4≠0，
所以直线CD的斜率存在．
则由AB⊥CD知，kAB·kCD＝－1，所以4·eq \f(－2－0,－1－x)＝－1，解得x＝－9.
答案：(－9，0)
8．直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根，若l1⊥l2，则m＝________；若l1∥l2，则m＝________．
解析：由一元二次方程根与系数的关系得k1·k2＝eq \f(m,2)，
若l1⊥l2，则eq \f(m,2)＝－1，∴m＝－2.
若l1∥l2则k1＝k2，即关于k的二次方程2k2－4k＋m＝0有两个相等的实根，
∴Δ＝(－4)2－4×2×m＝0，∴m＝2.
答案：－2 2
9．已知三角形三顶点A(4，0)，B(8，10)，C(0，6)，求：
(1)过A点且平行于BC的直线方程；
(2)AC边上的高所在的直线方程．
解：(1)设所求直线的方程为y＝k(x－4)(k≠0)，
由题意得，k＝kBC＝eq \f(10－6,8－0)＝eq \f(1,2)，
所以所求方程为y＝eq \f(1,2)(x－4)，即x－2y－4＝0.
(2)设所求直线的方程为y－10＝k(x－8)(k≠0)，
由题意得，k·kAC＝－1，k＝－eq \f(1,kAC)＝－eq \f(1,\f(0－6,4－0))＝eq \f(2,3)，
所以所求方程为y－10＝eq \f(2,3)(x－8)，即2x－3y＋14＝0.
10．已知▱ABCD中，A(1，2)，B(5，0)，C(3，4)．
(1)求点D的坐标；
(2)试判定▱ABCD是否为菱形？
解：(1)设D点坐标为(a，b)，因为四边形ABCD为平行四边形，所以kAB＝kCD，kAD＝kBC，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(0－2,5－1)＝\f(b－4,a－3)，,\f(b－2,a－1)＝\f(4－0,3－5)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝6.))
所以D(－1，6)．
(2)因为kAC＝eq \f(4－2,3－1)＝1，kBD＝eq \f(6－0,－1－5)＝－1，
所以kAC·kBD＝－1，
所以AC⊥BD，所以▱ABCD为菱形．
[B级 综合运用]
11．(多选)设点P(－4，2)，Q(6，－4)，R(12，6)，S(2，12)，下面四个结论正确的是( )
A．PQ∥SR B．PQ⊥PS
C．PS∥QS D．PR⊥QS
解析：选ABD 由斜率公式知，
kPQ＝eq \f(－4－2,6＋4)＝－eq \f(3,5)，kSR＝eq \f(12－6,2－12)＝－eq \f(3,5)，kPS＝eq \f(12－2,2＋4)＝eq \f(5,3)，kQS＝eq \f(12＋4,2－6)＝－4，kPR＝eq \f(6－2,12＋4)＝eq \f(1,4)，
∴PQ∥SR，PQ⊥PS，PR⊥QS.而kPS≠kQS，
∴PS与QS不平行，故A、B、D正确．
12．已知过点A(－2，m)和点B(m，4)的直线为l1，l2：y＝－2x＋1，l3：y＝－eq \f(1,n)x－eq \f(1,n).若l1∥l2，l2⊥l3，则m＋n的值为( )
A．－10 B．－2
C．0 D．8
解析：选A ∵l1∥l2，∴kAB＝eq \f(4－m,m＋2)＝－2，解得m＝－8.又∵l2⊥l3，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,n)))×(－2)＝－1，解得n＝－2.∴m＋n＝－10.故选A.
13．已知点A(0，1)，点B在直线l：x＋y＝0上运动，则当线段AB最短时，直线AB的一般式方程为________．
解析：当线段AB最短时，AB⊥l，所以kAB＝1.由直线的斜截式，得直线AB的方程为y＝x＋1，故直线AB的一般式方程为x－y＋1＝0.
答案：x－y＋1＝0
14．已知A(0，3)，B(－1，0)，C(3，0)，求D点的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列)．
解：设所求点D的坐标为(x，y)，
如图，由于kAB＝eq \f(3－0,0＋1)＝3，kBC＝0，
所以kAB·kBC＝0≠－1，
即AB与BC不垂直，
故AB，BC都不可作为直角梯形的直角腰．
(1)若CD是直角梯形的直角腰，则BC⊥CD，AD⊥CD.
因为kBC＝0，所以CD的斜率不存在，从而有x＝3.
又kAD＝kBC，所以eq \f(y－3,x)＝0，即y＝3.
此时AB与CD不平行．故所求点D的坐标为(3，3)．
(2)若AD是直角梯形的直角腰，
则AD⊥AB，AD⊥CD.
因为kAD＝eq \f(y－3,x)，kCD＝eq \f(y,x－3)，
由于AD⊥AB，所以eq \f(y－3,x)·3＝－1.①
又AB∥CD，所以eq \f(y,x－3)＝3.②
由①②解得x＝eq \f(18,5)，y＝eq \f(9,5).此时AD与BC不平行．
故所求点D的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(18,5)，\f(9,5))).
综上可知，使四边形ABCD为直角梯形的点D的坐标可以为(3，3)或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(18,5)，\f(9,5))).
[C级 拓展探究]
15．已知△ABC的顶点为A(5，－1)，B(1，1)，C(2，m)，是否存在m∈R使△ABC为直角三角形，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
解：若A为直角，则AC⊥AB，∴kAC·kAB＝－1，
即eq \f(m＋1,2－5)·eq \f(1＋1,1－5)＝－1，解得m＝－7；
若B为直角，则AB⊥BC，∴kAB·kBC＝－1，
即eq \f(1＋1,1－5)·eq \f(m－1,2－1)＝－1，解得m＝3；
若C为直角，则AC⊥BC，∴kAC·kBC＝－1，
即eq \f(m＋1,2－5)·eq \f(m－1,2－1)＝－1，解得m＝±2.
综上所述，存在m＝－7或m＝3或m＝±2.使△ABC为直角三角形．