高中数学2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系当堂达标检测题

2-1-2同步检测

一、选择题

1．异面直线是指(　　)

A．空间中两条不相交的直线

B．分别位于两个不同平面内的两条直线

C．平面内的一条直线与平面外的一条直线

D．不同在任何一个平面内的两条直线

2．若直线a，b，c满足a∥b，a，c异面，则b与c(　　)

A．一定是异面直线   B．一定是相交直线

C．不可能是平行直线   D．不可能是相交直线

3．直线a与直线b相交，直线c也与直线b相交，则直线a与直线c的位置关系是(　　)

A．相交   B．平行

C．异面   D．以上都有可能

4．正方体ABCD－A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有(　　)

A．3条   B．4条 

C．6条   D．8条

5．下列命题中，正确的结论有(　　)

①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．

A．1个   B．2个 

C．3个   D．4个

6. 空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若CD＝2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为(　　)

A．30°   B．45° 

C．60°   D．90°

7．正方体A1B1C1D1－ABCD中，BD与B1C所成的角是(　　)

A．30°   B．45° 

C．60°   D．90°

8．空间四边形ABCD中，AB、BC、CD的中点分别为P、Q、R，且AC＝4，BD＝2，PR＝3，则AC和BD所成的角为(　　)

A．90°   B．60° 

C．45°   D．30°

9．如图所示，已知三棱锥A－BCD中M、N分别为AB、CD的中点，则下列结论正确的是(　　)

A．MN≥(AC＋BD)

B．MN≤(AC＋BD)

C．MN＝(AC＋BD)

D．MN<(AC＋BD)

10．如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB、CD在原正方体中的位置关系是(　　)

A．平行

B．相交且垂直

C．异面

D．相交成60°

二、填空题

11．分别在两个平面内的两条直线的位置关系是________，不平行的两条直线的位置关系是________，两条直线没有公共点，则它们的位置关系是________，垂直于同一直线的两条直线的位置关系为________．

12．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a、M、N、P、Q分别为棱AB、BC、C1D1和CC1的中点，则

①MN与PQ的位置关系为________，它们所成的角为________．

②DB1与MN的位置关系为________，它们所成的角是________．

13．正方体ABCD－A1B1C1D1中

①AC和DD1所成角是________度．

②AC和D1C1所成的角是________度．

③AC和B1D1所成的角是________度．

④AC和A1B所成的角是________度．

⑤O为B1D1中点，AC和BO所成角是________度．

⑥A1B和B1D1所成角是________度．

14．给出下列命题：

①空间中如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补；

②若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；

③过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直；

④两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行．

其中成立的是________．

三、解答题

15．如图所示，OA、OB、OC为不共面的三条射线，点A1、B1、C1分别是OA、OB、OC上的点，且＝＝成立．

求证：△A1B1C1∽△ABC.

[分析]　由初中所学平面几何知识，可证明两内角对应相等，进而证明两个三角形相似．

16．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中的面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画？并说明理由．

[分析]　由于BC∥B1C1，所以平行于BC的直线只需要平行于B1C1即可．

17．如下图，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点．求异面直线BE与CD所成角的余弦值．

[分析]　根据异面直线所成角的定义，我们可以选择适当的点，分别引BE与DC的平行线，换句话说，平移BE(或CD)．设想平移CD，沿着DA的方向，使D移向E，则C移向AC的中点F，这样BE与CD所成的角即为∠BEF或其补角，解△EFB即可获解．

18．如下图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、E1、F1分别为棱AD、AB、B1C1、C1D1的中点．

求证：∠EA1F＝∠E1CF1.

说解答案

1[答案]　D

[解析]　对于A，空间两条不相交的直线有两种可能，一是平行(共面)，另一个是异面．∴A应排除．

对于B，分别位于两个平面内的直线，既可能平行也可能相交也可异面，如下图，就是相交的情况，∴B应排除．

对于C，如上图的a，b可看做是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b，显然它们是相交直线，∴C应排除．

只有D符合定义．∴应选D.

规律总结：解答这类立体几何的命题的真假判定问题，一方面要熟练掌握立体几何中的有关概念和公理、定理；另一方面要善于寻找特例，构造相关特例模型，能快速、有效地排除相关的选择项．

2[答案]　C

[解析]　若b∥c，由a∥b，知a∥c，这与a，c异面相矛盾，故b

与c不可能平行，选C.

3[答案]　D

[解析]　如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB与AA1相交，A1B1与AA1相交，所以AB∥A1B1；又AD与AA1相交，所以AB与AD相交；又A1D1与AA1相交，所以AB与A1D1异面．故选D.

4[答案]　C

[解析]　画一个正方体，不难得出有6条．

5[答案]　B

[解析]　②④是正确的．

6[答案]　A

[解析]　取AD的中点H，连FH、EH，在△EFH中 ∠EFH＝90°，

HE＝2HF，从而∠FEH＝30°，

故选A.

7[答案]　C

[解析]　∵A1D∥B1C，∴A1D与BD所成的锐角(或直角)即为所求角，连接A1B.∵△A1DB为正三角形，

∴∠A1DB＝60°.

8[答案]　A

[解析]　如图，P、Q、R分别为AB、BC、CD中点，∴PQ∥AC，QR∥BD，

∴∠PQR为AC和BD所成角

又PQ＝AC＝2，

QR＝BD＝，RP＝3

∴PR2＝PQ2＋QR2，∴∠PQR＝90°

即AC和BD所成的角为90°，故选A.

9[答案]　D

[解析]　如图所示，取BC的中点E，连接ME，NE，则ME＝AC，NE＝BD，

所以ME＋NE＝(AC＋BD)．

在△MNE中，有ME＋NE>MN，

所以MN<(AC＋BD)．

10[答案]　D

[解析]　将展开图还原为正方体，如图所示，

则△ABC是等边三角形，所以直线AB、CD在原正方体中的位置关系是相交成60°.

11[答案]　平行、相交、异面；相交、异面；平行、异面；平行、相交、异面．

12[答案]　①相交　60°　②异面　90°

[解析]　连接AC、BD交于O，

取BB1的中点H，连OH，则OH∥B1D，

连AH，HC，则AH＝HC，∴OH⊥AC，

又MN∥AC，OH∥B1D，∴MN⊥B1D.

13[答案]　①90°，②45°，③90°，④60°，⑤90°，⑥60°.

[解析]　①DD1⊥面ABCD　∴DD1⊥AC

②D1C1∥DC　∠DCA＝45°，∴D1C1与AC成45°角

③B1D1∥BD　BD⊥AC　∴B1D1⊥AC

④A1B∥D1C，△D1AC为等边三角形，∴成60°角

⑤在正方体中，∵O是B1D1中点，∴O为A1C1中点，

又A1B＝BC1∴BO⊥A1C1，

又AC∥A1C1，∴BO⊥AC，∴AC与BO成90°角．

⑥B1D1∥BD，△A1BD为等边△，∴成60°角．

14[答案]　②

15[证明]　在△OAB中，

∵＝，∴A1B1∥AB.

同理可证A1C1∥AC，B1C1∥BC.

∴∠C1A1B1＝∠CAB，∠A1B1C1＝∠ABC.

∴△A1B1C1∽△ABC.

[反思]　在立体几何中，常利用等角定理来证明两个角相等．此时要注意观察这两个角的方向必须相同，且能证明它们的两边对应平行．

16[解析]　如图所示，在面A1C1内过P作直线EF∥B1C1，交A1B1于点E，交C1D1于点F，则直线EF即为所求．

理由：∵EF∥B1C1，BC∥B1C1，∴EF∥BC.

17[解析]　取AC的中点F，连接BE、EF，在△ACD中，E、F分别是AD、AC的中点，

∴EF∥CD，

∴∠BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角(或其补角)．

在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝AD＝，∴BE＝.

在Rt△AEF中，AF＝AC＝，AE＝，∴EF＝.

在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝，∴BF＝.

在等腰△EBF中，cos∠FEB＝＝＝，

∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为.

18[证明]　如下图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，取A1B1的中点M，则BF＝A1M＝AB.

又∵BF∥A1M，

∴四边形A1FBM为平行四边形．

∴A1F∥BM.

而F1、M分别为C1D1、A1B1的中点，

则F1M綊C1B1，

而C1B1綊BC，∴F1M∥BC，且F1M＝BC.

∴四边形F1MBC为平行四边形，

∴BM∥F1C.又BM∥A1F，∴A1F∥CF1.

同理取A1D1的中点N，连接DN，E1N，

则A1N綊DE，

∴四边形A1NDE为平行四边形．

∴A1E∥DN.

又E1N∥CD，且E1N＝CD，

∴四边形E1NDC为平行四边形．

∴DN∥CE1.∴A1E∥CE1.

∴∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行，

且方向都相反．

∴∠EA1F＝∠E1CF1.

规律总结：证明角的相等问题，等角定理及其推论是较常用的方法．另外，通常证明三角形的相似或全等也可以完成角的相等的证明，如本例还可通过证明△EA1F与△E1CF1全等来证明角相等．