湖北省随州市随县2020-2021学年八年级上学期期末数学试卷（word版 含答案）

这是一份湖北省随州市随县2020-2021学年八年级上学期期末数学试卷（word版 含答案），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年湖北省随州市随县八年级上学期期末调研测试
数学试卷
（含参考答案与试题解析）

一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）
1．（3分）如图，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）将数据0.0000025用科学记数法表示为（　　）
A．25×10﹣7 B．0.25×10﹣8 C．2.5×10﹣7 D．2.5×10﹣6
3．（3分）下列式子：①，②，③，④，其中是分式的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（3分）在平面直角坐标系中，点A（m，﹣2）与点B（﹣3，n）关于y轴对称，则点（m，n）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（3分）在下列命题中：①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的三角形是等边三角形；④三个外角都相等的三角形是等边三角形．正确的命题有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．（3分）为了运用平方差公式计算（x+2y﹣1）（x﹣2y+1），下列变形正确的是（　　）
A．[x﹣（2y+1）]2 B．[x+（2y﹣1）][x﹣（2y﹣1）]
C．[（x﹣2y）+1][（x﹣2y）﹣1] D．[x+（2y﹣1）]2
7．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（　　）

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
8．（3分）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，交BC于点E，垂足为点D，BE＝6cm，∠B＝15°，则AC等于（　　）

A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm
9．（3分）如图，在△ABC中，点D是AB边的中点，过点D作边AB的垂线l，E是l上任意一点，AC＝5cm，BC＝8cm．则△AEC的周长的最小值为（　　）

A．8cm B．5cm C．18cm D．13cm
10．（3分）如图，将两个全等的直角三角尺ABC和ADE如图摆放，∠CAB＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠DEA＝30°，使点D落在BC边上，连接EB，EC，则下列结论：①∠DAC＝∠DCA；②ED为AC的垂直平分线；③EB平分∠AED；④△ACE为等边三角形．其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：2a2﹣8＝　 　．
12．（3分）如图，从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的实际时刻是　 　．

13．（3分）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA＝3，则PQ的最小值为　 　．

14．（3分）若a﹣b＝6，ab＝2，则a2+b2＝　 　．
15．（3分）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是　 　．
16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE与AC交于E．在点D的运动过程中，∠BDA的度数为 　 　时，△ADE的形状是等腰三角形．

三、解答题（本题共8个小题，共72分）
17．（10分）（1）解方程：﹣＝；
（2）分解因式：﹣3x3+6x2y﹣3xy2．
18．（6分）先化简（1﹣）•，再在1，2，3中选取一个适当的数代入求值．
19．（8分）如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ＝6，PE＝2．
（1）求∠BPD的度数？
（2）求AD的长．

20．（8分）将一副三角板按如图所示的方式摆放，AD是等腰直角三角板ABC斜边BC上的高，另一块三角板DMN的直角顶点与点D重合，DM、DN分别交AB、AC于点E、F．
（1）请判别△DEF的形状．并证明你的结论；
（2）若BC＝4，求四边形AEDF的面积．

21．（8分）如图，已知在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，1），B （4，2），C（3，4）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1（要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应）；
（2）通过画图，在x轴上确定点Q，使得QA与QB之和最小，画出QA与QB，并直接写出点Q的坐标．点Q的坐标为　 　．

22．（10分）某商店准备购进A，B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，用3000元购进A种商品和用1800元购进B种商品的数量相同．
（1）A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？
（2）商店计划用不超过1560元的资金购进A，B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？
23．（10分）问题背景：如图①，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D，E，易证：DE＝　 　+　 　．
拓展延伸：如图②，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，请求出DE，BD，CE三条线段的数量关系，并证明．
实际应用：如图③，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣6，3），请直接写出B点的坐标．


24．（12分）（1）如图①，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，则∠AEB的度数为 　 　．
（2）如图②，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．
①求∠AEB的度数；
②求线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．


2020-2021学年湖北省随州市随县八年级上学期期末调研测试
数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）
1．（3分）如图，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形；
B、是轴对称图形；
C、不是轴对称图形；
D、不是轴对称图形．
故选：B．
2．（3分）将数据0.0000025用科学记数法表示为（　　）
A．25×10﹣7 B．0.25×10﹣8 C．2.5×10﹣7 D．2.5×10﹣6
【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000025＝2.5×10﹣6．
故选：D．
3．（3分）下列式子：①，②，③，④，其中是分式的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据分式的定义即可求出答案．
【解答】解：①，③，④是分式，
故选：C．
4．（3分）在平面直角坐标系中，点A（m，﹣2）与点B（﹣3，n）关于y轴对称，则点（m，n）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据关于y轴对称点的性质求出m和n的值，从而得解：
【解答】∵点A（m，﹣2）与点B（﹣3，n）关于y轴对称，
∴m＝3，n＝﹣2，
∴点（3，﹣2）在第四象限．
故选：D．
5．（3分）在下列命题中：①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的三角形是等边三角形；④三个外角都相等的三角形是等边三角形．正确的命题有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，三个角相等的三角形是等边三角形进行分析即可．
【解答】解：①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形，命题正确；
②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形，命题错误；
③有一边上的高也是这边上的中线的三角形是等边三角形，命题错误；
④三个外角都相等的三角形是等边三角形，命题正确，
正确的命题有2个，
故选：C．
6．（3分）为了运用平方差公式计算（x+2y﹣1）（x﹣2y+1），下列变形正确的是（　　）
A．[x﹣（2y+1）]2 B．[x+（2y﹣1）][x﹣（2y﹣1）]
C．[（x﹣2y）+1][（x﹣2y）﹣1] D．[x+（2y﹣1）]2
【分析】原式利用平方差公式的结构特征变形即可．
【解答】解：运用平方差公式计算（x+2y﹣1）（x﹣2y+1），
应变形为[x+（2y﹣1）][x﹣（2y﹣1）]，
故选：B．
7．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（　　）

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA＝OC，然后判断出△AOE和△COE全等，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，从而得到△ABC关于直线AD轴对称，再根据全等三角形的定义写出全等三角形即可得解．
【解答】解：∵EF是AC的垂直平分线，
∴OA＝OC，
又∵OE＝OE，
∴Rt△AOE≌Rt△COE，
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴△ABC关于直线AD轴对称，
∴△AOC≌△AOB，△BOD≌△COD，△ABD≌△ACD，
综上所述，全等三角形共有4对．
故选：D．
8．（3分）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，交BC于点E，垂足为点D，BE＝6cm，∠B＝15°，则AC等于（　　）

A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据线段垂直平分性质求出BE＝AE＝6cm，求出∠EAB＝∠B＝15°，求出∠EAC，根据含30°角的直角三角形性质求出即可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，
∴∠BAC＝90°﹣15°＝75°，
∵DE垂直平分AB，BE＝6cm，
∴BE＝AE＝6cm，
∴∠EAB＝∠B＝15°，
∴∠EAC＝75°﹣15°＝60°，
∵∠C＝90°，
∴∠AEC＝30°，
∴AC＝AE＝×6cm＝3cm，
故选：D．
9．（3分）如图，在△ABC中，点D是AB边的中点，过点D作边AB的垂线l，E是l上任意一点，AC＝5cm，BC＝8cm．则△AEC的周长的最小值为（　　）

A．8cm B．5cm C．18cm D．13cm
【分析】连接BE，由垂直平分线的性质，可知 BE＝AE，所以△AEC的周长的最小值为BC+AC．
【解答】解：连接BE，
∵点D是AB边的中点，过点D作边AB的垂线l，
∴l是AB的垂直平分线，
∴BE＝AE，
∴BE+CE≥BC，
∴△AEC的周长的最小值为BC+AC，
∵AC＝5cm，BC＝8cm，
∴BC+AC＝13cm，
∴△AEC的周长的最小值为13cm，
故选：D．

10．（3分）如图，将两个全等的直角三角尺ABC和ADE如图摆放，∠CAB＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠DEA＝30°，使点D落在BC边上，连接EB，EC，则下列结论：①∠DAC＝∠DCA；②ED为AC的垂直平分线；③EB平分∠AED；④△ACE为等边三角形．其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【分析】先利用旋转的性质得到AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，则可判断△ABD为等边三角形，所以∠BAD＝∠ADB＝60°，则∠EAC＝∠BAD＝60°，再计算出∠DAC＝30°，于是可对①进行判断；接着证明△AEC为等边三角形得到EA＝EC，得出④正确，加上DA＝DC，则根据线段垂直平分线的判定方法可对②进行判断；然后根据平行线和等腰三角形的性质，则可对③进行判断；即可得出结论．
【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵△ABC≌△ADE，
∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠BAD＝∠ADB＝60°，
∴∠EAC＝∠BAD＝60°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAC＝30°＝∠ACB，
∴∠DAC＝∠DCA，①正确；
∵AC＝AE，∠EAC＝60°，
∴△ACE为等边三角形，④正确；
∴EA＝EC，
而DA＝DC，
∴ED为AC的垂直平分线，②正确；
∴DE⊥AC，
∵AB⊥AC，
∴AB∥DE，
∴∠ABE＝∠BED，
∵AB≠AE，
∴∠ABE≠∠AEB，
∴∠AEB≠∠BED，
∴EB平分∠AED不正确，故③错误；
故选：B．
二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：2a2﹣8＝　2（a+2）（a﹣2）　．
【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：2a2﹣8
＝2（a2﹣4），
＝2（a+2）（a﹣2）．
故答案为：2（a+2）（a﹣2）．
12．（3分）如图，从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的实际时刻是　9：30　．

【分析】镜子中的时间和实际时间关于钟表上过6和12的直线对称，作出相应图形，即可得到准确时间．
【解答】解：由图中可以看出，此时的时间为9：30．
故答案为：9：30．
13．（3分）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA＝3，则PQ的最小值为　3　．

【分析】根据垂线段最短可知PQ⊥OM时，PQ的值最小，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PQ＝PA．
【解答】解：根据垂线段最短，PQ⊥OM时，PQ的值最小，
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，
∴PQ＝PA＝3．
故答案为：3．
14．（3分）若a﹣b＝6，ab＝2，则a2+b2＝　40　．
【分析】根据完全平方公式：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2进行计算即可．
【解答】解：∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，a﹣b＝6，ab＝2，
∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝36+2×2＝40，
故答案为：40．
15．（3分）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是　m≥2且m≠3　．
【分析】解出分式方程，根据解是非负数求出m的取值范围，再根据x＝1是分式方程的增根，求出此时m的值，得到答案．
【解答】解：去分母得，
m﹣3＝x﹣1，
解得x＝m﹣2，
由题意得，m﹣2≥0，
解得，m≥2，
x＝1是分式方程的增根，所有当x＝1时，方程无解，即m≠3，
所以m的取值范围是m≥2且m≠3．
故答案为：m≥2且m≠3．
16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE与AC交于E．在点D的运动过程中，∠BDA的度数为 　110°或80°　时，△ADE的形状是等腰三角形．

【分析】分三种情形，①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°，由∠AED＞∠C，舍去；②当DA＝DE时，即∠DAE＝∠DEA＝＝70°，③当EA＝ED时，∠ADE＝∠DAE＝40°，分别利用三角形内角和进行计算即可．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°，
∵∠AED＞∠C，
∴此时不符合；
②当DA＝DE时，即∠DAE＝∠DEA＝＝70°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝100°﹣70°＝30°，
∴∠BDA＝180°﹣30°﹣40°＝110°；
③当EA＝ED时，∠ADE＝∠DAE＝40°，
∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°，
∴∠BDA＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
∴当∠BDA的度数为 110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，
故答案为：110°或80°．
三、解答题（本题共8个小题，共72分）
17．（10分）（1）解方程：﹣＝；
（2）分解因式：﹣3x3+6x2y﹣3xy2．
【分析】（1）先去分母，再移项，求出方程的根，对根进行检验即可；
（2）先提取公因式，再用完全平方公式进行因式分解即可．
【解答】解：（1）﹣＝，
方程两边同乘以3（2x﹣1），得2x﹣1﹣3＝4，
移项，得2x＝8，
解得：x＝4，
经检验，x＝4是原方程的解，
∴原分式方程的解为x＝4；
（2）﹣3x3+6x2y﹣3xy2
＝﹣3x（x2﹣2xy+y2）
＝﹣3x（x﹣y）2．
18．（6分）先化简（1﹣）•，再在1，2，3中选取一个适当的数代入求值．
【分析】此题只需先进行分式运算得到最简结果，再挑选出一个使分式有意义的值代入求得结果即可．
【解答】解：（1﹣）•，
＝•，
＝，
∵x﹣1≠0，x﹣3≠0，
∴x≠1，x≠3，
∴把x＝2代入得：原式＝＝﹣2．
19．（8分）如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ＝6，PE＝2．
（1）求∠BPD的度数？
（2）求AD的长．

【分析】（1）由SAS证得△ABE≌△CAD，得出∠CAD＝∠ABE，由三角形外角性质推出∠BPD＝∠BAD+∠CAD即可；
（2）由（1）得∠BPQ＝60°，即可求得BP的长，由△ABE≌△CAD，得出AD＝BE，即可得出结果．
【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAE＝∠ACD＝60°，
在△ABE和△CAD中，，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴∠CAD＝∠ABE，
∴∠BPD＝∠BAD+∠ABE＝∠BAD+∠CAD＝∠BAE＝60°；
（2）由（1）得：∠BPD＝60°，
即∠BPQ＝60°，
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ＝30°，
∴BP＝2PQ＝12，
∵△ABE≌△CAD，
∴AD＝BE，
∴AD＝BE＝BP+PE＝12+2＝14．
20．（8分）将一副三角板按如图所示的方式摆放，AD是等腰直角三角板ABC斜边BC上的高，另一块三角板DMN的直角顶点与点D重合，DM、DN分别交AB、AC于点E、F．
（1）请判别△DEF的形状．并证明你的结论；
（2）若BC＝4，求四边形AEDF的面积．

【分析】（1）可得∠CAD＝∠B＝45°，根据同角的余角相等求出∠CDF＝∠ADE，然后利用“角边角”证明△ADE和△CDF全等，则结论得证；
（2）根据全等三角形的面积相等可得S△ADE＝S△CDF，从而求出S四边形AEDF＝S△ABD＝，可求出答案．
【解答】（1）解：△DEF是等腰直角三角形．证明如下：
AD⊥BC，∠BAD＝45°，
∴∠EAD＝∠C，
∵∠MDN是直角，
∴∠ADF+∠ADE＝90°，
∵∠CDF+∠ADF＝∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴DE＝DF，
又∵∠MDN＝90°，
∴∠EDF＝90°，
∴△DEF是等腰直角三角形；
（2）∵△ADE≌△CDF，
∴S△ADE＝S△CDF，
∴S四边形AEDF＝S△ABD＝＝BC2＝＝2．
21．（8分）如图，已知在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，1），B （4，2），C（3，4）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1（要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应）；
（2）通过画图，在x轴上确定点Q，使得QA与QB之和最小，画出QA与QB，并直接写出点Q的坐标．点Q的坐标为　（2，0）　．

【分析】（1）依据轴对称的性质进行作图，即可得到△A1B1C1；
（2）作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B，交x轴于点Q，则QA与QB之和最小．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；

（2）如图所示，点Q即为所求，点Q的坐标为（2，0）．
故答案为：（2，0）．
22．（10分）某商店准备购进A，B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，用3000元购进A种商品和用1800元购进B种商品的数量相同．
（1）A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？
（2）商店计划用不超过1560元的资金购进A，B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？
【分析】（1）设A种商品每件的进价为x元，则B种商品每件的进价是（x﹣20）元，由题意得关于x的分式方程，求解并检验，然后作答即可；
（2）设购进A种商品a件，则购进B种商品（40﹣a）件，由题意得关于a的不等式组，解得a的取值范围，再取整数解，则方案数可得．
【解答】解：（1）设A种商品每件的进价为x元，则B种商品每件的进价是（x﹣20）元，
由题意得：＝，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解且符合实际意义．
50﹣20＝30（元），
答：A种商品每件的进价为50元，B种商品每件的进价是30元．

（2）设购进A种商品a件，则购进B种商品（40﹣a）件，
由题意得：，
解得：≤a≤18，
∵a取整数，
∴a可为14，15，16，17，18，
答：该商店有5种进货方案．
23．（10分）问题背景：如图①，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D，E，易证：DE＝　BD　+　CE　．
拓展延伸：如图②，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，请求出DE，BD，CE三条线段的数量关系，并证明．
实际应用：如图③，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣6，3），请直接写出B点的坐标．


【分析】问题背景：证明△ABD≌△CAE，根据全等三角形的性质得到AE＝BD，AD＝CE，结合图形解答即可；
拓展延伸：根据三角形内角和定理、平角的定义证明∠ABD＝∠CAE，证明△ABD≌△CAE，根据全等三角形的性质得到AE＝BD，AD＝CE，结合图形解答即可；
实际应用：根据△AEC≌△CFB，得到CF＝AE＝3，BF＝CE＝OE﹣OC＝4，根据坐标与图形性质解答．
【解答】解：问题背景：DE＝BD+CE，
证明：∵BD⊥AD，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠CAE+∠BAD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE，
故答案为：BD，CE；
拓展延伸：DE＝BD+CE，
证明：在△ABD中，∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD，
∵∠CAE＝180°﹣∠BAC﹣∠BAD，∠BDA＝∠AEC，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE；
实际应用：如图③，作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，

∵点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣6，3），
∴AE＝3，OE＝6，OC＝2，
由（1）可知，△AEC≌△CFB，
∴CF＝AE＝3，BF＝CE＝OE﹣OC＝4，
∴OF＝CF﹣OC＝1，
∴点B的坐标为（1，4）．
24．（12分）（1）如图①，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，则∠AEB的度数为 　60°　．
（2）如图②，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．
①求∠AEB的度数；
②求线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．

【分析】（1）通过SAS证明△ACD≌△BCE，即可得出答案；
（2）①由（1）同理可证△ACD≌△BCE，得AD＝BE，∠ADC＝∠BEC；
②根据等腰直角三角形的性质可得DE＝2CM，从而解决问题；
【解答】解：（1）∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠ADC＝∠CEB，
∴∠AEB＝∠ADC﹣∠CED＝60°，
故答案为：60°；
（2）①∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB．
即∠ACD＝∠BCE．
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，
∵△DCE为等腰直角三角形，∠DCE＝90°，
∴∠CDE＝∠CED＝45°，
∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝180°﹣45°＝135°，
∴∠BEC＝135°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°；
②AE＝BE+2CM．
理由如下：在等腰直角三角形DCE中，
∵CM为斜边DE上的高，
∴CM＝DM＝EM，
∴DE＝2CM，
∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．