专题2.15 《整式的加减》中考真题专练（巩固篇）（专项练习）-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题2.15 《整式的加减》中考真题专练（巩固篇）（专项练习）-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题2.15 《整式的加减》中考真题专练（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
1．（2020·山东日照·中考真题）单项式﹣3ab的系数是（　　）
A．3 B．﹣3 C．3a D．﹣3a
2．（2021·上海）下列单项式中，的同类项是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·湖南湘潭·中考真题）已知与是同类项，则的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2019·山东枣庄·中考真题）下列运算，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2019·湖北黄石·中考真题）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．（2019·甘肃兰州·中考真题）是关于的一元一次方程的解，则（ ）
A． B． C．4 D．
7．（2021·浙江金华·中考真题）某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最低的是（ ）
A．先打九五折，再打九五折 B．先提价，再打六折
C．先提价，再降价 D．先提价，再降价
8．（2020·重庆中考真题）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为（ ）

A．10 B．15 C．18 D．21
9．（2020·云南中考真题）按一定规律排列的单项式：，，，，，，…，第个单项式是（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·江苏镇江·中考真题）如图，小明在3×3的方格纸上写了九个式子（其中的n是正整数），每行的三个式子的和自上而下分别记为A1，A2，A3，每列的三个式子的和自左至右分别记为B1，B2，B3，其中，值可以等于789的是（ ）

A．A1 B．B1 C．A2 D．B3
11．（2021·湖北十堰·）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（ ）

A．2025 B．2023 C．2021 D．2019
12．（2020·山东日照·中考真题）用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第10个图案中共有圆点的个数是（　　）

A．59 B．65 C．70 D．71
13．（2020·重庆中考真题）下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，⋯，按此规律排列下去，第⑥个图形中实心圆点的个数为（　　）

A．18 B．19 C．20 D．21
14．（2019·云南中考真题）按一定规律排列的单项式：x3，－x5，x7，－x9，x11，……第n个单项式是( )
A．(－1)n－1x2n－1 B．(－1)nx2n－1
C．(－1)n－1x2n＋1 D．(－1)nx2n＋1


二、填空题
15．（2020·四川绵阳·中考真题）若多项式是关于x，y的三次多项式，则_____．
16．（2021·西藏中考真题）按一定规律排列的一列数依次为，，，，，…，按此规律排列下去，这列数中的第n个数是___________________．
17．（2021·江苏扬州·中考真题）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，……，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为___________．

18．（2021·江西中考真题）下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是______．

19．（2021·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）将一些相同的“〇”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”的“〇”的个数，则第30个“龟图”中有___________个“〇”．


20．（2021·黑龙江绥化·中考真题）下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形…，依此规律，则第个图形中三角形个数是_______．

21．（2020·柳州市柳林中学中考真题）如图，每一幅图中有若干个菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3菱形．第3幅图中有5个菱形，依照此规律，第6幅图中有_____个菱形．

22．（2019·湖南永州·中考真题）我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；图二是二项和的乘方（a+b）n的展开式（按b的升幂排列）．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将（s+x）15的展开式按x的升幂排列得：（s+x）15＝a0+a1x+a2x2+…+a15x15

依上述规律，解决下列问题：（1）若s＝1，则a2＝___；（2）若s＝2，则a0+a1+a2+…+a15＝___．

三、解答题
23．（2018·湖南衡阳·中考真题）先化简，再求值：，其中．


24．（2019·浙江宁波·中考真题）先化简，再求值：
，其中.



25．（2018·贵州贵阳·中考真题）如图，将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个矩形，拿掉边长为n的小正方形纸板后，将剩下的三块拼成新的矩形．
（1）用含m或n的代数式表示拼成矩形的周长；
（2）m=7，n=4，求拼成矩形的面积．




26．（2018·河北中考真题）嘉淇准备完成题目：化简：，发现系数“”印刷不清楚．
（1）他把“”猜成3，请你化简：（3x2+6x+8）–（6x+5x2+2）；
（2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”通过计算说明原题中“”是几？






27．（2019·四川中考真题）阅读下列材料：小明为了计算的值 ，采用以下方法：
设 ①
则 ②
②-①得
∴
（1）= ;
（2） = ;
（3）求的和（ ，是正整数，请写出计算过程 ）.



28．（2019·山东青岛·中考真题）问题提出：
如图，图①是一张由三个边长为 1 的小正方形组成的“L”形纸片，图②是一张 a× b 的方格纸（a× b的方格纸指边长分别为 a，b 的矩形，被分成 a× b个边长为 1 的小正方形，其中 a≥2 ， b≥2，且 a，b 为正整数） ．把图①放置在图②中，使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

问题探究：
为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．
探究一：
把图①放置在 2× 2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
如图③，对于 2×2的方格纸，要用图①盖住其中的三个小正方形，显然有 4 种不同的放置方法．

探究二：
把图①放置在 3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
如图④，在 3×2的方格纸中，共可以找到 2 个位置不同的 2 ×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在 3×2 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有 2 ×4＝8种
不同的放置方法．

探究三：
把图①放置在 a ×2 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
如图⑤， 在 a ×2 的方格纸中，共可以找到______个位置不同的 2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在 a× 2 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有______种不同的放置方法．

探究四：
把图①放置在 a ×3 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？
如图⑥，在 a ×3 的方格纸中，共可以找到______个位置不同的 2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在 a ×3 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有_____种不同的放置方法．
……
问题解决：
把图①放置在 a ×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？（仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图．）
问题拓展：
如图，图⑦是一个由 4 个棱长为 1 的小立方体构成的几何体，图⑧是一个长、宽、高分别为 a，b ，c （a≥2 ， b≥2 ， c≥2 ，且 a，b，c 是正整数）的长方体，被分成了a×b×c个棱长为 1 的小立方体．在图⑧的不同位置共可以找到______个图⑦这样的几何体．





参考答案
1．B
【分析】根据单项式系数的定义即可求解．
解：单项式﹣3ab的系数是﹣3．
故选：B．
【点拨】本题考查单项式，解题关键是单项式的系数是单项式字母前的数字因数．
2．B
【分析】比较对应字母的指数,分别相等就是同类项
解：∵a的指数是3，b的指数是2，与中a的指数是2，b的指数是3不一致，
∴不是的同类项，不符合题意；
∵a的指数是2，b的指数是3，与中a的指数是2，b的指数是3一致，
∴是的同类项，符合题意；
∵a的指数是2，b的指数是1，与中a的指数是2，b的指数是3不一致，
∴不是的同类项，不符合题意；
∵a的指数是1，b的指数是3，与中a的指数是2，b的指数是3不一致，
∴不是的同类项，不符合题意；
故选B
【点拨】本题考查了同类项，正确理解同类项的定义是解题的关键．
3．B
【分析】根据同类项的概念可得关于n的一元一次方程，求解方程即可得到n的值.
解：∵与是同类项，
∴n+1=4，
解得，n=3，
故选：B.
【点拨】本题考查了同类项，解决本题的关键是判断两个项是不是同类项，只要两看，即一看所含有的字母是否相同，二看相同字母的指数是否相同．
4．C
【分析】直接利用合并同类项法则以及完全平方公式和积的乘方运算法则、同底数幂的
乘除运算法则分别计算得出答案．
解：、，无法计算，故此选项错误；
、，故此选项错误；
、，正确；
、，故此选项错误；
故选．
【点拨】此题主要考查了合并同类项以及完全平方公式和积的乘方运算、同底数幂的乘
除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5．D
【分析】原式去括号合并即可得到结果．
解：原式=3x-1-2x-2=x-3，
故选D．
【点拨】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．A
【分析】先把x=1代入方程得a+2b=-1，然后利用整体代入的方法计算2a+4b的值
解：将x＝1代入方程x2+ax+2b＝0，
得a+2b＝－1，2a+4b＝2（a+2b）＝2×（－1）＝－2.
故选A.
【点拨】此题考查一元二次方程的解，整式运算，掌握运算法则是解题关键
7．B
【分析】设原件为x元，根据调价方案逐一计算后，比较大小判断即可．
解：设原件为x元，
∵先打九五折，再打九五折，
∴调价后的价格为0.95x×0.95=0.9025x元，
∵先提价，再打六折，
∴调价后的价格为1.5x×0.6=0.90x元，
∵先提价，再降价，
∴调价后的价格为1.3x×0.7=0.91x元，
∵先提价，再降价，
∴调价后的价格为1.25x×0.75=0.9375x元，
∵0.90x＜0.9025x＜0.91x＜0.9375x
故选B
【点拨】本题考查了代数式，打折，有理数大小比较，准确列出符合题意的代数式，并能进行有理数大小的比较是解题的关键．
8．B
【分析】根据前三个图案中黑色三角形的个数得出第n个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+……+n，据此可得第⑤个图案中黑色三角形的个数．
解：∵第①个图案中黑色三角形的个数为1，
第②个图案中黑色三角形的个数3＝1+2，
第③个图案中黑色三角形的个数6＝1+2+3，
……
∴第⑤个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5＝15，
故选：B．
【点拨】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出规律：第n个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+……+n．
9．A
【分析】先分析前面所给出的单项式，从三方面（符号、系数的绝对值、指数）总结规律，发现规律进行概括即可得到答案．
解： ，，，，，，…，
可记为：
第项为：
故选A．
【点拨】本题考查了单项式的知识，分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类问题的关键．
10．B
【分析】把A1，A2，B1，B3的式子表示出来，再结合值等于789，可求相应的n的值，即可判断．
解：由题意得：A1＝2n+1+2n+3+2n+5＝789，
整理得：2n＝260，
则n不是整数，故A1的值不可以等于789；
A2＝2n+7+2n+9+2n+11＝789，
整理得：2n＝254，
则n不是整数，故A2的值不可以等于789；
B1＝2n+1+2n+7+2n+13＝789，
整理得：2n＝256＝28，
则n是整数，故B1的值可以等于789；
B3＝2n+5+2n+11+2n+17＝789，
整理得：2n＝252，
则n不是整数，故B3的值不可以等于789；
故选：B．
【点拨】本题主要考查规律型：数字变化类，解答的关键是理解清楚题意，得出相应的式子．
11．B
【分析】根据数字的变化关系发现规律第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，即可得第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，再依次加2，到第32行，第13列的数据，即可．
解：观察数字的变化，发现规律：第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，
∴第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，
根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2，
∴第32行，第13列的数据为：1985+2×(32-13)=2023，
故选：B．
【点拨】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决问题．
12．C
【分析】由题意观察图形可知，第1个图形共有圆点5+2个；第2个图形共有圆点5+2+3个；第3个图形共有圆点5+2+3+4个；第4个图形共有圆点5+2+3+4+5个；…；则第n个图形共有圆点5+2+3+4+…+n+（n+1）个；由此代入n=10求得答案即可．
解：根据图中圆点排列，
当n＝1时，圆点个数5+2；
当n＝2时，圆点个数5+2+3；
当n＝3时，圆点个数5+2+3+4；
当n＝4时，圆点个数5+2+3+4+5，…
∴当n＝10时，圆点个数5+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11
＝4+（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11）
＝
．
故选：C．
【点拨】本题考查图形的变化规律，注意找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论，利用规律解决问题．
13．C
【分析】根据已知图形中实心圆点的个数得出规律，即可得解．
解：通过观察可得到
第①个图形中实心圆点的个数为：5=2×1+1+2，
第②个图形中实心圆点的个数为：8=2×2+2+2，
第③个图形中实心圆点的个数为：11=2×3+3+2，
……
∴第⑥个图形中实心圆点的个数为：2×6+6+2=20，
故选：C．
【点拨】本题考查探索与表达—图形变化类．关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．
14．C
【分析】观察可知奇数项为正，偶数项为负，除符号外，底数均为x，指数比所在项序数的2倍多1，由此即可得.
解：观察可知，奇数项系数为正，偶数项系数为负，
∴可以用或，(为大于等于1的整数)来控制正负，
指数为从第3开始的奇数，所以指数部分规律为，
∴第n个单项式是 (－1)n－1x2n＋1 ，
故选C.
【点拨】本题考查了规律题——数字的变化类，正确分析出哪些不变，哪些变，是按什么规律发生变化的是解题的关键.
15．0或8
【分析】直接利用多项式的次数确定方法得出答案．
解：多项式是关于，的三次多项式，
，，
，，
或，
或，
或8．
故答案为：0或8．
【点拨】本题主要考查了多项式，正确掌握多项式的次数确定方法是解题关键．
16．（n是偶数），（n是奇数）
【分析】观察一列数可得 ， ， ， ， ，…，按此规律排列下去，即可得这列数中的第n个数．
解：观察一列数可知：＝，＝，＝，＝，＝，…，
按此规律排列下去，
这列数中的第n个数是：（n是偶数），（n是奇数），
故答案为：（n是偶数），（n是奇数）．
【点拨】此题考查规律总结，根据已知数据找出规律用代数式表示即可．
17．1275
【分析】首先得到前n个图形中每个图形中的黑色圆点的个数，得到第n个图形中的黑色圆点的个数为，再判断其中能被3整除的数，得到每3个数中，都有2个能被3整除，再计算出第33个能被3整除的数所在组，为原数列中第50个数，代入计算即可．
解：第①个图形中的黑色圆点的个数为：1，
第②个图形中的黑色圆点的个数为：=3，
第③个图形中的黑色圆点的个数为：=6，
第④个图形中的黑色圆点的个数为：=10，
...
第n个图形中的黑色圆点的个数为，
则这列数为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，...，
其中每3个数中，都有2个能被3整除，
33÷2=16...1，
16×3+2=50，
则第33个被3整除的数为原数列中第50个数，即=1275，
故答案为：1275．
【点拨】此题考查了规律型：图形的变化类，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．
18．3
【分析】通过观察每一个数字等于它上方相邻两数之和．
解：通过观察杨辉三角发现每一个数字等于它上方相邻两数之和的规律，
例如：
第3行中的2，等于它上方两个相邻的数1，1相加，
即：；
第4行中的3，等于它上方两个相邻的数2，1相加，
即：；

由此规律：
故空缺数等于它上方两个相邻的数1，2相加，
即空缺数为：3，
故答案是：3．
【点拨】本题考查了杨辉三角数的规律，解题的关键是：通过观察找到数与数之间的关系，从来解决问题．
19．875
【分析】设第n个“龟图”中有an个“〇”（n为正整数），观察“龟图”，根据给定图形中“〇”个数的变化可找出变化规律“an＝n2−n＋5（n为正整数）”，再代入n＝30即可得出结论．
解：设第n个“龟图”中有an个“〇”（n为正整数）．
观察图形，可知：a1＝1＋2＋2＝5，a2＝1＋3＋12＋2＝7，a3＝1＋4＋22＋2＝11，a4＝1＋5＋32＋2＝17，…，
∴an＝1＋（n＋1）＋（n−1）2＋2＝n2−n＋5（n为正整数），
∴a30＝302−30＋5＝875．
故答案是：875．
【点拨】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中“〇”个数的变化找出变化规律“an＝n2−n＋5（n为正整数）”是解题的关键．
20．
【分析】此题只需分成上下两部分即可找到其中规律，上方的规律为(n-1)，下方规律为n2，结合两部分即可得出答案．
解：将题意中图形分为上下两部分，
则上半部规律为：0、1、2、3、4……n-1，
下半部规律为：12、22、32、42……n2，
∴上下两部分统一规律为：．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查的图形的变化规律，解题的关键是将图形分为上下两部分分别研究．
21．11
【分析】根据题意分析可得：第1幅图中有1个，第2幅图中有2×2﹣1＝3个，第3幅图中有2×3﹣1＝5个，…，可以发现，每个图形都比前一个图形多2个，继而即可得出答案．
解：根据题意分析可得：第1幅图中有1个．
第2幅图中有2×2﹣1＝3个．
第3幅图中有2×3﹣1＝5个．
第4幅图中有2×4﹣1＝7个．
…．
可以发现，每个图形都比前一个图形多2个．
故第n幅图中共有（2n﹣1）个．
当n＝6时，2n﹣1＝2×6﹣1＝11，
故答案为：11．
【点拨】本题主要考查图形规律类，根据图形的变化找到规律是解题的关键．
22．（1）105； （2）315．
【解析】
【分析】（1）根据图形中的规律即可求出（1+x）15的展开式中第三项的系数为前14个数的和；
（2）根据x的特殊值代入要解答，即把x=1代入时，得到结论．
解：（1）由图2知：（a+b）1的第三项系数为0，
（a+b）2的第三项的系数为：1，
（a+b）3的第三项的系数为：3＝1+2，
（a+b）4的第三项的系数为：6＝1+2+3，
…
∴发现（1+x）3的第三项系数为：3＝1+2；
（1+x）4的第三项系数为6＝1+2+3；
（1+x）5的第三项系数为10＝1+2+3+4；
不难发现（1+x）n的第三项系数为1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1），
∴s＝1，则a2＝1+2+3+…+14＝105．
故答案为：105；
（2）∵（s+x）15＝a0+a1x+a2x2+…+a15x15．
当x＝1时，a0+a1+a2+…+a15＝（2+1）15＝315，
故答案为：315．
【点拨】本题考查了完全平方式，也是数字类的规律题，首先根据图形中数字找出对应的规律，再表示展开式：对应（a+b）n中，相同字母a的指数是从高到低，相同字母b的指数是从低到高．
23．,-5
【分析】原式利用平方差公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
解：原式，
当时，原式．
【点拨】本题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
24．
【分析】根据平方差公式、单项式乘多项式的法则把原式化简，代入计算即可．
解：（x-2）（x+2）-x（x-1）
=x2-4-x2+x
=x-4，
当x=3时，原式=x-4=-1．
【点拨】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
25．（1）矩形的周长为4m；（2）矩形的面积为33．
【分析】（1）根据题意和矩形的周长公式列出代数式解答即可．
（2）根据题意列出矩形的面积，然后把m=7，n=4代入进行计算即可求得.
解：（1）矩形的长为：m﹣n，
矩形的宽为：m+n，
矩形的周长为：2[(m-n)+(m+n)]=4m；
（2）矩形的面积为S=（m+n）（m﹣n）=m2-n2，
当m=7，n=4时，S=72-42=33．
【点拨】本题考查了矩形的周长与面积、列代数式问题、平方差公式等，解题的关键是根据题意和矩形的性质列出代数式解答．
26．（1）–2x2+6；（2）5.
解：【分析】（1）原式去括号、合并同类项即可得；
（2）设“”是a，将a看做常数，去括号、合并同类项后根据结果为常数知二次项系数为0，据此得出a的值．
【详解】（1）（3x2+6x+8）﹣（6x+5x2+2）
=3x2+6x+8﹣6x﹣5x2﹣2
=﹣2x2+6；
（2）设“”是a，
则原式=（ax2+6x+8）﹣（6x+5x2+2）
=ax2+6x+8﹣6x﹣5x2﹣2
=（a﹣5）x2+6，
∵标准答案的结果是常数，
∴a﹣5=0，
解得：a=5．
【点睛】本题主要考查整式的加减，解题的关键是掌握去括号、合并同类项法则．
27．（1）; （2） ; （3）n+1或 .
【分析】（1）利用题中的方法设S=1+2+22+…+29，两边乘以2得到2S=2+22+…+29，然后把两式相减计算出S即可；
（2）利用题中的方法设S=1+3+32+33+34+…+310 ，两边乘以3得到3S=3+32+33+34+35+…+311   ，然后把两式相减计算出S即可；
（3）利用（2）的方法计算．
解：（1）设S=1+2+22+…+29①
则2S=2+22+…+210   ②
②-①得2S-S=S=210-1
∴S=1+2+22+…+29=210-1；
故答案为210-1
（2）设S=3+3+32+33+34+…+310 ①，
则3S=32+33+34+35+…+311   ②，
②-①得2S=311-1，
所以S=，
即3+32+33+34+…+310=；
故答案为；
（3）设S=1+a+a2+a3+a4+..+an①，
则aS=a+a2+a3+a4+..+an+an+1②，
②-①得：（a-1）S=an+1-1，
a=1时，不能直接除以a-1，此时原式等于n+1；
a不等于1时，a-1才能做分母，所以S=，
即1+a+a2+a3+a4+..+an=.
【点拨】本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，善用联想，利用类比的方法是解决这类问题的方法．
28．探究三：， ；探究四：， ；问题解决：共有种不同的放置方法；问题拓展：8(a-1)(b-1)(c-1).
【分析】对于图形的变化类的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
解：探究三：
根据探究二，a×2的方格纸中，共可以找到（a-1）个位置不同的 2×2方格，
根据探究一结论可知，每个2×2方格中有4种放置方法，所以在a×2的方格纸中，共可以找到（a-1）×4=（4a-4）种不同的放置方法；
故答案为a-1，4a-4；
探究四：
与探究三相比，本题矩形的宽改变了，可以沿用上一问的思路：边长为a，有（a-1）条边长为2的线段，
同理，边长为3，则有3-1=2条边长为2的线段，
所以在a×3的方格中，可以找到2（a-1）=（2a-2）个位置不同的2×2方格，
根据探究一，在在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有（2a-2）×4=（8a-8）种不同的放置方法．
故答案为2a-2，8a-8；
问题解决：
在a×b的方格纸中，共可以找到（a-1）（b-1）个位置不同的2×2方格，
依照探究一的结论可知，把图①放置在a×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有4（a-1）（b-1）种不同的放置方法；
问题拓展：
发现图⑦示是棱长为2的正方体中的一部分，利用前面的思路，
这个长方体的长宽高分别为a、b、c，则分别可以找到（a-1）、（b-1）、（c-1）条边长为2的线段，
所以在a×b×c的长方体共可以找到（a-1）（b-1）（c-1）位置不同的2×2×2的正方体，
再根据探究一类比发现，每个2×2×2的正方体有8种放置方法，
所以在a×b×c的长方体中共可以找到8（a-1）（b-1）（c-1）个图⑦这样的几何体；
故答案为8（a-1）（b-1）（c-1）．
【点拨】此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．