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湖北省十堰市丹江口市2020-2021学年八年级上学期期末模拟数学试卷（word版 含答案）
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这是一份湖北省十堰市丹江口市2020-2021学年八年级上学期期末模拟数学试卷（word版 含答案），共22页。
2020-2021学年湖北省十堰市丹江口市八年级（上）期末数学模拟试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）若点P（2a﹣1，3）关于y轴对称的点为Q（3，b），则点M（a，b）关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）
2．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣3 B．x≥3 C．x≤﹣3 D．x＞﹣3
3．（3分）要使分式的值为0，你认为x可取的数是（ ）
A．9 B．±3 C．﹣3 D．3
4．（3分）下面的计算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6 B．5a﹣a＝5 C．（﹣a3）2＝a6 D．（a3）2＝a5
5．（3分）下列各式从左到右的变形为分解因式的是（ ）
A．18x3y2＝3x3y2•6
B．（m+2）（m﹣3）＝m2﹣m﹣6
C．x2+8x﹣9＝（x+3）（x﹣3）+8x
D．m2﹣m﹣6＝（m+2）（m﹣3）
6．（3分）若（x+3）（x﹣5）＝x2+mx﹣15，则m的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣5 D．5
7．（3分）给定下列条件，不能判定三角形是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 B．∠A﹣∠C＝∠B
C．∠A＝∠B＝2∠C D．∠A＝∠B＝∠C
8．（3分）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D，下列结论：
①EF＝BE+CF；
②点O到△ABC各边的距离相等；
③∠BOC＝90°+∠A；
④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn．
其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（3分）如图，在△ABC和△CDE中，若∠ACB＝∠CED＝90°，AB＝CD，CE＝AC，则下列结论中错误的是（ ）
A．∠B＝∠D B．AC∥DE C．CB＝CD D．AB⊥CD
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）已知a、b、c为三角形的三边，则b+a+c 2a．
12．（3分）若，则m的取值范围是 ．
13．（3分）计算：a6÷a3﹣2a3＝ ．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4），在y轴上取一点C使△ABC为等腰三角形，符合条件的C点有 个．
15．（3分）计算+的结果是 ．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，6），点B为x轴上一动点，以AB为边在直线AB的右侧作等边三角形ABC．若点P为OA的中点，连接PC，则PC的长的最小值为 ．
三．解答题（共9小题，满分72分，每小题8分）
17．（8分）计算：
18．（9分）因式分解：
（1）2ax2﹣4axy+2ay2；
（2）x2﹣2x﹣8．
19．（6分）先化简，再求值：1﹣÷，其中x＝（﹣1）2011+•．
20．（6分）已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，AQ＝MN．求证：PC＝AN．
21．（6分）（1）已知a+b＝1，ab＝﹣3，求a2﹣3ab+b2的值．
（2）已知a﹣＝2，求a2+和a4+的值．
22．（7分）某地对一段长达2400米的河堤进行加固．在加固800米后，采用新的加固模式，每天的工作效率比原来提高25%，用26天完成了全部加固任务．
（1）原来每天加固河堤多少米？
（2）若承包商原来每天支付工人工资为1500元，提高工作效率后每天支付给工人的工资增加了20%，完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？
23．（8分）阅读下面的材料，解决问题
像（+2）（﹣2）＝3、•＝a（a≥0）、（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，和、+1与﹣1、2与2等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．我们把通过适当的变形化去分母中根号的运算叫做分母有理化．
例如：＝＝；＝＝＝3+2；
+＝+
＝2﹣+1
＝3﹣+
（1）计算：；
（2）计算：+++…+；
（3）比较﹣和﹣的大小，并说明理由；
（4）计算：．
24．（10分）（1）如图1，等腰△ABC和等腰△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，B，E，D三点在同一直线上，求证：∠BDC＝90°；
（2）如图2，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且∠BDC＝90°，求证：∠ADB＝45°；
（3）如图3，等边△ABC中，D是△ABC外一点，且∠BDC＝60°，
①∠ADB的度数；
②DA，DB，DC之间的关系．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x轴正半轴上．
（1）如图1，若∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，BD、CE是△ABC的两条角平分线，且BD、CE交于点F，直接写出CF的长 ．
（2）如图2，△ABD是等边三角形，以线段BC为边在第一象限内作等边△BCQ，连接QD并延长，交y轴于点P，当点C运动到什么位置时，满足PD＝DC？请求出点C的坐标；
（3）如图3，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值．
2020-2021学年湖北省十堰市丹江口市八年级（上）期末数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）若点P（2a﹣1，3）关于y轴对称的点为Q（3，b），则点M（a，b）关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）
【解答】解：∵点P（2a﹣1，3）关于y轴对称的点为Q（3，b），
∴2a﹣1＝﹣3，b＝3，
解得：a＝﹣1，
故M（﹣1，3），关于x轴对称的点的坐标为：（﹣1，﹣3）．
故选：C．
2．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣3 B．x≥3 C．x≤﹣3 D．x＞﹣3
【解答】解：若二次根式在实数范围内有意义，
则x+3≥0，
解得：x≥﹣3．
故选：A．
3．（3分）要使分式的值为0，你认为x可取的数是（ ）
A．9 B．±3 C．﹣3 D．3
【解答】解：∵分式的值为0，
∴x2﹣9＝0，3x﹣9≠0，
解得：x＝﹣3．
故选：C．
4．（3分）下面的计算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6 B．5a﹣a＝5 C．（﹣a3）2＝a6 D．（a3）2＝a5
【解答】解：A、a3•a2＝a5，故此选项错误；
B、5a﹣a＝4a，故此选项错误；
C、（﹣a3）2＝a6，正确；
D、（a3）2＝a6，故此选项错误；
故选：C．
5．（3分）下列各式从左到右的变形为分解因式的是（ ）
A．18x3y2＝3x3y2•6
B．（m+2）（m﹣3）＝m2﹣m﹣6
C．x2+8x﹣9＝（x+3）（x﹣3）+8x
D．m2﹣m﹣6＝（m+2）（m﹣3）
【解答】解：A、18x3y2是单项式，不是多项式，故选项错误；
B、是多项式乘法，故选项错误；
C、右边不是积的形式，x2+8x﹣9＝（x+9）（x﹣1），故选项错误；
D、符合因式分解的定义，故选项正确．
故选：D．
6．（3分）若（x+3）（x﹣5）＝x2+mx﹣15，则m的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣5 D．5
【解答】解：∵（x+3）（x﹣5）＝x2﹣2x﹣15，
即x2﹣2x﹣15＝x2+mx﹣15，
∴m＝﹣2．
故选：A．
7．（3分）给定下列条件，不能判定三角形是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 B．∠A﹣∠C＝∠B
C．∠A＝∠B＝2∠C D．∠A＝∠B＝∠C
【解答】解：A、设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，
∴x+2x+3x＝180°，
解得：x＝30°，
∴最大角∠C＝3×30°＝90°，
∴三角形是直角三角形，选项A不符合题意；
B、∵∠A﹣∠C＝∠B，
∴∠A＝∠B+∠C，
又∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝180°÷2＝90°，
∴三角形是直角三角形，选项B不符合题意；
C、设∠C＝y，则∠A＝2y，∠B＝2y，
∴y+2y+2y＝180°，
解得：y＝36°，
∴最大角∠B＝2×36°＝72°，
∴三角形不是直角三角形，选项C符合题意；
D、设∠A＝z，则∠B＝z，∠C＝2z，
∴z+z+2z＝180°，
解得：z＝45°，
∴最大角∠C＝2×45°＝90°，
∴三角形是直角三角形，选项D不符合题意．
故选：C．
8．（3分）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A． 与不能合并，所以A选项不符合题意；
B．原式＝2，所以B选项不符合题意；
C．原式＝＝＝2，所以C选项不符合题意；
D．原式＝＝，所以D选项符合题意；
故选：D．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D，下列结论：
①EF＝BE+CF；
②点O到△ABC各边的距离相等；
③∠BOC＝90°+∠A；
④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn．
其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠OBC+∠OCB＝90°﹣∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+∠A；故③正确；
在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝∠OBE，∠OCB＝∠OCF，
∵EF∥BC，
∴∠OBC＝∠EOB，∠OCB＝∠FOC，
∴∠EOB＝∠OBE，∠FOC＝∠OCF，
∴BE＝OE，CF＝OF，
∴EF＝OE+OF＝BE+CF，
故①正确；
过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，
在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴ON＝OD＝OM＝m，
∴S△AEF＝S△AOE+S△AOF＝AE•OM+AF•OD＝OD•（AE+AF）＝mn；故④错误；
在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴点O到△ABC各边的距离相等，故②正确．
故选：C．
10．（3分）如图，在△ABC和△CDE中，若∠ACB＝∠CED＝90°，AB＝CD，CE＝AC，则下列结论中错误的是（ ）
A．∠B＝∠D B．AC∥DE C．CB＝CD D．AB⊥CD
【解答】解：在Rt△ABC和Rt△CDE中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△CDE（HL），
∴∠B＝∠D，故选项A正确，不符合题意；
CB＝DE，故选项C错误，符合题意；
∠A＝∠DCE，
如图，记AB与CD的交点为点O，
∵∠A+∠B＝90°，
∴∠DCE+∠B＝90°，
∴∠COB＝90°，
∴AB⊥CD，故选项D正确，不符合题意；
∵∠ACB＝∠CED＝90°，
∴∠ACB+∠CED＝180°，
∴AC∥DE，故选项B正确，不符合题意；
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）已知a、b、c为三角形的三边，则b+a+c ＞ 2a．
【解答】解：∵b+c＞a，
∴a+b+c＞2a，
故答案为＞
12．（3分）若，则m的取值范围是 m≤4 ．
【解答】解：，得4﹣m≥0，
解得m≤4，
故答案为：m≤4．
13．（3分）计算：a6÷a3﹣2a3＝ ﹣a3 ．
【解答】解：a6÷a3﹣2a3
＝a3﹣2a3
＝﹣a3，
故答案为：﹣a3．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4），在y轴上取一点C使△ABC为等腰三角形，符合条件的C点有 4 个．
【解答】解：观察图形可知，若以点A为圆心，以AB为半径画弧，与y轴有2个交点，但其中一个与B点重合，故此时符合条件的点由1个；
若以点B为圆心，以AB为半径画弧，与y轴有2个交点；
线段AB的垂直平分线与y轴有1个交点；
∴符合条件的C点有：1+2+1＝4（个），
故答案为：4．
15．（3分）计算+的结果是 ．
【解答】解：原式＝﹣
＝
＝
＝，
故答案为：．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，6），点B为x轴上一动点，以AB为边在直线AB的右侧作等边三角形ABC．若点P为OA的中点，连接PC，则PC的长的最小值为 ．
【解答】解：如图，以AP为边作等边三角形APE，连接BE，过点E作EF⊥AP于F，
∵点A的坐标为（0，6），
∴OA＝6，
∵点P为OA的中点，
∴AP＝3，
∵△AEP是等边三角形，EF⊥AP，
∴AF＝PF＝，AE＝AP，∠EAP＝∠BAC＝60°，
∴∠BAE＝∠CAP，
在△ABE和△ACP中，
，
∴△ABE≌△ACP（SAS），
∴BE＝PC，
∴当BE有最小值时，PC有最小值，
即BE⊥x轴时，BE有最小值，
∴BE的最小值为OF＝OP+PF＝3+＝，
∴PC的最小值为，
故答案为．
三．解答题（共9小题，满分72分，每小题8分）
17．（8分）计算：
【解答】解：原式＝
＝
＝．
18．（9分）因式分解：
（1）2ax2﹣4axy+2ay2；
（2）x2﹣2x﹣8．
【解答】解：（1）2ax2﹣4axy+2ay2
＝2a（x2﹣2xy+y2）
＝2a（x﹣y）2；
（2）x2﹣2x﹣8
＝（x﹣4）（x+2）．
19．（6分）先化简，再求值：1﹣÷，其中x＝（﹣1）2011+•．
【解答】解：原式＝1﹣•
＝1﹣
＝
＝，
当x＝（﹣1）2011+•＝﹣1+4＝3时，原式＝．
20．（6分）已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，AQ＝MN．求证：PC＝AN．
【解答】证明：∵BA⊥AM，MN⊥AC，
∴∠BAM＝ANM＝90°，
∴∠PAQ+∠MAN＝∠MAN+∠AMN＝90°，
∴∠PAQ＝∠AMN，
∵PQ⊥ABMN⊥AC，
∴∠PQA＝∠ANM＝90°，
在△AQP和△MNA中，
∴△AQP≌△MNA（ASA）
∵AN＝PQAM＝AP，
∴∠AMB＝∠APM
∵∠APM＝∠BPC，∠BPC+∠PBC＝90°，∠AMB+∠ABM＝90°
∴∠ABM＝∠PBC
∵PQ⊥AB，PC⊥BC
∴PQ＝PC（角平分线的性质），
∴PC＝AN．
21．（6分）（1）已知a+b＝1，ab＝﹣3，求a2﹣3ab+b2的值．
（2）已知a﹣＝2，求a2+和a4+的值．
【解答】解：（1）∵a+b＝1，ab＝﹣3，
∴a2﹣3ab+b2＝（a+b）2 ﹣5ab＝1+15＝16；
（2）∵a﹣＝2，
∴a2+＝（a﹣）2+2•a•＝22+2＝6，
∴a4+＝（a2+）2﹣2•a2•＝62﹣2＝34．
22．（7分）某地对一段长达2400米的河堤进行加固．在加固800米后，采用新的加固模式，每天的工作效率比原来提高25%，用26天完成了全部加固任务．
（1）原来每天加固河堤多少米？
（2）若承包商原来每天支付工人工资为1500元，提高工作效率后每天支付给工人的工资增加了20%，完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？
【解答】解：（1）设原来每天加固河堤x米，则采用新的加固模式后每天加固河堤（1+25%）x米，
由题意得：+＝26，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意，
答：原来每天加固河堤80米；
（2）由（1）得：（1+25%）x＝（1+25%）×80＝100（米），
∴承包商共支付工人工资为：×1500+×1500×（1+20%）＝43800（元），
答：完成整个工程后承包商共支付工人工资43800元．
23．（8分）阅读下面的材料，解决问题
像（+2）（﹣2）＝3、•＝a（a≥0）、（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，和、+1与﹣1、2与2等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．我们把通过适当的变形化去分母中根号的运算叫做分母有理化．
例如：＝＝；＝＝＝3+2；
+＝+
＝2﹣+1
＝3﹣+
（1）计算：；
（2）计算：+++…+；
（3）比较﹣和﹣的大小，并说明理由；
（4）计算：．
【解答】解：（1）
＝
＝；
（2）+++…+
＝+++…+
＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣
＝﹣1；
（3）∵＝+，＝+，
且+＞+，
∴＞，
∴﹣＜﹣；
（4）
＝
＝
＝
＝
＝
＝﹣++．
24．（10分）（1）如图1，等腰△ABC和等腰△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，B，E，D三点在同一直线上，求证：∠BDC＝90°；
（2）如图2，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且∠BDC＝90°，求证：∠ADB＝45°；
（3）如图3，等边△ABC中，D是△ABC外一点，且∠BDC＝60°，
①∠ADB的度数；
②DA，DB，DC之间的关系．
【解答】（1）证明：如图1，设BD与AC交于点F，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAE＝∠CAD，
在△ABE和△ACD中，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠ABE＝∠ACD，
∵∠ABE+∠AFB＝90°，∠AFB＝∠CFD，
∴∠ACD+∠CFD＝90°，
∴∠BDC＝90°；
（2）如图2，过A作AE⊥AD交BD于E，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAE＝∠CAD，
∵∠BAC＝∠BDC＝90°，∠AFB＝∠CFD，
∴∠ABE＝∠ACD，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴AE＝AD，
∴∠ADE＝∠AED＝45°；
（3）①如图3，在AD的下方作∠DAE＝60°，AE交BD于E点，
与（2）同理△ABE≌△ACD，
∴AE＝DA，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE＝60°；
②∵BE＝DC，
∴DB＝BE+DE＝DA+DC．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x轴正半轴上．
（1）如图1，若∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，BD、CE是△ABC的两条角平分线，且BD、CE交于点F，直接写出CF的长 4 ．
（2）如图2，△ABD是等边三角形，以线段BC为边在第一象限内作等边△BCQ，连接QD并延长，交y轴于点P，当点C运动到什么位置时，满足PD＝DC？请求出点C的坐标；
（3）如图3，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值．
【解答】解：（1）如图1，作∠DCH＝10°，CH交BD的延长线于H，
∵∠BAO＝60°，
∴∠ABO＝30°，
∴AB＝2OA＝4，
∵∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，
∴∠ABC＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠CBD＝40°，
∴∠CBD＝∠DCB，∠OBD＝40°﹣30°＝10°，
∴DB＝DC，
在△OBD和△HCD中，
，
∴△OBD≌△HCD（ASA），
∴OB＝HC，
在△AOB和△FHC中，
，
∴△AOB≌△FHC（ASA），
∴CF＝AB＝4，
故答案为：4；
（2）∵△ABD和△BCQ是等边三角形，
∴∠ABD＝∠CBQ＝60°，
∴∠ABC＝∠DBQ，
在△CBA和△QBD中，
，
∴△CBA≌△QBD（SAS），
∴∠BDQ＝∠BAC＝60°，
∴∠PDO＝60°，
∴PD＝2DO＝4，
∵PD＝DC，
∴DC＝6，即OC＝OD+CD＝8，
∴点C的坐标为（8，0）；
（3）如图3，以OA为对称轴作等边△ADE，连接EP，并延长EP交x轴于点F．
由（2）得，△AEP≌△ADB，
∴∠AEP＝∠ADB＝120°，
∴∠OEF＝60°，
∴OF＝OA＝2，
∴点P在直线EF上运动，
当OP⊥EF时，OP最小，
∴OP＝OF＝1，
则OP的最小值为1．
2020-2021学年湖北省十堰市丹江口市八年级（上）期末数学模拟试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）若点P（2a﹣1，3）关于y轴对称的点为Q（3，b），则点M（a，b）关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）
2．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣3 B．x≥3 C．x≤﹣3 D．x＞﹣3
3．（3分）要使分式的值为0，你认为x可取的数是（ ）
A．9 B．±3 C．﹣3 D．3
4．（3分）下面的计算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6 B．5a﹣a＝5 C．（﹣a3）2＝a6 D．（a3）2＝a5
5．（3分）下列各式从左到右的变形为分解因式的是（ ）
A．18x3y2＝3x3y2•6
B．（m+2）（m﹣3）＝m2﹣m﹣6
C．x2+8x﹣9＝（x+3）（x﹣3）+8x
D．m2﹣m﹣6＝（m+2）（m﹣3）
6．（3分）若（x+3）（x﹣5）＝x2+mx﹣15，则m的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣5 D．5
7．（3分）给定下列条件，不能判定三角形是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 B．∠A﹣∠C＝∠B
C．∠A＝∠B＝2∠C D．∠A＝∠B＝∠C
8．（3分）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D，下列结论：
①EF＝BE+CF；
②点O到△ABC各边的距离相等；
③∠BOC＝90°+∠A；
④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn．
其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（3分）如图，在△ABC和△CDE中，若∠ACB＝∠CED＝90°，AB＝CD，CE＝AC，则下列结论中错误的是（ ）
A．∠B＝∠D B．AC∥DE C．CB＝CD D．AB⊥CD
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）已知a、b、c为三角形的三边，则b+a+c 2a．
12．（3分）若，则m的取值范围是 ．
13．（3分）计算：a6÷a3﹣2a3＝ ．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4），在y轴上取一点C使△ABC为等腰三角形，符合条件的C点有 个．
15．（3分）计算+的结果是 ．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，6），点B为x轴上一动点，以AB为边在直线AB的右侧作等边三角形ABC．若点P为OA的中点，连接PC，则PC的长的最小值为 ．
三．解答题（共9小题，满分72分，每小题8分）
17．（8分）计算：
18．（9分）因式分解：
（1）2ax2﹣4axy+2ay2；
（2）x2﹣2x﹣8．
19．（6分）先化简，再求值：1﹣÷，其中x＝（﹣1）2011+•．
20．（6分）已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，AQ＝MN．求证：PC＝AN．
21．（6分）（1）已知a+b＝1，ab＝﹣3，求a2﹣3ab+b2的值．
（2）已知a﹣＝2，求a2+和a4+的值．
22．（7分）某地对一段长达2400米的河堤进行加固．在加固800米后，采用新的加固模式，每天的工作效率比原来提高25%，用26天完成了全部加固任务．
（1）原来每天加固河堤多少米？
（2）若承包商原来每天支付工人工资为1500元，提高工作效率后每天支付给工人的工资增加了20%，完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？
23．（8分）阅读下面的材料，解决问题
像（+2）（﹣2）＝3、•＝a（a≥0）、（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，和、+1与﹣1、2与2等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．我们把通过适当的变形化去分母中根号的运算叫做分母有理化．
例如：＝＝；＝＝＝3+2；
+＝+
＝2﹣+1
＝3﹣+
（1）计算：；
（2）计算：+++…+；
（3）比较﹣和﹣的大小，并说明理由；
（4）计算：．
24．（10分）（1）如图1，等腰△ABC和等腰△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，B，E，D三点在同一直线上，求证：∠BDC＝90°；
（2）如图2，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且∠BDC＝90°，求证：∠ADB＝45°；
（3）如图3，等边△ABC中，D是△ABC外一点，且∠BDC＝60°，
①∠ADB的度数；
②DA，DB，DC之间的关系．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x轴正半轴上．
（1）如图1，若∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，BD、CE是△ABC的两条角平分线，且BD、CE交于点F，直接写出CF的长 ．
（2）如图2，△ABD是等边三角形，以线段BC为边在第一象限内作等边△BCQ，连接QD并延长，交y轴于点P，当点C运动到什么位置时，满足PD＝DC？请求出点C的坐标；
（3）如图3，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值．
2020-2021学年湖北省十堰市丹江口市八年级（上）期末数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）若点P（2a﹣1，3）关于y轴对称的点为Q（3，b），则点M（a，b）关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）
【解答】解：∵点P（2a﹣1，3）关于y轴对称的点为Q（3，b），
∴2a﹣1＝﹣3，b＝3，
解得：a＝﹣1，
故M（﹣1，3），关于x轴对称的点的坐标为：（﹣1，﹣3）．
故选：C．
2．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣3 B．x≥3 C．x≤﹣3 D．x＞﹣3
【解答】解：若二次根式在实数范围内有意义，
则x+3≥0，
解得：x≥﹣3．
故选：A．
3．（3分）要使分式的值为0，你认为x可取的数是（ ）
A．9 B．±3 C．﹣3 D．3
【解答】解：∵分式的值为0，
∴x2﹣9＝0，3x﹣9≠0，
解得：x＝﹣3．
故选：C．
4．（3分）下面的计算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6 B．5a﹣a＝5 C．（﹣a3）2＝a6 D．（a3）2＝a5
【解答】解：A、a3•a2＝a5，故此选项错误；
B、5a﹣a＝4a，故此选项错误；
C、（﹣a3）2＝a6，正确；
D、（a3）2＝a6，故此选项错误；
故选：C．
5．（3分）下列各式从左到右的变形为分解因式的是（ ）
A．18x3y2＝3x3y2•6
B．（m+2）（m﹣3）＝m2﹣m﹣6
C．x2+8x﹣9＝（x+3）（x﹣3）+8x
D．m2﹣m﹣6＝（m+2）（m﹣3）
【解答】解：A、18x3y2是单项式，不是多项式，故选项错误；
B、是多项式乘法，故选项错误；
C、右边不是积的形式，x2+8x﹣9＝（x+9）（x﹣1），故选项错误；
D、符合因式分解的定义，故选项正确．
故选：D．
6．（3分）若（x+3）（x﹣5）＝x2+mx﹣15，则m的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣5 D．5
【解答】解：∵（x+3）（x﹣5）＝x2﹣2x﹣15，
即x2﹣2x﹣15＝x2+mx﹣15，
∴m＝﹣2．
故选：A．
7．（3分）给定下列条件，不能判定三角形是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 B．∠A﹣∠C＝∠B
C．∠A＝∠B＝2∠C D．∠A＝∠B＝∠C
【解答】解：A、设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，
∴x+2x+3x＝180°，
解得：x＝30°，
∴最大角∠C＝3×30°＝90°，
∴三角形是直角三角形，选项A不符合题意；
B、∵∠A﹣∠C＝∠B，
∴∠A＝∠B+∠C，
又∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝180°÷2＝90°，
∴三角形是直角三角形，选项B不符合题意；
C、设∠C＝y，则∠A＝2y，∠B＝2y，
∴y+2y+2y＝180°，
解得：y＝36°，
∴最大角∠B＝2×36°＝72°，
∴三角形不是直角三角形，选项C符合题意；
D、设∠A＝z，则∠B＝z，∠C＝2z，
∴z+z+2z＝180°，
解得：z＝45°，
∴最大角∠C＝2×45°＝90°，
∴三角形是直角三角形，选项D不符合题意．
故选：C．
8．（3分）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A． 与不能合并，所以A选项不符合题意；
B．原式＝2，所以B选项不符合题意；
C．原式＝＝＝2，所以C选项不符合题意；
D．原式＝＝，所以D选项符合题意；
故选：D．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D，下列结论：
①EF＝BE+CF；
②点O到△ABC各边的距离相等；
③∠BOC＝90°+∠A；
④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn．
其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠OBC+∠OCB＝90°﹣∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+∠A；故③正确；
在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝∠OBE，∠OCB＝∠OCF，
∵EF∥BC，
∴∠OBC＝∠EOB，∠OCB＝∠FOC，
∴∠EOB＝∠OBE，∠FOC＝∠OCF，
∴BE＝OE，CF＝OF，
∴EF＝OE+OF＝BE+CF，
故①正确；
过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，
在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴ON＝OD＝OM＝m，
∴S△AEF＝S△AOE+S△AOF＝AE•OM+AF•OD＝OD•（AE+AF）＝mn；故④错误；
在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴点O到△ABC各边的距离相等，故②正确．
故选：C．
10．（3分）如图，在△ABC和△CDE中，若∠ACB＝∠CED＝90°，AB＝CD，CE＝AC，则下列结论中错误的是（ ）
A．∠B＝∠D B．AC∥DE C．CB＝CD D．AB⊥CD
【解答】解：在Rt△ABC和Rt△CDE中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△CDE（HL），
∴∠B＝∠D，故选项A正确，不符合题意；
CB＝DE，故选项C错误，符合题意；
∠A＝∠DCE，
如图，记AB与CD的交点为点O，
∵∠A+∠B＝90°，
∴∠DCE+∠B＝90°，
∴∠COB＝90°，
∴AB⊥CD，故选项D正确，不符合题意；
∵∠ACB＝∠CED＝90°，
∴∠ACB+∠CED＝180°，
∴AC∥DE，故选项B正确，不符合题意；
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）已知a、b、c为三角形的三边，则b+a+c ＞ 2a．
【解答】解：∵b+c＞a，
∴a+b+c＞2a，
故答案为＞
12．（3分）若，则m的取值范围是 m≤4 ．
【解答】解：，得4﹣m≥0，
解得m≤4，
故答案为：m≤4．
13．（3分）计算：a6÷a3﹣2a3＝ ﹣a3 ．
【解答】解：a6÷a3﹣2a3
＝a3﹣2a3
＝﹣a3，
故答案为：﹣a3．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4），在y轴上取一点C使△ABC为等腰三角形，符合条件的C点有 4 个．
【解答】解：观察图形可知，若以点A为圆心，以AB为半径画弧，与y轴有2个交点，但其中一个与B点重合，故此时符合条件的点由1个；
若以点B为圆心，以AB为半径画弧，与y轴有2个交点；
线段AB的垂直平分线与y轴有1个交点；
∴符合条件的C点有：1+2+1＝4（个），
故答案为：4．
15．（3分）计算+的结果是 ．
【解答】解：原式＝﹣
＝
＝
＝，
故答案为：．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，6），点B为x轴上一动点，以AB为边在直线AB的右侧作等边三角形ABC．若点P为OA的中点，连接PC，则PC的长的最小值为 ．
【解答】解：如图，以AP为边作等边三角形APE，连接BE，过点E作EF⊥AP于F，
∵点A的坐标为（0，6），
∴OA＝6，
∵点P为OA的中点，
∴AP＝3，
∵△AEP是等边三角形，EF⊥AP，
∴AF＝PF＝，AE＝AP，∠EAP＝∠BAC＝60°，
∴∠BAE＝∠CAP，
在△ABE和△ACP中，
，
∴△ABE≌△ACP（SAS），
∴BE＝PC，
∴当BE有最小值时，PC有最小值，
即BE⊥x轴时，BE有最小值，
∴BE的最小值为OF＝OP+PF＝3+＝，
∴PC的最小值为，
故答案为．
三．解答题（共9小题，满分72分，每小题8分）
17．（8分）计算：
【解答】解：原式＝
＝
＝．
18．（9分）因式分解：
（1）2ax2﹣4axy+2ay2；
（2）x2﹣2x﹣8．
【解答】解：（1）2ax2﹣4axy+2ay2
＝2a（x2﹣2xy+y2）
＝2a（x﹣y）2；
（2）x2﹣2x﹣8
＝（x﹣4）（x+2）．
19．（6分）先化简，再求值：1﹣÷，其中x＝（﹣1）2011+•．
【解答】解：原式＝1﹣•
＝1﹣
＝
＝，
当x＝（﹣1）2011+•＝﹣1+4＝3时，原式＝．
20．（6分）已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，AQ＝MN．求证：PC＝AN．
【解答】证明：∵BA⊥AM，MN⊥AC，
∴∠BAM＝ANM＝90°，
∴∠PAQ+∠MAN＝∠MAN+∠AMN＝90°，
∴∠PAQ＝∠AMN，
∵PQ⊥ABMN⊥AC，
∴∠PQA＝∠ANM＝90°，
在△AQP和△MNA中，
∴△AQP≌△MNA（ASA）
∵AN＝PQAM＝AP，
∴∠AMB＝∠APM
∵∠APM＝∠BPC，∠BPC+∠PBC＝90°，∠AMB+∠ABM＝90°
∴∠ABM＝∠PBC
∵PQ⊥AB，PC⊥BC
∴PQ＝PC（角平分线的性质），
∴PC＝AN．
21．（6分）（1）已知a+b＝1，ab＝﹣3，求a2﹣3ab+b2的值．
（2）已知a﹣＝2，求a2+和a4+的值．
【解答】解：（1）∵a+b＝1，ab＝﹣3，
∴a2﹣3ab+b2＝（a+b）2 ﹣5ab＝1+15＝16；
（2）∵a﹣＝2，
∴a2+＝（a﹣）2+2•a•＝22+2＝6，
∴a4+＝（a2+）2﹣2•a2•＝62﹣2＝34．
22．（7分）某地对一段长达2400米的河堤进行加固．在加固800米后，采用新的加固模式，每天的工作效率比原来提高25%，用26天完成了全部加固任务．
（1）原来每天加固河堤多少米？
（2）若承包商原来每天支付工人工资为1500元，提高工作效率后每天支付给工人的工资增加了20%，完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？
【解答】解：（1）设原来每天加固河堤x米，则采用新的加固模式后每天加固河堤（1+25%）x米，
由题意得：+＝26，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意，
答：原来每天加固河堤80米；
（2）由（1）得：（1+25%）x＝（1+25%）×80＝100（米），
∴承包商共支付工人工资为：×1500+×1500×（1+20%）＝43800（元），
答：完成整个工程后承包商共支付工人工资43800元．
23．（8分）阅读下面的材料，解决问题
像（+2）（﹣2）＝3、•＝a（a≥0）、（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，和、+1与﹣1、2与2等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．我们把通过适当的变形化去分母中根号的运算叫做分母有理化．
例如：＝＝；＝＝＝3+2；
+＝+
＝2﹣+1
＝3﹣+
（1）计算：；
（2）计算：+++…+；
（3）比较﹣和﹣的大小，并说明理由；
（4）计算：．
【解答】解：（1）
＝
＝；
（2）+++…+
＝+++…+
＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣
＝﹣1；
（3）∵＝+，＝+，
且+＞+，
∴＞，
∴﹣＜﹣；
（4）
＝
＝
＝
＝
＝
＝﹣++．
24．（10分）（1）如图1，等腰△ABC和等腰△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，B，E，D三点在同一直线上，求证：∠BDC＝90°；
（2）如图2，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且∠BDC＝90°，求证：∠ADB＝45°；
（3）如图3，等边△ABC中，D是△ABC外一点，且∠BDC＝60°，
①∠ADB的度数；
②DA，DB，DC之间的关系．
【解答】（1）证明：如图1，设BD与AC交于点F，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAE＝∠CAD，
在△ABE和△ACD中，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠ABE＝∠ACD，
∵∠ABE+∠AFB＝90°，∠AFB＝∠CFD，
∴∠ACD+∠CFD＝90°，
∴∠BDC＝90°；
（2）如图2，过A作AE⊥AD交BD于E，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAE＝∠CAD，
∵∠BAC＝∠BDC＝90°，∠AFB＝∠CFD，
∴∠ABE＝∠ACD，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴AE＝AD，
∴∠ADE＝∠AED＝45°；
（3）①如图3，在AD的下方作∠DAE＝60°，AE交BD于E点，
与（2）同理△ABE≌△ACD，
∴AE＝DA，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE＝60°；
②∵BE＝DC，
∴DB＝BE+DE＝DA+DC．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x轴正半轴上．
（1）如图1，若∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，BD、CE是△ABC的两条角平分线，且BD、CE交于点F，直接写出CF的长 4 ．
（2）如图2，△ABD是等边三角形，以线段BC为边在第一象限内作等边△BCQ，连接QD并延长，交y轴于点P，当点C运动到什么位置时，满足PD＝DC？请求出点C的坐标；
（3）如图3，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值．
【解答】解：（1）如图1，作∠DCH＝10°，CH交BD的延长线于H，
∵∠BAO＝60°，
∴∠ABO＝30°，
∴AB＝2OA＝4，
∵∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，
∴∠ABC＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠CBD＝40°，
∴∠CBD＝∠DCB，∠OBD＝40°﹣30°＝10°，
∴DB＝DC，
在△OBD和△HCD中，
，
∴△OBD≌△HCD（ASA），
∴OB＝HC，
在△AOB和△FHC中，
，
∴△AOB≌△FHC（ASA），
∴CF＝AB＝4，
故答案为：4；
（2）∵△ABD和△BCQ是等边三角形，
∴∠ABD＝∠CBQ＝60°，
∴∠ABC＝∠DBQ，
在△CBA和△QBD中，
，
∴△CBA≌△QBD（SAS），
∴∠BDQ＝∠BAC＝60°，
∴∠PDO＝60°，
∴PD＝2DO＝4，
∵PD＝DC，
∴DC＝6，即OC＝OD+CD＝8，
∴点C的坐标为（8，0）；
（3）如图3，以OA为对称轴作等边△ADE，连接EP，并延长EP交x轴于点F．
由（2）得，△AEP≌△ADB，
∴∠AEP＝∠ADB＝120°，
∴∠OEF＝60°，
∴OF＝OA＝2，
∴点P在直线EF上运动，
当OP⊥EF时，OP最小，
∴OP＝OF＝1，
则OP的最小值为1．
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