专题1.20 有理数的乘方（知识讲解）-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题1.20 有理数的乘方（知识讲解）
【学习目标】
1．理解有理数乘方的定义；
2.掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；
3. 进一步掌握有理数的混合运算.
【要点梳理】
要点一、有理数的乘方
定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．
即有：.在中，叫做底数， n叫做指数.
特别说明：
（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．
（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．
（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写．
2. 性质：
要点二、乘方运算的符号法则
（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即 ．
特别说明：
(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．
(2)任何数的偶次幂都是非负数．
要点三、有理数的混合运算
有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
特别说明：
(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；
（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行．
(3)在运算过程中注意运算律的运用．
　【典型例题】
类型一、有理数的幂的概念的理解
1．填表：
乘方
65
(－5)4

－27
底数




指数




【分析】根据有理数乘方的定义解答即可．
解：填表如下：

【点拨】本题考查了有理数乘方的定义，属于应知应会题型，熟知概念是关键．
举一反三：
【变式1】 把下列各式用幂的形式表示，并说出底数和指数：
（1）（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）；（2）．
【答案】（1）（﹣3）3，底数为﹣3，指数为3；（2）（+）4，底数为+，指数为4．
【分析】（1）（2）都是相同的几个数字相乘，根据乘方的定义即可解答.
解：（1）(﹣3)×(﹣3)×(﹣3)＝(﹣3)3，底数为﹣3，指数为3；
（2）＝4, 底数为+，指数为4.
【点拨】求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，记作an，其中a叫做底数，n叫做指数.
【变式2】小明学习了“第八章 幂的运算”后做这样一道题：若（2x﹣3）x+3=1，求x的值，他解出来的结果为x=2，老师说小明考虑问题不全面，聪明的你能帮助小明解决这个问题吗？
小明解答过程如下：
解：因为1的任何次幂为1，所以2x﹣3=1，x=2．且2+3=5
故（2x﹣3）x+3=（2×2﹣3）2+3=15=1，所以x=2
你的解答是：
【答案】x=2或3或1．
【解析】试题分析：分别从底数等于1，底数等于 - 1且指数为偶数，指数等于0且底数不等于0去分析求解即可求得答案．
解：①∵1的任何次幂为1，所以2x - 3=1，x=2．且2+3=5，
∴（2x - 3）x+3=（2×2 - 3）2+3=15=1，
∴x=2；
②∵ - 1的任何偶次幂也都是1，
∴2x - 3= - 1，且x+3为偶数，
∴x=1，
当x=1时，x+3=4是偶数，
∴x=1；
③∵任何不是0的数的0次幂也是1，
∴x+3=0，2x - 3≠0，
解得：x= - 3，
综上：x=2或3或1．
【点拨】此题考查了零指数幂的性质与有理数的乘方．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想的应用．
类型二、有理数乘方的运算
2．计算：（﹣48）÷（﹣2）3﹣（﹣25）×（﹣4）+（﹣2）2．
【答案】 - 90.
【分析】根据有理数混合运算的运算顺序, 先算乘方再算乘除最后算加减, 计算即可.
. 原式=﹣48÷（﹣8）﹣100+4
=6﹣100+4=﹣90．
【点拨】本题考查的是有理数的混合运算能力. 注意要正确掌握运算顺序.

举一反三：
【变式1】计算：﹣32+[9﹣（﹣6）×2]÷（﹣3）
【答案】 - 16.
【分析】原式先计算乘方运算,再计算括号内及乘除运算,最后算加减运算即可得到结果.
解：原式=﹣9+（9+12）÷（﹣3）
=﹣9+21÷（﹣3）
=﹣9+（﹣7）
=﹣16．
【点拨】此题考查了有理数的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
【变式2】 小明做了这样一道题，他的方法如下：
．
请你用他的方法解下面题目．
设，，求的值．
【答案】 - 1
【分析】先根据小明的方法求出M，N的值，然后代入代数式去接即可；
解：∵，
．
∴．
【点拨】本题主要考查了有理数的乘方，准确计算是解题的关键．
类型三、有理数乘方的逆运算
3、若，，且x＜y，求：的值.
【答案】 - 8或 - 4.
【分析】根据绝对值的性质和有理数的乘方求出x、y，再判断出x、y的对应情况，然后相减计算即可得解．
解：∵|x|=6，y2=4，
∴x=±6，y=±2，
∵x ∴x=−6，y=±2，
当y=2时，x - y= - 6 - 2= - 8，
当y=−2时,x−y= - 6 - ( - 2)= - 4，
故的值.为 - 8或者 - 4.
【点拨】本题考查有理数的减法，绝对值方程，有理数的乘方.能求出x和y的值并根据不等关系分情况讨论是解决本题的关键.
举一反三：
【变式1】若点M、点N在数轴表示的数分别是、，，，求点M、点N两点之间的距离．
【答案】或
【分析】根据绝对值的意义和乘方运算得到x和y值，再根据两点之间的距离得到结果．
解：∵，，
∴x+2=，y= - 5，
∴x= - 2=或，
∴点M、点N两点之间的距离为：
- （ - 5）=或 - （ - 5）=．
【点拨】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的意义和乘方运算，解题的关键是注意分类讨论．
【变式2】．
【答案】2．
【分析】先计算有理数的乘方和乘方逆运算，再计算有理数的乘法即可得．
解：原式，
，
，
，
．
【点拨】本题考查了有理数的乘方和乘方逆运算、有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解题关键．
类型四、有理数乘方运算的符号规律
4、计算:
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）先把减法转化为加法，再把同号的两个数相加，即可得到答案；
（2）先计算绝对值，乘方运算，再利用乘法的分配律计算乘法运算，除法运算，最后计算加减运算即可得到答案．
解：（1）原式
.

.
（2）原式


【点拨】本题考查的是求一个数的绝对值，乘方符号的确定，含乘方的有理数的混合运算，掌握运算顺序与运算法则是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如果|m﹣5|＋（n＋6）2＝0，求（m＋n）2020＋m3的值．
【答案】126
【分析】根据绝对值和平方非负的性质求出m，n的值，代入所求的代数式计算即可．
解：∵m，n满足|m﹣5|＋（n＋6）2＝0，
∴m﹣5＝0，n＋6＝0，
即：m＝5，n＝﹣6，
∴（m＋n）2020＋m3＝（5﹣6）2020＋53＝1＋125＝126．
【点拨】本题考查的非负数的性质，掌握绝对值和平方非负的性质，理解当这几个非负式子相加为0时，这个式子都为0是解题的关键．
【变式2】 记a1＝﹣2，a2＝（﹣2）×（﹣2），a3＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），……an＝n个 - 2相乘．
（1）填空：a4＝　 　，a23是一个　　 （填“正”或“负”）；
（2）计算：a5+a6；
（3）请直接写出2020an+1010an+1的值．
【答案】（1）16，负；（2）32；（3）0．
【分析】
（1）探究规律，利用规律即可解决问题；
（2）利用规律计算即可；
（3）对原式进行变形，得出与规律有关的式子，即可得出结果．
解：（1）根据规律可知：a4＝(﹣2)×(﹣2)×(﹣2)×(﹣2)＝16，
a23是23个﹣2相乘，是负数；
（2）由规律可总结出：，
；
（3）
=
=
=
=
=
【点拨】本题考查规律型：数字问题，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题．
类型五、有理数乘方的应用
5、（1）若|2x+6|+（y﹣2）2＝0，求y2﹣x的值．
（2）|a|＝8，|b|＝3，且|a﹣b|＝b﹣a，求a+b的值．
【答案】（1）7；（2）﹣11
【分析】（1）利用非负数的性质求出x与y的值，代入原式计算即可求出值；（2）利用绝对值的代数意义求出a与b的值，代入原式计算即可求出值．
解：（1）∵|2x+6|+（y﹣2）2＝0，
∴2x+6＝0且y﹣2＝0，
解得：x＝﹣3，y＝2，
则原式＝4+3＝7；
（2）∵|a|＝8，|b|＝3，且|a﹣b|＝b﹣a，
∴a＝±8，b＝±3，a﹣b＜0，即a＜b，
当a＝﹣8，b＝3时，a+b＝﹣5；当a＝﹣8，b＝﹣3时，a+b＝﹣11．
【点拨】本题考查了非负数的性质，①非负数有最小值是零；②有限个非负数之和仍然是非负数；③有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零.初中范围内的非负数有：绝对值，算术平方根和偶次方.也考查了绝对值的意义.
举一反三：
【变式1】已知，，求．
【答案】11
【解析】根据乘方的意义求出x，y的值，代入计算即可.
解：∵，，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了乘方的意义及求代数式的值，根据乘方的意义求出x，y的值是解答本题的关键.
【变式2】已知，求的值．
【答案】 - 1
【解析】把原式变形为，列出关于x的方程求解即可.
解：∵，
∴ ，
解得，
把代入，得
原式=（4 - 5）3．
【点拨】本题考查了乘方的意义及求代数式的值，根据乘方的意义求出x是解答本题的关键.
类型六、有理数加减乘除混合运算
6、计算：
(1)－4＋2×|－3|－(－5)； (2)－3×(－4)＋(－2)3÷(－2)2－(－1)2 018.
【答案】(1)7；(2)9
【分析】
（1）注意运算顺序，先算乘除再算加减，减去一个数等于加上这个数的相反数，减法变为加法；
（2）注意运算顺序，先算乘方再算乘除最后算加减.注意，的偶次方为，奇次方为.
解：(1) 原式＝－4＋2×3＋5
＝－4＋6＋5
＝7；
(2) 原式＝12＋(－8)÷4－1
＝12－2－1
＝9.
【点拨】本题考查了有理数的混合运算，注意：要正确掌握运算顺序，即乘方运算叫做三级运算；乘法和除法叫做二级运算；加法和减法叫做一级运算.在混合运算中要特别注意运算顺序：先三级，后二级，再一级；有括号的先算括号里面的；同级运算按从左到右的顺序.
举一反三：
【变式1】计算：
（1） （2）
（3） （4）
【答案】（1） - 5；（2）21；（3） - 7；（4）
【分析】
（1）根据有理数的加法运算法则计算；
（2）根据有理数的加减混合运算法则计算；
（3）利用乘法分配率计算即可；
（4）先算乘方，再算括号内的，再算乘法，最后算加法．
解：解：（1）
=3.47 - 2.7 - 3.47 - 2.3
= - 5；
（2）
= - 32 - 17+65+5
=21；
（3）
=
=
= - 7；
（4）
=
=
=
【点拨】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算律．
【变式2】计算：（1）； （2）；
【答案】（1）5；（2） - 9.
【分析】（1）根据乘法分配律简便计算；（2）先算乘方，再算乘除，最后算加法；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有绝对值，要先做绝对值内的运算．
解：（1）（–+–）×（–24）
=–×（–24）+×（–24）–×（–24）
=16–15+4
=5；
（2）–14+16÷（–2）3×|–3–1|
=–1+16÷（–8）×4
=–1–8
=–9．
【点拨】考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
类型七、有理数加减乘除混合运算的实际运用
7、-22-(-3)3×(-1)4-(-1)5
【答案】24
【分析】在进行有理数的混合运算时，一是要注意运算顺序，先算高一级的运算，再算低一级的运算，即先乘方，后乘除，再加减．同级运算按从左到右的顺序进行．有括号先算括号内的运算．
解：原式= - 4 - ( - 27)×1+1
= - 4+27+1
=24
【点拨】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算的顺序（1）先乘方，再乘除，最后加减；（2）同级运算，从左至右进行；（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.
举一反三：
【变式1】计算：（1）
（2）
（3）
【答案】（1）；（2）100；（3）
【分析】
（1）根据有理数的加减混合运算进行求解即可；
（2）根据有理数的混合运算直接进行求解即可；
（3）先算括号里的，然后再由有理数的混合运算进行求解即可．
解：（1）原式=；
（2）原式=；
（3）原式=．
【点拨】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数运算法则是解题的关键．
【变式2】有个写运算符号的游戏：在“3□（2□3）□□2” 中的每个□内，填入+， - ，×，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果．
（1）请计算琪琪填入符号后得到的算式：；
（2）嘉嘉填入符号后得到的算式是□，一不小心擦掉了□里的运算符号，但她知道结果是，请推算□内的符号．
【答案】（1）;（2）□里应是“－”号.
【分析】
(1)根据有理数的混合运算法则计算可以解答本题；
(2)根据题目中式子的结果，可以得到□内的符号；
解：(1)
=
=
=；
(2)
=
=
=,
因为□2=，即□4=
所以=
所以“□”里应是“－”号．
【点拨】本题考查了有理数的混合运算，解答本题得关键是明确有理数混合运算的计算方法．
类型八、程序流程图与有理数运算
8、根据下边的流程图回答下列问题：

（1）输入后，得到的输出结果是____________．
（2）如果输出的结果，请推测输入的数可能是那些？并写出结果．
【答案】（1）（2）或
【分析】
（1）根据流程图直接进行列式求解即可；
（2）根据题意分两种情况：一是大于输出的结果，二是小于或等于输出的结果，然后分别求解即可．
解：（1）由流程图可得：
，
，
；
故答案为；
（2）①当输出的结果是由大于计算而得的，则有：
；
②当输出的结果是由小于或等于计算而得的，则有：
；
答：输入的数可能是或．
【点拨】本题主要考查分数的混合运算，熟练掌握分数的混合运算是解题的关键．
举一反三：
【变式1】李海在自学了简单的电脑编程后，设计了如图所示的程序，他若输入的数是2，那么执行了程序后，输出的数是多少？若开始输的是－4呢？

【答案】若输入的数是2，则输出的数是－558；若输入的数是－4，则输出的数是－108．
【分析】根据题意，把2输入，得（2 - 8）×9= - 54，其绝对值小于100，所以再把 - 54从头输入，计算输出的数．根据题意，把 - 4输入，得（ - 4 - 8）×9= - 108，其绝对值大于100，所以 - 108就是输出的数．
解：把2输入，得（2 - 8）×9= - 54，∵| - 54|＜100，∴再把 - 54从头输入，得（ - 54 - 8）×9= - 558，∵| - 558|>100，∴输出 - 558．若输入的数是－4，得到（ - 4 - 8）×9= - 12×9= - 108，因为| - 108|>100，∴输出 - 108．
答：若输入的数是2，则输出的数是－558；若输入的数是－4，则输出的数是－108．
【点拨】本题考查程序框图、有理数的混合运算和绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式2】如图，按程序框图中的顺序计算，当运算结果小于或等于100时，则将此时的值返回第一步重新运箅，直至运算结果大于100才输出最后的结果.若输入的初始值为1，则最后输出的结果是多少？

【答案】256
【分析】把1代入依次计算，当结果大于100时输出.
解：1×÷（ - ）= - 2＜100；
- 2×÷（ - ）=4＜100；
4×÷（ - ）= - 8＜100；
- 8×÷（ - ）=16＜100；
16×÷（ - ）= - 32＜100；
- 32×÷（ - ）=64＜100；
64×÷（ - ）= - 128＜100；
- 128×÷（ - ）=256＞100；
故输出为256.
【点拨】本题考查循环结构，通过运算规则求解最后运算结果，是算法中一种常见的题型．
类型九、“24”点运算
9、暖羊羊有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各问题：

（1）从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大．
这两张卡片上的数字分别是 ，积为 _．
（2）从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小．
这两张卡片上的数字分别是 ，商为 ．
（3）从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当方法（可加括号），使其运算结果为24，写出运算式子．（写出一种即可）
【答案】（1）－5和－3，15 ； (2) －5和＋3， ； (3)（答案不唯一）
【分析】
(1)要想乘积最大，必须积为正数才有最大值，也就是必须选择同号的两个数相乘，然后取积最大的两个卡片即可.
(2)要想商最小，必须商为负数才最小值，也就是必须选择异号的两个数相除且被除数的绝对值要大于除数的绝对值，然后选择商最小的两个卡片即可.
(3)把24分解因数，可得到2×12=24，3×8=24，4×6=24，然后找到合适的卡片能够通过运算得到24的因数即可.
解：(1)要想乘积最大，必须积为正数才有最大值，选择同号的两个数相乘
则有（+3）×（+4）=12，（ - 5）×（ - 3）=15
积最大为15，所以选择卡片 - 5和卡片 - 3
(2) 要想商最小，必须商为负数才最小值，选择异号的两个数相除且被除数的绝对值要大于除数的绝对值.
则有( - 5)÷3=，( - 5)÷4=，4÷（ - 3）=
商最小为，所选择卡片 - 5和卡片+3
(3) 把24分解因数，可得到2×12=24，3×8=24，4×6=24等形式.
当2×12=24时，2=（ - 3） - （ - 5），12=3×4
则[( - 3) - ( - 5)]×3×4=12
故选择卡片数字为： - 3， - 5，+3，+4
当3×8=24时，可得 - 3×（ - 8）=24，则 - 8=（ - 5） - 3
则 - 3×[( - 5) - 3]=24.
同理可继续推导.
故答案为（1）－5和－3，15 ；(2) －5和＋3；(3)（答案不唯一）
【点拨】本题综合性的考察了有理数的计算，因为正数大于负数，所以在本题中务必理解两个数乘积最大值只有在正数里面选择，两数商最小值，只有在负数里面选择.
举一反三：
【变式1】做游戏：点游戏是利用扑克牌中的张（去掉大王、小王），任意抽取张，利用混合运算，可以是加、减、乘、除法，也可以是乘方（底数、指数均是这个数之中的），只要结果得到即可．（每个数都要用且只能用一次）
【答案】[5÷（ - 5）+9]×3=24．（答案不唯一）
【分析】假设抽取的4张扑克：黑桃3，梅花5，红桃5，黑桃9；首先用5除以 - 5，构造出 - 1；然后用 - 1加上9，构造出8，再用8乘3，即可使其结果等于24．
解：解：抽取的4张扑克：黑桃3，梅花5，红桃5，黑桃9.
[5÷（ - 5）+9]×3=24．
故答案为：[5÷（ - 5）+9]×3=24．（答案不唯一）
【点拨】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
【变式2】如图，现有5张写着不同数的卡片，请按要求完成下列问题：

（1）从中任选2张卡片，使这2张卡片上的数的乘积最大，则该乘积的最大值是多少？
（2）从中任选4张卡片，用卡片上的数和加、减、乘、除四则运算（可用括号，每个数都要用且只能用一次）列出两个不同的算式（每个算式可选用不同的卡片），使其计算结果为24．
【答案】（1）18；（2）（答案不唯一）
【分析】
（1）观察这五个数，要找乘积最大的就要找符号相同且绝对值最大的数，所以选−6和−3；
（2）根据有理数的混合运算即可求解.
解：解：（1）依题意选−6和−3
（−6）×（−3）=18，
∴此时乘积的最大值为18；
（2）答案不唯一：如；.
【点拨】此题实际上是有理数的混合运算的逆运算，先给你数，让你列混合运算的式子，所以学生平时要培养自己的逆向思维能力．
类型十、含乘方的有理数运算
10、计算：．
【答案】 - 9.
【分析】原式先计算乘方及绝对值运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果．
解：原式．
【点拨】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
举一反三：
【变式1】计算：
（1）（－1）2×5＋（－2）3÷4； （2）24＋÷＋|－22|
【答案】（1）3；（2）19
【解析】
试题分析：（1）按照先算乘方，再算乘除，后算加减的顺序计算；（2）按照先算乘方，再算乘除，后算加减的顺序计算，部分可按照乘法分配律计算.
解：（1）（－1）2×5＋（－2）3÷4
=1×5+( - 8) ×
=5 - 2
=3 ；
（2）
=
=
=15 - 16 - 2+22
=19.
【变式2】计算：．
【答案】 - 5
【分析】根据有理数的运算法则计算即可得到答案．
解：



．
【点拨】本题考查了有理数的混合运算，掌握运算法则是解决本题的关键．
类型十一、计算器 - 有理数
11、用计算器求下列各式的值:
(1)24.12×2+3.452×4.2；(精确到0.1)；
(2)(2.42 - 1.32)×3.1+4.13；(精确到0.01)
【答案】（1）1161.62；（2）81.538.
【解析】试题分析：先计算，再四舍五入.
(1) 24.12×2+3.452×4.2= 1211.6105.
(2) (2.42 - 1.32)×3.1+4.13=81.538
举一反三：
【变式1】利用计算器计算( - 8.9)×( - 11.2)
【答案】99.68
【解析】试题分析：利用计算器计算即可，注意按键顺序.
试题解析：
先输入—8.9，然后输入乘号，最后输入—11.2，即可得答案是99.68.
【变式2】有一张厚度是0.1的纸，假设我们能将它连续对折30次，这时它的厚度能超过珠穆朗玛峰的海拔吗？请用计数器帮你得出答案.
【答案】能，107374.1824m
【分析】每对折一次即扩大1倍，对折30次相当于扩大230倍．
解：0.1×2 =107374182.4mm=107374.1824m>8845m.
答：将一张厚度是0.1mm的纸,连续对折30次后,它的厚度能超过珠穆朗玛峰的海拔高度(8845米)
【点拨】此题考查计算器—有理数，解题关键在于熟练运用计算器.