湖北省十堰市2020-2021学年八年级上学期期末数学试卷（word版 含答案）

这是一份湖北省十堰市2020-2021学年八年级上学期期末数学试卷（word版 含答案），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列各组数可能是一个三角形的边长的是（ ）
A．4，4，9B．2，6，8C．3，4，5D．1，2，3
2．下列运算正确的是（ ）
A．a•a5＝a5 B．（﹣a3）2 ＝a 6
C．a8÷a2 ＝a4 D．a3 +a3 ＝a6
3．下列等式中，从左到右的变形中是因式分解的是（ ）
A．9x2﹣6x+1＝（3x﹣1）2B．x2﹣4x+1＝x（x﹣4）+1
C．3m（m﹣n）＝3m2﹣3mnD．x+3y＝（x+y）+2y
4．如果把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大3倍B．不变C．缩小3倍D．扩大2倍
5．如图所示，AB＝AC，要说明△ADC≌△AEB，需添加的条件不能是（ ）
A．∠B＝∠CB．AD＝AEC．∠ADC＝∠AEBD．DC＝BE
6．如图，△ABC中，∠C＝70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2＝（ ）
A．360°B．250°C．180°D．140°
7．如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（ ）
A．1号袋B．2号袋C．3号袋D．4号袋
8．已知甲做360个零件与乙做480个零件所用的时间相同，两人每天共做140个零件，设甲每天做x个零件，根据题意，可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，BC＝10，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（ ）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；
②∠AFG＝∠AGF；
③∠FAG＝2∠ACF；
④AD＝2.4．
A．①②③④B．①②③C．①②④D．③④
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB、AC为腰向外作等腰直角三角形△ABD和△ACE，连接DE，CA的延长线交DE于点F，则与线段AF相等的是（ ）
A．B．C．BCD．AB
二、填空题。（每题3分，共18分．请直接将答案填写在答题卡中，不写过程）
11．若一个n边形的内角和为720°，则边数n＝ ．
12．分解因式：a3﹣2a2b+ab2＝ ．
13．如图，在2×2的方格纸中，∠1+∠2等于 ．
14．分式的值为0，那么x的值为 ．
15．如图，把△ABC沿EF对折，折叠后的图形如图所示．若∠A＝60°，∠1＝92°，则∠2的度数为 ．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3a，BC＝4a，AC＝5a，若点E是边AD上一点，点F是矩形内一点，∠BCF＝30°，则EF+CF的最小值是 ．
三、解答题。（本题有9个小题，共72分）
17．如图，已知DO＝BO，∠A＝∠C，求证：AO＝CO．
18．先化简，再求值．，其中a＝﹣5．
19．将一副三角尺叠放在一起：
（1）如图①，若∠1＝4∠2，请计算出∠CAE的度数；
（2）如图②，若∠ACE＝2∠BCD，请求出∠ACD的度数．
20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（1，2），B（3，1），C（﹣2，﹣1）均在正方形网格的格点上．
（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）若点C2（a，b）与点C关于x轴对称，求a﹣b的值．
21．阅读理解题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式及m的值．
解：设另一个因式为x+n，依题意得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）．
即x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n，比较系数得：，解得．
∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21．
仿照上述方法解答下列问题：
（1）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x﹣1，求另一个因式及k的值；
（2）已知2x2﹣13x+p有一个因式x﹣4，则p＝ ．
22．如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，
求证：（1）AB+CD＝AD；
（2）AE⊥DE．
23．某单位在疫情期间用8000元购进A、B两种口罩共3400个，已知购买A种口罩的费用是购买B种口罩费用的3倍，且A种口罩的单价是B种口罩单价的1.25倍；
（1）求A，B两种口罩的单价各是多少元？
（2）若计划用不超过15000元的资金再次购进A、B两种口罩共7000个，已知A、B两种口罩的进价不变，求A种口罩最多能购进多少个？
24．如图，等边△ABC中，BM是∠ABC内部的一条射线，且∠ABM＜30°，点A关于BM的对称点为D，连接AD，BD，CD，其中AD交射线BM于点E，CD的延长线交射线BM于点P．
（1）依题意补全图形；
（2）若∠ABM＝α，求∠BDC的大小（用含α的式子表示）；
（3）用等式表示线段PB，PC与PE之间的数量关系，并证明．
25．如图1已知点A，B分别在坐标轴上，点C（3，﹣3），CA⊥BA于点A，且BA＝CA，CA，CB分别交坐标轴于D，E．
（1）填空：点B的坐标是 ；
（2）如图2，连接DE，过点C作CH⊥CA于C，交x轴于点H，求证：∠ADB＝∠CDE；
（3）如图3，点F（6，0），点P在第一象限，连PF，过P作PM⊥PF交y轴于点M，在PM上截取PN＝PF，连PO，过P作∠OPG＝45°交BN于G．
求证：点G是BN中点．
参考答案
一、选择题。（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内。
1．下列各组数可能是一个三角形的边长的是（ ）
A．4，4，9B．2，6，8C．3，4，5D．1，2，3
【分析】看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可．
解：A、因为4+4＜9，所以本组数不能构成三角形．故本选项错误；
B、因为2+6＝8，所以本组数不能构成三角形．故本选项错误；
C、因为3+4＞5，所以本组数可以构成三角形．故本选项正确；
D、因为1+2＝3，所以本组数不能构成三角形．故本选项错误；
故选：C．
2．下列运算正确的是（ ）
A．a•a5＝a5 B．（﹣a3）2 ＝a 6
C．a8÷a2 ＝a4 D．a3 +a3 ＝a6
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，同底数幂的除法法则以及合并同类项的法则逐一判断即可．
解：a•a5＝a6，故选项A不合题意；
（﹣a3）2 ＝a6，正确，故选项B符合题意；
a8÷a2 ＝a6，故选项C不合题意；
a3 +a3 ＝2a3，故选项D不合题意．
故选：B．
3．下列等式中，从左到右的变形中是因式分解的是（ ）
A．9x2﹣6x+1＝（3x﹣1）2B．x2﹣4x+1＝x（x﹣4）+1
C．3m（m﹣n）＝3m2﹣3mnD．x+3y＝（x+y）+2y
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
解：A、等式从左到右变形属于因式分解，故本选项符合题意；
B、等式从左到右变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C、等式从左到右变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D、等式从左到右变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：A．
4．如果把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大3倍B．不变C．缩小3倍D．扩大2倍
【分析】依题意，分别用3x和3y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．
解：分别用3x和3y去代换原分式中的x和y，
得＝＝，
可见新分式与原分式相等．
故选：B．
5．如图所示，AB＝AC，要说明△ADC≌△AEB，需添加的条件不能是（ ）
A．∠B＝∠CB．AD＝AEC．∠ADC＝∠AEBD．DC＝BE
【分析】△ADC和△AEB中，已知的条件有AB＝AC，∠A＝∠A；要判定两三角形全等只需条件：一组对应角相等，或AD＝AE即可．可据此进行判断，两边及一边的对角相等是不能判定两个三角形全等的．
解：A、当∠B＝∠C时，符合ASA的判定条件，故A正确；
B、当AD＝AE时，符合SAS的判定条件，故B正确；
C、当∠ADC＝∠AEB时，符合AAS的判定条件，故C正确；
D、当DC＝BE时，给出的条件是SSA，不能判定两个三角形全等，故D错误；
故选：D．
6．如图，△ABC中，∠C＝70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2＝（ ）
A．360°B．250°C．180°D．140°
【分析】先利用三角形内角与外角的关系，得出∠1+∠2＝∠C+（∠C+∠3+∠4），再根据三角形内角和定理即可得出结果．
解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，
∴∠1＝∠4+∠C，∠2＝∠3+∠C，
即∠1+∠2＝∠C+（∠C+∠3+∠4）＝70°+180°＝250°．
故选：B．
7．如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（ ）
A．1号袋B．2号袋C．3号袋D．4号袋
【分析】利用轴对称画图可得答案．
解：如图所示，
，
球最后落入的球袋是2号袋，
故选：B．
8．已知甲做360个零件与乙做480个零件所用的时间相同，两人每天共做140个零件，设甲每天做x个零件，根据题意，可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】设甲每天做x个零件，根据甲做360个零件与乙做480个零件所用的时间相同，列出方程即可．
解：设甲每天做x个零件，根据题意得：
＝；
故选：A．
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，BC＝10，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（ ）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；
②∠AFG＝∠AGF；
③∠FAG＝2∠ACF；
④AD＝2.4．
A．①②③④B．①②③C．①②④D．③④
【分析】根据等底等高的三角形的面积相等即可判断①；根据三角形内角和定理求出∠ABC＝∠CAD，根据三角形的外角性质即可推出②；根据三角形内角和定理求出∠FAG＝∠ACD，根据角平分线定义即可判断③；根据三角形的面积公式即可得到AD＝4.8判断④．
解：∵BE是中线，
∴AE＝CE，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积（等底等高的三角形的面积相等），故①正确；
∵CF是角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF，
∵AD为高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAD＝90°，
∴∠ABC＝∠CAD，
∵∠AFG＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠CAD+∠ACF，
∴∠AFG＝∠AGF，故②正确；
∵AD为高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°，
∴∠ACB＝∠BAD，
∵CF是∠ACB的平分线，
∴∠ACB＝2∠ACF，
∴∠BAD＝2∠ACF，
即∠FAG＝2∠ACF，故③正确；
∵∠BAC＝90°，AD是高，
∴S△ABC＝AB•AC＝AD•BC，
∵AB＝6，AC＝8，BC＝10，
∴AD＝＝4.8，故④错误，
故选：B．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB、AC为腰向外作等腰直角三角形△ABD和△ACE，连接DE，CA的延长线交DE于点F，则与线段AF相等的是（ ）
A．B．C．BCD．AB
【分析】如图，作DH⊥CF交CF的延长线于H，连接EH．想办法证明△BCA≌△AHD（AAS），四边形ADHE是平行四边形，即可解决问题．
解：如图，作DH⊥CF交CF的延长线于H，连接EH．
∵∠ACB＝∠BAD＝∠DHA＝90°，
∴∠BAC+∠DAH＝90°，∠DAH+∠ADH＝90°，
∴∠BAC＝∠ADH，
∵AB＝AD，
∴△BCA≌△AHD（AAS），
∴AC＝DH，BC＝AH，
∵∠DHA＝∠EAH＝90°，AC＝AE，
∴DH∥AE，DH＝AE，
∴四边形ADHE是平行四边形，
∴AF＝FH，
∴AF＝AH＝BC，
故选：C．
二、填空题。（每题3分，共18分．请直接将答案填写在答题卡中，不写过程）
11．若一个n边形的内角和为720°，则边数n＝ 6 ．
【分析】n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．
解：由题意可得：（n﹣2）•180°＝720°，
解得：n＝6．
所以，多边形的边数为6．
故答案为6．
12．分解因式：a3﹣2a2b+ab2＝ a（a﹣b）2 ．
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
解：a3﹣2a2b+ab2，
＝a（a2﹣2ab+b2），
＝a（a﹣b）2．
13．如图，在2×2的方格纸中，∠1+∠2等于 90° ．
【分析】标注字母，然后利用“边角边”求出△ABC和△DEA全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2＝∠3，再根据直角三角形两锐角互余求解．
解：如图，在△ABC和△DEA中，
，
∴△ABC≌△DEA（SAS），
∴∠2＝∠3，
在Rt△ABC中，∠1+∠3＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
故答案为：90°．
14．分式的值为0，那么x的值为 3 ．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
解：由题意可得：x2﹣9＝0且x+3≠0，
解得x＝3．
故答案为：3．
15．如图，把△ABC沿EF对折，折叠后的图形如图所示．若∠A＝60°，∠1＝92°，则∠2的度数为 28° ．
【分析】利用三角形的内角和定理先求出∠B+∠C与∠AEF+∠AFE的度数，再根据折叠的性质得到∠B′+∠C′的度数，最后利用四边形的内角和定理计算出∠2的度数．
解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A+∠AEF+∠AFE＝180°，
∴∠B+∠C＝120°，∠AEF+∠AFE＝120°．
∵四边形B′C′FE是由四边形BEFC对折的图形，
∴∠B′＝∠B，∠C′＝∠C．
∴∠B′+∠C′＝120°．
∵四边形B′C′FE的内角和是360°，
∴∠B′+∠C′+∠1+∠AEF+∠AFE+∠2＝360°．
∴∠2＝360°﹣（∠B′+∠C′）﹣∠1﹣（∠AEF+∠AFE）
＝360°﹣120°﹣92°﹣120°
＝28°．
故答案为：28°．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3a，BC＝4a，AC＝5a，若点E是边AD上一点，点F是矩形内一点，∠BCF＝30°，则EF+CF的最小值是 3a ．
【分析】作辅助线，先根据直角三角形30度角的性质可知CF＝FH，得GH的长是EF+CF的最小值，从而得结论．
解：过F作GH∥CD，交AD于G，BC于H，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠BCD＝90°，AD∥BC，
∴GH⊥AD，∠CHF＝90°，
∵∠BCF＝30°，
∴FH＝CF，
∵点E是边AD上一点，
∴EF+CF＝EF+FH，
即EF+CF的最小值是GH，
∵∠GHC＝∠BCD＝∠D＝90°，
∴四边形DGHC是矩形，
∴GH＝CD＝AB＝3a，
即EF+CF的最小值是3a；
故答案为：3a．
三、解答题。（本题有9个小题，共72分）
17．如图，已知DO＝BO，∠A＝∠C，求证：AO＝CO．
【分析】利用角角边证明两个三角形全等，再通过全等三角形的性质得结论．
【解答】证明：在△ADO和△CBO中，
∴△ADO≌△CBO（AAS）．
∴AO＝CO．
18．先化简，再求值．，其中a＝﹣5．
【分析】先根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将a的值代入原式即可求出答案．
解：原式＝•
＝•
＝，
当a＝﹣5时，
原式＝＝．
19．将一副三角尺叠放在一起：
（1）如图①，若∠1＝4∠2，请计算出∠CAE的度数；
（2）如图②，若∠ACE＝2∠BCD，请求出∠ACD的度数．
【分析】（1）根据∠BAC＝90°列出关于∠1、∠2的方程求解即可得到∠2的度数，再根据同角的余角相等求出∠CAE＝∠2，从而得解；
（2）根据∠ACB和∠DCE的度数列出等式求出∠ACE﹣∠BCD＝30°，再结合已知条件求出∠BCD，然后根据∠ACD＝∠ACB+∠BCD代入数据计算即可得解．
解：（1）∵∠BAC＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠1＝4∠2，
∴4∠2+∠2＝90°，
∴∠2＝18°，
又∵∠DAE＝90°，
∴∠1+∠CAE＝∠2+∠1＝90°，
∴∠CAE＝∠2＝18°；
（2）∵∠ACE+∠BCE＝90°，
∠BCD+∠BCE＝60°，
∴∠ACE﹣∠BCD＝30°，
又∠ACE＝2∠BCD，
∴2∠BCD﹣∠BCD＝30°，
∠BCD＝30°，
∴∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝90°+30°＝120°．
20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（1，2），B（3，1），C（﹣2，﹣1）均在正方形网格的格点上．
（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）若点C2（a，b）与点C关于x轴对称，求a﹣b的值．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）根据关于x轴对称的特点，构建方程求解即可．
解：（1）如图所示：
（2）∵点C2（a，b） 与点C关于x轴对称，
∴a＝﹣2，b＝1，
∴a﹣b＝﹣3．
21．阅读理解题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式及m的值．
解：设另一个因式为x+n，依题意得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）．
即x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n，比较系数得：，解得．
∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21．
仿照上述方法解答下列问题：
（1）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x﹣1，求另一个因式及k的值；
（2）已知2x2﹣13x+p有一个因式x﹣4，则p＝ 20 ．
【分析】（1）利用已知结合因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，假设出另一个因式，进而得出方程组，可得答案；
（2）利用已知结合因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，假设出另一个因式，进而得出方程组，可得答案．
解：（1）设另一个因式为x+m，
则2x2+3x—k＝（2x—1）（ x+m），
即2x2+3x—k＝2x2+（2m—1）x—m，
比较系数得：，
解得，
∴另一个因式为x+2，k的值为2；
（2）设另一个因式为（2x+m），由题意，得：
2x2﹣13x+p＝（x﹣4）（2x+m），
则2x2﹣13x+p＝2x2+（m﹣8）x﹣4m，
∴，
解得，
故答案为：20．
22．如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，
求证：（1）AB+CD＝AD；
（2）AE⊥DE．
【分析】（1）延长DE交AB的延长线城于点F．通过证明△CDE与△BEF全等，说明CD与BF的关系，再利用等腰三角形的性质得结论；
（2）利用等腰三角形的三线合一得结论．
【解答】证明：法一、（1）延长DE交AB的延长线城于点F．
∵∠ABC＝∠C＝90°，
∴DC∥AB．
∴∠CDF＝∠F．
∵点E是BC中点，
∴CE＝BE
在△CDE和△BFE中，
，
∴△CDE≌△BFE（AAS）．
∴CD＝BF．
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE．
∴∠ADE＝∠F．
∴AD＝AF＝AB+BF＝AB+CD．
（2）由（1）知△CDE≌△BFE，
∴DE＝FE．
由（1）知AD＝AF．
∴AE⊥DE．
法二、（1）过点E作EM⊥AD于M．
∵∠ADE＝∠CDE，EM⊥AD，DC⊥CB，
∴EC＝EM．
∵CE＝BE，
∴EM＝BE．
在Rt△CDE和Rt△MDE中，
，
∴Rt△CDE≌Rt△MDE（HL）．
∴DC＝DM．
在Rt△MEA和Rt△BEA中，
，
∴Rt△MEA≌Rt△BEA（HL）．
∴AB＝AM．
∴AD＝AM+DM＝AB+CD．
（2）由（1）可证Rt△ABE≌Rt△AME（HL），
∴∠DAE＝∠BAE＝∠DAB．
∵∠ADE＝∠CDE＝∠ADC，
∴∠DAE+∠ADE＝（∠DAB+∠ADC）＝90°．
∴AE⊥DE．
23．某单位在疫情期间用8000元购进A、B两种口罩共3400个，已知购买A种口罩的费用是购买B种口罩费用的3倍，且A种口罩的单价是B种口罩单价的1.25倍；
（1）求A，B两种口罩的单价各是多少元？
（2）若计划用不超过15000元的资金再次购进A、B两种口罩共7000个，已知A、B两种口罩的进价不变，求A种口罩最多能购进多少个？
【分析】（1）设B种口罩的单价为x元，则A种口罩单价为1.25x元．由题意：某单位在疫情期间用8000元购进A、B两种口罩共3400个，已知购买A种口罩的费用是购买B种口罩费用的3倍，列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进A种口罩m个，由题意：计划用不超过15000元的资金再次购进A、B两种口罩共7000个，已知A、B两种口罩的进价不变，列出一元一次不等式，解不等式即可．
解：（1）设B种口罩的单价为x元，则A种口罩单价为1.25x元．
依题意得，，
解得：x＝2，
经检验，x＝2是方程的解，且符合题意．
则1.25x＝2.5，
答：A种口罩单价为2.5元，B种口罩单价为2元；
（2）设购进A种口罩m个，则购进B种口罩（7000﹣m）个，
依题意，得：2.5m+2（7000﹣m）≤15000，
解得：m≤2000．
答：A种口罩最多能购进2000个．
24．如图，等边△ABC中，BM是∠ABC内部的一条射线，且∠ABM＜30°，点A关于BM的对称点为D，连接AD，BD，CD，其中AD交射线BM于点E，CD的延长线交射线BM于点P．
（1）依题意补全图形；
（2）若∠ABM＝α，求∠BDC的大小（用含α的式子表示）；
（3）用等式表示线段PB，PC与PE之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）根据轴对称的概念作图即可得；
（2）由轴对称定义知∠ABD＝2∠ABM＝2α，再由等边三角形的性质知BA＝CB＝BD，∠ABC＝60°，从而得出∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝60°﹣2α，据此可得答案；
（3）在射线PD上截取PF使PF＝PB，连接BF．先由∠BDA＝∠BAD＝90°﹣α、∠BDC＝60°+α知∠PDE＝30°，据此得PD＝2PE，在证△BFC≌△BPD得CF＝PD＝2PE．从而得出答案．
解：（1）如图所示：
（2）∵点A与点D关于BM对称，
∴BM是AD的垂直平分线，
∴BA＝BD，
∵∠ABM＝α，
∴∠ABD＝2∠ABM＝2α，
∵△ABC是等边三角形，
∴BA＝CB＝BD，∠ABC＝60°．
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝60°﹣2α．
∴∠BDC＝∠DCB＝（180°﹣∠DBC）＝60°+α．
（3）结论：PB＝PC+2PE，
证明：在射线PD上截取PF使PF＝PB，连接BF．
∵BA＝BD，∠ABD＝2α，
∴∠BDA＝∠BAD＝90°﹣α，
∵∠BDC＝60°+α，
∴∠PDE＝180﹣（∠BDA+∠BDC）＝30°．
∴PD＝2PE，
∵∠BPF＝∠DPE＝90°﹣∠PDE＝60°．
∴△BPF是等边三角形，
∴∠BPF＝∠BFP＝60°．
又∵∠BCF＝∠BDP．
∴在△BFC和△BPD中，
∴△BFC≌△BPD，
∴CF＝PD＝2PE．
∴PB＝PC+CF＝PC+2PE．
25．如图1已知点A，B分别在坐标轴上，点C（3，﹣3），CA⊥BA于点A，且BA＝CA，CA，CB分别交坐标轴于D，E．
（1）填空：点B的坐标是 （0，6） ；
（2）如图2，连接DE，过点C作CH⊥CA于C，交x轴于点H，求证：∠ADB＝∠CDE；
（3）如图3，点F（6，0），点P在第一象限，连PF，过P作PM⊥PF交y轴于点M，在PM上截取PN＝PF，连PO，过P作∠OPG＝45°交BN于G．
求证：点G是BN中点．
【分析】（1）过点C作CG⊥x轴于G，则CG＝3，OG＝3，证△ABO≌△CAG（AAS），得AO＝CG＝3，OB＝AG＝AO+OG＝6，即可得出答案；
（2）过点C作CG⊥x轴于G，CF⊥y轴于F，由全等三角形的性质得AO＝CG＝3，再证△AOD≌△CFD（ASA），得AD＝CD，然后证△BAD≌△ACH（ASA），得AD＝CH，∠ADB＝∠AHC，则CD＝CH，最后证△DCE≌△HCE（SAS），得∠CDE＝∠CHE，即可得出结论；
（3）过点O作OK⊥OP交PG延长线于K，连BK、NF，过点P作PL⊥NF于L．证△OKB≌△OPF（SAS），得KB＝PF＝PN，∠OKB＝45°+∠GKB＝∠OPF＝∠OPL+45°，再证△KBG≌△PNG（SAS），得BG＝NG，即可得出结论．
【解答】（1）解：过点C作CG⊥x轴于G，如图1所示：
∵C（3，﹣3），
∴CG＝3，OG＝3，
∵∠BOA＝∠CGA＝90°，
∴∠ABO+∠BAO＝∠BAO+∠CAG＝90°，
∴∠ABO＝∠CAG，
又∵AB＝AC，
∴△ABO≌△CAG（AAS），
∴AO＝CG＝3，OB＝AG＝AO+OG＝6，
∴点B的坐标是（0，6），
故答案为：（0，6）；
（2）证明：过点C作CG⊥x轴于G，CF⊥y轴于F，
则CF∥AO．
同（1）得：△ABO≌△CAG（AAS），
∴AO＝CG＝3，
∵CF＝3，
∴AO＝CF，
∵CF∥AO
∴∠DAO＝∠DCF，∠AOD＝∠CFD，
∴△AOD≌△CFD（ASA），
∴AD＝CD，
∵CA⊥BA，CH⊥CA，
∴∠BAD＝∠ACH＝90°，
又∵∠ABO＝∠CAG，AB＝AC，
∴△BAD≌△ACH（ASA），
∴AD＝CH，∠ADB＝∠AHC
∴CD＝CH，
∵BA＝CA，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB＝45°，
∴∠HCE＝90°﹣∠ACB＝45°，
∴∠DCE＝∠HCE＝45°，
又∵CE＝CE，
∴△DCE≌△HCE（SAS），
∴∠CDE＝∠CHE，
∴∠ADB＝∠CDE；
（3）证明：过点O作OK⊥OP交PG延长线于K，连接BK、NF，过点P作PL⊥NF于L．
则△OPK是等腰直角三角形，
∴∠OKP＝∠OPK＝45°，OK＝OP，
∵PN＝PF，
∴△PNF是等腰直角三角形，
∴∠PFN＝∠PNF＝45°，
∵PL⊥NF，
∴∠FPL＝45°，
则∠OPF＝∠OPL+45°，∠GPN＝∠OPL＝45°﹣∠MPO，
∵∠KOB+∠BOP＝∠FOP+∠BOP＝90°，
∴∠KOB＝∠FOP，
又∵OB＝OF＝6，
∴△OKB≌△OPF（SAS），
∴KB＝PF＝PN，∠OKB＝45°+∠GKB＝∠OPF＝∠OPL+45°，
∴∠GKB＝∠OPL＝∠GPN，
又∵∠KGB＝∠PGN，
∴△KBG≌△PNG（SAS），
∴BG＝NG，
即点G为BN的中点．